La retta Equazione (rette parallele agli assi, passanti per l’origine e generiche) Forma esplicita e implicita Condizione di parallelismo e perpendicolarità Fasci di rette Retta per due punti Retta per un punto con coefficiente angolare Distanza punto retta

RETTE PARALLELE AGLI ASSI Equazione della retta In un sistema di assi cartesiani ortogonali xOy una retta è un luogo geometrico rappresentato analiticamente da una equazione lineare ovvero del tipo ax + by + c = 0 a,b,c  R Viceversa ogni equazione del tipo precedente (posto a  0 e b  0) rappresenta una retta. RETTE PARALLELE AGLI ASSI Asse delle ascisse. Si tratta di un insieme di punti P(x;0) ad ordinata nulla quindi l’equazione è y = 0   Asse delle ordinate. Si tratta di un insieme di punti Q(0;y) ad ascissa nulla quindi l’equazione è x = 0 Retta parallela all’asse delle ascisse. La retta parallela all’asse delle ascisse passante per il punto (0;k) sarà costituita da punti P(x;k) tutti di ordinata k e quindi avrà equazione y = k. Retta parallela all’asse delle ordinate. La retta parallela all’asse delle ordinate passante per il punto (h;0) sarà costituita da punti Q(h;y) tutti di ascissa h e quindi avrà equazione x = h.

RETTE PASSANTI PER L’ORIGINE DEGLI ASSI Retta passante per l’origine. In una retta passante per l’origine le ordinate dei punti sono proporzionali alle ascisse ( ciò dipende dalla similitudine dei triangoli rettangoli che si ottengono attraverso la proiezione dei punti)   By B Ay A Ax Bx  e quindi l’equazione della retta diviene y = mx OSS. Il parametro m si dice coefficiente angolare e la sua variazione determina la pendenza della retta rispetto all’asse delle x. La pendenza di una retta viene definita come rapporto tra il cateto parallelo all’asse y e quello parallelo all’asse x di un qualsiasi triangolo con l’ipotenusa sulla retta. In seguito chiameremo inclinazione della retta l’angolo formato dalla retta con il semiasse positivo delle ascisse.   Dalla similitudine dei triangoli OAAx , OBBx si ha la proporzione OAx : AxA = OBx : BxB da cui x1 : y1 = x2 : y2 ovvero il rapporto tra le coordinate di un punto è una quantità costante Quindi, in generale, il coefficiente angolare di una retta si può determinare come m = y/x conoscendo due punti di passaggio A(x1;y1) , B(x2;y2) si ha la formula y2-y1 m x2-x1

RETTA GENERICA Retta generica. Una retta non passante per l’origine attraversa l’asse y in un punto di coordinate Q(0;q) . Una tale retta r può essere studiata attraverso un sistema di riferimento opportuno con origine in Q. Rispetto a tale sistema l’equazione della retta sarà Y = m X (retta passante per l’origine del sistema secondario). y yY Q(0;q) X x x Le equazioni di collegamento tra i due sistemi di riferimento sono: x = X y = Y + q Quindi l’equazione della retta r rispetto al sistema xOy sarà si otterrà sostituendo le coordinate X = x e Y = y-q nell’equazione Y = mX: y – q = mx Ovvero y = mx + q OSS. Una retta generica ha quindi equazione y = mx + q ma tale equazione non rappresentano le rette verticali (cui corrisponderebbe un coefficiente angolare infinito)

Equazione generale della retta OSS. q si dice termine noto e è l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse delle ordinate.   OSS. valgono per m considerazioni analoghe a quelle espresse nel caso di rette passanti per l'origine (m= 0 la retta è parallela all'asse x, m >0 la retta è crescente, m<0 la retta è decrescente). Equazione generale della retta Si è dimostrato che ogni retta del piano è rappresentata da una equazione di primo grado in x e y ma nessuna delle equazioni introdotte è in grado di rappresentare tutte le possibili rette. Dimostreremo ora che un'equazione lineare a x + b y + c = 0 con a,b,c  R e a,b non entrambi nulli rappresenta ogni possibile retta. tale equazione si dice anche equazione della retta in forma implicita. ( a differenza della forma y = mx + q che si dice esplicita) OSS. in generale l'equazione esplicita facilita i calcoli anche se è necessario tenere a mente che essa non rappresenta tutte le rette, inoltre la forma implicita non è univoca ovvero la stessa retta ha più equazioni implicite ma una sola esplicita 1)     

condizione di parallelismo e perpendicolarità  Due rette parallele avranno certamente stessa inclinazione rispetto all’asse delle x e quindi le loro equazioni saranno caratterizzate dal ripetersi del coefficiente angolare. Viceversa due rette avente stesso coefficiente angolare hanno stessa inclinazione e quindi sono parallele (fanno eccezione le rette parallele all'asse y )  r // r’  m = m’   si può dimostrare che due rette perpendicolari sono caratterizzate da coefficienti angolari che sono l’uno il reciproco dell’opposto dell’altro.    r  r’  m = -1/m’

Determinazione dell’equazione di una retta  L’equazione di una retta si ottiene in modo diverso a seconda dei dati a disposizione:   -         se si dispone delle coordinate di un punto di passaggio (x1 ; y1) e del coefficiente angolare m allora si scrive l'equazione del fascio con centro (x1 ; y1) e si seleziona la retta cercata sostituendo il coefficiente angolare assegnato. In definitiva si applica la formula y - y1 = m ( x - x1 ) -         se si dispone delle coordinate di due punti di passaggio (x1 ; y1) e (x2 ; y2) allora si stabilisce il fascio con centro in (x1 ; y1) quindi si calcola m imponendo alla retta il passaggio per il punto(x2 ; y2) y2 - y1 = m x2 - x1 sostituendo m nell'equazione del fascio si ottiene l'equazione cercata y - y1 x - x1 = y2 - y1 x2 - x1

d = -------------------- distanza punto retta   volendo stabilire la distanza del punto (x0 ; y0) dalla retta di equazione ax + by +c = 0 si può applicare la formula   | ax0 + by0 +c | d = --------------------  a2 + b2