Sezioni coniche Schemi riassuntivi, definizioni e cenni storici Classe: III LICEO Sezioni coniche Schemi riassuntivi, definizioni e cenni storici Docente: Donatiello Angela Istituto Superiore “E.Fermi” Castellanza (VA)

INTERSEZIONI CON PIANI MAPPA DEL MODULO SEZIONI CONICHE CONO A DUE FALDE INTERSEZIONI CON PIANI PARABOLA ELLISSE CENNI STORICI CIRCONFERENZA IPERBOLE

SEZIONI CONICHE La parabola, la circonferenza, l’ellisse e l’iperbole sono definite coniche, in quanto è possibile ottenerle tagliando una superficie conica a due falde con un piano avente diverse inclinazioni.

CONO A DUE FALDE E CONICHE r = retta generatrice del cono a = asse intorno a cui ruota la retta r V = vertice del cono = angolo di apertura della superficie conica = angolo di inclinazione del piano r piano V Se allora si avrà una parabola Se allora si avrà un’ellisse Se allora si avrà una circonferenza Se allora si avrà un’iperbole

circonferenza ellisse iperbole parabola

Le due specie di coniche meglio visualizzabili sono la circonferenza e l'ellisse, entrambe sono curve chiuse. La circonferenza è un caso particolare di ellisse relativo alla intersezione di un cono circolare retto con un piano perpendicolare al suo asse. Se si interseca il cono con un piano parallelo a una retta generatrice del cono si ottiene una conica chiamata parabola. Infine una intersezione con un piano non parallelo ad alcuna retta generatrice che determina una curva aperta fornisce una cosiddetta iperbole; in questo caso il piano interseca entrambe le parti del cono, producendo due curve non connesse. Vi sono poi casi degeneri ottenuti con un piano che passa per il vertice del cono: si distinguono tre casi: la figura ottenuta si riduce a un punto; la figura consiste in una linea retta (una generatice del cono); la figura si riduce a una coppia di rette (due generatrici del cono simmetriche rispetto all'asse del cono).

UN PO’ DI STORIA … Per maggiori informazioni consulta anche: Lo studio delle coniche ha origini antichissime. Esse risalgono a Menecmo (350 a.C.) discepolo di Eudosso di Cnido, che scoprì le sezioni coniche nel tentativo di risolvere il problema della duplicazione del cubo, o problema di Delo. Anche Euclide (360-300 a.C.) si interessò alle coniche sulle quali scrisse ben 4 libri andati poi perduti; la trattazione fu poi completata, dal punto di vista teorico da Apollonio di Perga nel famoso trattato 'Le coniche' (200 a.C.).  Si dice che sia stato lo stesso Apollonio ad aver introdotto i nomi di "ellisse", "parabola", ed "iperbole“ per individuare tali curve. Tali nomi traggono origine dal confronto di due grandezze caratteristiche di ciascuna curva. Ellisse vuol dire mancanza, iperbole significa "andare oltre", e parabola, "mettere accanto”, “confrontare”. Per maggiori informazioni consulta anche: http://web.unife.it/altro/tesi/A.Montanari/Apolloni.htm http://ulisse.provincia.parma.it/~ssrondan/coniche/storia/storia.htm

CURIOSITA’ … CONICHE ED OMBRE Se illuminiamo un muro con una torcia elettrica tenendola perpendicolare alla parete, la parte illuminata è all'incirca circolare. Cominciamo ora a inclinare la torcia verso l'alto; il cerchio si deforma e assume una forma allungata, come un vassoio o uno stadio: è un'ellisse. http://www2.math.unifi.it/~archimede/archimede/curve/guida/paginaindice.php?id=2

Se continuiamo a inclinare la torcia, l'ellisse si allunga sempre di più. Mentre una delle estremità resta davanti a noi, l'altra va via via allontanandosi; se la parete fosse infinita, l'area illuminata diventerebbe sempre più grande, finché per una certa inclinazione della torcia diventerebbe infinita. La figura così ottenuta è una parabola. Se incliniamo la torcia ancora di più, l'area illuminata aumenta ancora, e assume la figura di un'iperbole.

Le tre figure che si ottengono successivamente, o meglio le curve che le delimitano, prendono il nome comune di sezioni coniche, dato che si ottengono sezionando un cono (nel nostro caso il cono della luce proiettata dalla torcia) con un piano (la parete). Le sezioni coniche si trovano spesso nelle situazioni più comuni: un lume da tavolo disegna sulla parete due iperboli, l'ombra di una palla è un'ellisse, un sasso lanciato da una fionda descrive una parabola. In passato la teoria delle sezioni coniche era essenziale per la costruzione delle meridiane. Infatti nel suo moto apparente il sole descrive una circonferenza; i raggi che passano per la punta dello stilo della meridiana formano allora un cono, che tagliato dalla parete dà origine a una sezione conica, alle nostre latitudini un'iperbole, sulla quale si muove l'ombra della punta dello stilo.