Le isometrie

Cosa sono le isometrie? Avete un album di fotografie? Provate a spostare una di queste per dare una sistemazione migliore all’album! La vostra foto non cambierà né in forma né in grandezza: rimarrà la stessa, cambierà solo la posizione.

Cosa sono le isometrie? Anche in geometria è possibile “spostare” una figura geometrica lasciandone inalterate forma e dimensioni. Questi movimenti che trasformano figure assegnate in altre congruenti (cioè sovrapponibili) prendono il nome di isometrie.

LA TRASLAZIONE

Costruire con carta e forbici Ritaglia un triangolo e fora due punti al suo interno Appoggia il triangolo su un foglio, con un lato su un righello. Ricalca il suo contorno e, attraverso i fori, segna anche i punti al suo interno.

Costruire con carta e forbici Fai scorrere il triangolo sul righello Scopri che le distanze tra i punti corrispondenti nei due triangoli sono uguali: AA’=BB’=CC’=EE’=FF’ Hai eseguito una traslazione. Quando una figura nel piano subisce una traslazione tutti i suoi punti sono spostati a distanze uguali in una certa direzione.

Il vettore Alcuni allievi avranno effettuato uno spostamento considerevole, altri un piccolo spostamento. Ogni allievo avrà spostato la figura nella direzione e nel verso preferito. Quindi, per stabilire la posizione di F’ è necessario conoscere: a) di quanto si sposta la figura, cioè l’intensità dello spostamento; b) in che direzione si sposta la figura, cioè la direzione dello spostamento; c) in che verso si sposta la figura, cioè il verso dello spostamento.

Composizione di due traslazioni Considera la figura F e il vettore v indicato nella figura seguente. Costruisci la figura F’ corrispondente della F nella traslazione di vettore assegnato.

La simmetria assiale … foglia, stecchino e altre foglie sono stati incollati su una lastra trasparente. La lastra trasparente è stata ribaltata attorno allo stecchino. Dopo il ribaltamento si nota che: tutte le foglie mostrano la pagina inferiore, ma mantengono la stessa forma; solo la foglia attraversata dallo stecchino è rimasta nella stessa posizione, mentre le altre appaiono spostate a sinistra ma alla stessa distanza dallo stecchino.

La simmetria assiale Che cosa possono rappresentare in geometria la lastra, la foglia e lo stecchino? La lastra trasparente rappresenta un piano Le foglie rappresentano varie figure geometriche Lo stecchino rappresenta una retta r del piano  r

Costruzione geometrica Per costruire la figura simmetrica di una figura poligonale, costruisci il simmetrico di ogni suo vertice e uniscili. Due figure sono simmetriche rispetto ad una retta se tutti i punti dell’una sono i simmetrici dei punti dell’altra.  ’ Si può verificare che segmenti ed angoli corrispondenti hanno rispettivamente la stessa lunghezza ed ampiezza.

...verso le figure con assi di simmetria interni La figura poligonale ha più punti in comune con l’asse di simmetria… A A´ B B´ La figura poligonale ha un punto in comune con l’asse di simmetria… Le figure sono dotate di asse di simmetria

ROTAZIONE La maniglia di una porta che viene abbassata e il pendolo di un orologio che oscilla compiono uno stesso tipo di movimento: una ROTAZIONE. Tutti i punti dell’oggetto descrivono degli archi di circonferenza della stessa ampiezza ed aventi lo stesso centro.

Costruzione geometrica Con l’aiuto del goniometro e di una riga esegui la rotazione di un quadrato, con: centro di rotazione O esterno alla figura ampiezza di rotazione 60° senso antiorario

Costruzione geometrica UNA ROTAZIONE DI CENTRO O E AMPIEZZA  E’ UNA ISOMETRIA CHE SPOSTA UNA FIGURA NEL PIANO NEL SENSO INDICATO. IN MODO CHE A E A’ SONO DUE PUNTI CORRISPONDENTI E L’ANGOLO TRA LORO COMPRESO SIA DI AMPIEZZA a. 

SIMMETRIA CENTRALE H N Z .

La simmetria centrale Unendo i punti A e A’, B e B’, C e C’ otteniamo i segmenti AA’, BB’, CC’. Puoi verificare che : il punto O appartiene ai segmenti AA’, BB’,CC’ ed è il loro punto medio. Infatti AO = OA’, BO = OB’ e CO = OC’ Per questa caratteristica i punti si dicono simmetrici rispetto al punto O e lo spostamento che porta il triangolo ABC in A’B’C’ è detto simmetria centrale.

In generale vale la seguente: Simmetria centrale In generale vale la seguente: Una simmetria centrale, di cui O è il centro di simmetria, è una rotazione di 180°, con verso orario o antiorario, di centro O. E’ un’isometria che conserva la lunghezza dei lati e l’ampiezza degli angoli.