APPUNTI ALLE LEZIONI DI MATEMATICA DEL SECONDO ANNO ITER A CURA DEGLI ALUNNI DELLA II A ITER DOCENTE :PROF.PIERO PIREDDA

EQUAZIONI DI I GRADO a cura di Sonia Taras Sonia Spanu Andrea Pittorra

indice Cosa sono le equazioni Classificazione delle equazioni. Struttura delle equazioni di I grado. La soluzione. Classificazione in base al numero delle soluzioni. Equazione ridotta a forma normale. Primo principio di equivalenza. Secondo principio di equivalenza Risoluzione di una ‘equazione di primo grado Verifica soluzioni di un’equazione.

cosa sono le equazioni Si dice equazione un’uguaglianza tra due espressioni verificata solo per particolari valori (soluzioni) assegnati alle variabili (incognite) in essa contenute. ESEMPIO: 3 x + 1 = 7 incognita

Le equazioni possono essere Numerica fratta; Intera razionale razionale irrazionale irrazionale trascendente trascendente Letterale Intera fratta razionale razionale irrazionale irrazionale trascendente trascendente

Le equazioni possono essere - Un’equazione si dice numerica se, oltre alle incognite, vi figurano solo numeri. ESEMPIO 1): 3x+2=4x-5 Un’equazione si dice letterale se oltre all’incognita vi figurano altre lettere dette costanti. ESEMPIO 2): ax+2=2a+4 Un’equazione si dice intera se l’incognita compare solo nei numeratori di entrambi i membri, con esponenti positivi. ESEMPIO: 5x-2=4x-5 ovvero ESEMPIO 3): ( 1/3)x+2=(4/5)x-5

ancora...... - Un’equazione si dice fratta se l’incognita compare anche al denominatore. ESEMPIO 3): Un’equazione si dice razionale se l’incognita non risulta sotto il segno di radice. ESEMPIO 4) 6x+2=-4x-5 è un’equazione numerica razionale intera Un’equazione si dice irrazionale se l’incognita figura sotto la radice. ESEMPIO 5) 2x+5 = 4x-2 è un’equazione numerica irrazionale intera 4x-5 3x+2= x+2

È un’equazione numerica irrazionale fratta = 3x-5 3x-5 altri esempi ESEMPIO 6: ESEMPIO 7: x+2 È un’equazione numerica irrazionale fratta = 3x-5 3x-5 ax+b È un’equazione letterale irrazionale fratta = ax+b ax-b È un’equazione su dice trascendente se l’incognita è l’argomento di un logaritmo ovvero di una funzione goniometrica ESEMPIO 8; Log(x+1)-Log(x)=Log(x-3) equazione logaritmica ESEMPIO 9; cos(x+1)=sin(x) equazione goniometrica ESEMPIO 10; 2 x+1=8 equazione esponenziale

struttura di una equazione di primo grado ax + b = 0 2° MEMBRO 1° MEMBRO

la soluzione Si dicono soluzioni o radici di un’equazione i valori da attribuire alla variabile affinché i due membri dell’uguaglianza risultino uguali. ESEMPIO 5x-3=4x+1 Essa ammette come soluzione x=4: sostituendo tale valore nell’equazione si ottiene l’identità 17=17.

classificazione in base al numero delle soluzioni Un equazione si dice: -Determinata se ammette un numero finito di soluzioni. -Indeterminata se ammette infinite soluzioni. -Impossibile quando non ammette soluzioni.

Data l’equazione 5x+4= 0 5x=-4 x=-4/5 Equazioni determinate Data l’equazione ax+b=0 ; Se a≠0 allora è determinata ed ammette una ed una sola soluzione x = -b/a Data l’equazione 5x+4= 0 5x=-4 x=-4/5 Essa è determinata perché ammette solo la soluzione x=-4/5.

Essa è indeterminata perché ammette infinite soluzioni. Equazioni indeterminate Data l’equazione ax+b=0 ; Se a=0 e b=0 allora è indeterminata ; si presenta nella forma 0x=0 che ammette infinite soluzioni x+3=x-2+5 x-x=-2+5-3 0x=0 Essa è indeterminata perché ammette infinite soluzioni.

Equazioni impossibili Data l’equazione ax+b=0 ; Se a=0 e b≠0 allora è impossibile ; si presenta nella forma 0x=b che non ammette soluzioni in quanto non esiste nessun numero che moltiplicato per zero mi dia un numero diverso da zero 2x-7=2(x+1) 2x-7=2x+2 2x-2x=2+7 0x=9 Essa è impossibile perchè non esiste numero il cui prodotto per zero sia uguale a 9

equazioni ridotta alla forma normale Un’equazione si dice ridotta a forma normale (FN) se il primo membro è un polinomio ridotto e il secondo membro è zero. ESEMPI: 5x-3=0 È un’equazione ridotta a FN. 3x-2=0 2x-7=0

1° principio di equivalenza (di addizione o sottrazione) Aggiungendo o sottraendo ad ambo i membri di un’equazione una stessa espressione, contenente o no l’incognita, si ottiene un’equazione equivalente a quella data. ESEMPIO: Se nell’equazione 5x-3=2 aggiungiamo ad ambo i membri l’espressione 2x si ottiene l’equazione equivalente: 5x-3+2x=2+2x.

2° principio di equivalenza (moltiplicazione o divisione) Moltiplicando o dividendo ambo i membri di un’equazione per una stessa espressione algebrica, contenente o no l’incognita e che non perda di significato per i valori attribuiti alle lettere che vi compaiono, si ottiene un’equazione equivalente a quella data. ESEMPIO: 3x+4 5x+1 = 2 3 Se moltiplichiamo ambo i membri per 6 otteniamo l’equazione equivalente: 9x+12 = 10x+2

Per verificare se un valore è soluzione di un’equazione occorre sostituire nell’equazione iniziale, il valore all’incognita e, se tale valore è soluzione, deve trasformarla in identità.

come si risolve un'equazione di primo grado 2x+5x-2=-4x+3-7x Trasportiamo al primo membro tutti i termini che contengono l’incognita cambiandoli di segno 2x+5x +7x + 4x -2=-+3 Trasportiamo al secondo membro tutti i termini noti cambiandoli di segno 2x+5x +7x + 4x =+3 +2

Equazioni di 2° grado A cura di: Frau Francesco Pala Francesca Patta Simona Francesca

Trinomio di secondo grado Che cosa sono? Formula risolutiva I 3 tipi di equazioni Trinomio di secondo grado Regola di Cartesio

L’ equazione di secondo grado è un trinomio eguagliato a zero. Ax2+bx+c=0 Esempio: 4x2+4x+1=25 Si può notare che il primo membro dell’equazione è il quadrato di un binomio Quindi si può scrivere anche: 2x=+5-1 X=2 (2x+1)2= 25 2x+1= +/-5 2x= -5-1 X= -3

Formula risolutiva X1,2: -b+/-√b2 -4(a)(c) 2(a) La formula risolutiva è il metodo che utilizziamo in una equazione di 2° grado per trovare x1 e x2. Una volta trovati i valori suddetti, l’equazione è stata completata. X1,2: -b+/-√b2 -4(a)(c) 2(a)

Pura Spuria I 3 tipi di equazione Completa

E in definitiva le sue soluzioni sono: Si dice equazione quadratica spuria un'equazione quadratica che manca del termine noto, ossia avente la forma: ax2+bx=0 Un'equazione di questo tipo si risolve facilmente tramite scomposizione: X= (ax+b)=0 Per la legge di annullamento del prodotto quest’equazione è equivalente alle due: X= 0 ax+b=0 E in definitiva le sue soluzioni sono: X=- b a

l'equazione è risolta da: Si dice equazione quadratica pura un'equazione polinomiale di secondo grado che manca del termine di primo grado, cioè che è della forma: ax2+c = 0 Portando c al secondo membro e dividendo per a si ottiene: x2=-c/a l'equazione non ammette soluzioni reali (ma due soluzioni immaginarie); viceversa, se: -c/a > 0 l'equazione è risolta da: X = +-√-c/a

Trinomio di secondo grado Consideriamo il polinomio completo di secondo grado: ax2+bx+c e supponiamo anche che il discriminante dell'equazione che si ottiene uguagliando a zero il polinomio sia positivo. Motiplicando e dividendo per a si ottiene: a (x2 + b x + c ) a a Abbiamo già trovato prima che X1 + x2 = - b a e X1*x2=c a Dunque: A [x2 +- (x1+x2) x + x1x2] = a [ x2 – x1x – x2x + x1x2] = a [ x (x – x1) – x2 (x – x1)] = a (x – x1) (x – x2)

Regola di Cartesio Si considerino i coefficienti a, b, c di un'equazione di secondo grado avente radici reali, si dice che si ha una permanenza se due coefficienti consecutivi sono concordi, si ha una variazione se sono discordi. La regola di Cartesio permette di ricavare i segni delle soluzioni di un'equazione di secondo grado essa afferma: In un'equazione di secondo grado avente radici reali il numero di di soluzioni negative è uguale al numero di permanenze, mentre il numero di soluzioni positive è uguale al numero di variazioni. Esempio: x2-5x+6=0, siccome a=1 b=-5 c=6 ci sono due variazioni si hanno due soluzioni positive infatti esse sono x1=2 e x2=3.   Attenzione a regola di Cartesio si applica solo se il discriminante non è negativo, infatti in tal caso le radici sono immaginarie.

DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO ALCUNE EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO A cura di: Canu Andrea Costaggiu Claudio Dessì Chiara

I punti che toccheremo Definizione di equazione di 3° e 4° grado Come risolvere un equazione di 3° e 4° grado Esempio di equazione di 3° e 4° grado

Esistono due tipi di equazione di 3° grado: Equazioni reciproche di 3° grado di prima specie. Equazioni reciproche di 3° grado di seconda specie.

Definizione di un equazione di 3° grado di prima specie Un equazione di terzo grado reciproca di prima specie è un polinomio di terzo grado ordinato e completo, in cui i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali, uguagliato a zero. ax3+bx2+bx+a=0

Risoluzione di un equazione di 3° grado di prima specie. ax3+bx2+bx+a=0 a(x3+1)+bx(x+1)=0 a(x+1)(x2-x+1)+bx(x+1)=0 (x+1)[a(x2-x+1)+bx]=0 (x+1)[ax2-ax+a+bx]=0 (x+1)[ax2+(b-a)x+a]=0 {x+1=0 {ax2+(b-a)x+a=0 x1=-1 x2=-(b-a)+ (b-a)2-4a2 x3=-(b-a)- (b-a)2-4 a2 Legge di annullamento del prodotto Risolvendo le rispettive operazioni otterremo i risultati delle X. 2a 2a

Esempio numerico di equazione di 3° grado di prima specie 6x3+5x2+5x+6=0 6(x3+1)5x(x+1)=0 6(x+1)(x2-x+1)+5x(x+1)=0 (x+1)[6(x2-x+1)+5x]=0 (x+1)[6x2-6x+6+5x]=0 (x+1)[6x2-x+6]=0 X+1=0 6x2-x+6=0 x1=-1 X2,3=-b b2-4ac 6x2-x+6=0 a= 6 b= 1 c= 6 Risolvendo la rispettiva operazione otterremo i risultati delle X. + - 2a

Definizione di un equazione di 3° grado di seconda specie Un equazione di terzo grado reciproca di seconda specie è un polinomio di terzo grado ordinato e completo, in cui i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono opposti, uguagliato a zero. ax3+bx2-bx-a=0

Risoluzione di un equazione di 3° grado di seconda specie ax3+bx2-bx-a=0 a(x3-1)+bx(x-1)=0 a(x-1)(x2+x+1)+bx(x-1)=0 (x-1)[a(x2+x+1)+bx]=0 (x-1)[ax2+ax+a+bx]=0 x-1=0 ax2+(b+a)x+a=0 x1= +1 x2= -(b+a)+ (b+a)2-4a2 x3= -(b+a)- (b+a)-4a2 Legge di annullamento del prodotto Risolvendo le rispettive operazioni otterremo i risultati delle X 2a 2a

Esempio numerico di equazione di 3° grado di seconda specie 12x3-37x2+37x-12=0 12(x3-1)37x(x-1)=0 12(x-1)(x2+x+1)-37x(x-1)=0 (x-1)[12(x2+x+1)-37x]=0 (x-1)[12x2+12x+12-37x]=0 (x-1)[12x2-25x+12]=0 x-1=0 12x2-25x+12=0 x1=1 x2= x3= 4 3 3 4

Esistono due tipi di equazioni di 4° grado: Equazioni reciproche di 4° grado di prima specie. Equazioni reciproche di 4° grado di seconda specie.

Definizione di un equazione di 4° grado di prima specie L’equazione di quarto grado di prima specie, è un polinomio di quarto grado ordinato e completo, in cui i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali, uguagliato a zero. ax4+bx3+cx2+bx+a=0

Risoluzione di un equazione di 4° grado di prima specie… ax4+bx3+cx2+bx+a=0 ax2+bx+c+b+a=0 a(x2+ )+b(x+ )+c=0 a[(x+ )2 -2]+b(x+ )+c=0 a[y2-2]+by+c=0 ay2-2a+by+c=0 ay2+by-2a+c=0 x2 x2 x2 x2 x2 x x2 1 1 x2 x 1 1 x x y1 ottengo = y2

…continuo equazione di 4° grado di prima specie(2)… Le y le abbiamo ottenute con la seguente formula risolutiva: Y1,2= -b b2-4ac + - = 2a 1 Ora bisogna sostituire a : i valori delle y. x + x Otteniamo con il m.c.m. X2-Y1X+1=0 y1 1 x + = Otteniamo con il m.c.m. x y2 X2-Y2X+1=0

…continuo equazione di 4° grado di seconda specie(3). Ora risolvendo le due equazioni di secondo grado otteniamo i risultati delle x . x2-y1x+1=0 x2-y2x+1=0 x1 x2 x3 x4

Esempio numerico di equazione di 4° grado di prima specie… 6x4-5x3-38x2-5x+6=0 6x2-5x-38-5+6=0 6(x2+ )-5(x+ )-38=0 6[(x+ )2-2]-5(x+ )-38=0 6(y2-2)-5y-38=0 6y2-12-5y-38=0 6Y2-5Y-50=0 Divido tutti i termini per x2 x2 x2 x2 x2 x2 x x2 1 1 x x2 1 1 x x

…continuo equazione di 4° grado di prima specie(2)… Y1.2= 5 ± 25-1200 5±35 12 5+35 40 10 12 12 3 12 5-35 36 5 12 12 2 m.c.m 2x2+2=-5x = 2x2+5x+2=0 1 10 1 5 ; x + = x + = - x x 3 2 m.c.m 3x2+3=10 3x2-10x+3=0 =

…continuo equazione di 4°grado prima specie(3). 3x2-10x+3=0 X1.2= 10 ± 100-36 x3.4= -5 ± 25-16 18 = 3 6 10±8 = = 1 6 6 2 = 3 6 2 1 = - -5±3 = 4 2 = 4 4 8 = 2 4

Definizione di un equazione di 4° grado di seconda specie L’equazione di quarto grado di prima specie, è un polinomio di quarto grado ordinato e completo, in cui i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono opposti, uguagliato a zero. ax4+bx3-bx-a=0

Risoluzione di un equazione di 4° grado di seconda specie ax4+bx3-bx-a=0 a(x4+1)+bx(x2-1)=0 a(x2-1)(x2+1)+bx(x2-1)=0 (x2-1)[a(x2-1)+bx]=0 (x2-1)[ax2-a+bx]=0 (x2-1)[ax2+bx-a]=0 x2-1=0 ax2+bx-a=0 x1= x2= x3= x4=

Esempio numerico di equazione di 4° grado di seconda specie 2x4+5x3-5x-2=0 2(x4-1)5x((x2-1)=0 2(x2-1)(x2+1)+5x(x2-1)=0 (x2-1)[(2(x2+1)+5x]=0 (x2-1)[2x2+2+5x]=0 (x2-1)[2x2+5x+2]=0 x2-1=0 2x2+5x+2=0 Legge di annullamento del prodotto

…continuo equazione di 4° grado di seconda specie(2). Ora risolviamo l’equazione: 2x2+5x+2=0 x3.4 =-5+- 25-4*2(2) -5+-3 1 -5+3 = - 2 4 = 4 4 -5-3 = 2 4

EQUAZIONI PARAMETRICHE Roberta Floris Elisabetta Melinu Cristina Carta

Un’ equazione di secondo grado si dice parametrica se almeno uno dei coefficienti dipende da una o più variabili dette parametri.

Ecco un’esempio di equazione parametrica: x² +Kx+2k=0 Dove b è uguale a k e c é uguale a 2k.

La condizione da verificare è: Data l’equazione parametrica: x² +Kx+2k=0 trovare i valori di k in modo che le radici siano reali. La condizione da verificare è: b²-4ac≥0

Nel nostro caso, a=1, b=k, c=2k, per cui: k²-4(1)(2k)≥0 K²-8k≥0 K(k-8)≥0 da cui k≤0 o K≥8

K≤0 o K≥8 - - - - - + + + + + + + + 8

Data l’equazione parametrica x²-(k-2)x+k+1=0, determiniamo i valori di k in modo che, essendo le soluzioni reali: A) Una radice sia l’opposto dell’altra. B) Una radice sia uguale a 2. C) Una radice sia l’inverso dell’altra. D) Il prodotto delle radici sia uguale a -6.

Per questo valore di k, tuttavia, le soluzioni non A)UNA RADICE SIA L’OPPOSTO DELL’ALTRA SE: X1= -X2 cioè X1- X2=0 ma X1+ X2= -b/a, basta quindi imporre che sia k-2= 0 k=2 Per questo valore di k, tuttavia, le soluzioni non sono reali e dobbiamo concludere che il problema non ha soluzioni.

B) UNA RADICE SIA UGUALE A 2 Basta sostituire 2 al posto di X e risolvere l’equazione in k così ottenuta: 4-2(k-2)+k+1=0 k=9 Questa volta il valore trovato di k appartiene all’insieme definito dalla condizione di realtà delle radici (9>8) èd è quindi la soluzione del problema.

C) UNA RADICE SIA L’INVERSO DELL’ALTRA SE: X 1= 1/X2 cioè X1*X2= 1 ma X1*X2= c/a, basta quindi imporre che sia k+1=1 k=0 per questo valore di K le soluzioni sono reali e sono anche coincidenti;ne consegue che esse devono essere uguali a 1.

D)IL PRODOTTO DELLE RADICI SIA UGUALE A -6 Deve essere c/a -6 cioè k+1= -6 k= -7 anche questo valore di k è accettabile perché è minore di 0.