Geometria descrittiva dinamica Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Autore Prof. Elio Fragassi IL materiale può essere riprodotto citando la fonte La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla dott.ssa Gabriella Mostacci Presentazione in corso di costruzione Presentazione in corso di costruzione I collegamenti in elenco sono attivi I collegamenti in elenco sono attivi Autore Prof. Elio Fragassi Il materiale può essere riprodotto citando la fonte La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla dott.ssa Gabriella Mostacci 1Considerazioni generali ed introduttive (Vedi presentazione Tema 3/1) 2L’appartenenza e biunivoca relazione di contenenza o inclusione L’appartenenza e biunivoca relazione di contenenza o inclusione (attivo) 3Appartenenza e/o contenenza tra punto e rettaAppartenenza e/o contenenza tra punto e retta (attivo) 4Indagine esplicativa e deduttiva Indagine esplicativa e deduttiva (attivo) 5Procedura applicativa o impositiva Procedura applicativa o impositiva (attivo) LA CONDIZIONE DI APPARTENENZA E BIUNIVOCA RELAZIONE DI CONTENENZA O INCLUSIONE

Poiché le leggi dell’appartenenza e della contenenza vanno riferite agli elementi geometrico- rappresentativi degli enti fondamentali, ricordiamo, anzitutto, la seguente Tabella –A- riassuntiva degli elementi fondamentali e delle rispettive caratteristiche geometriche e fisiche degli elementi rappresentativi e descrittivi Tabella –A- Quadro sinottico degli elementi rappresentativi degli enti fondamentali Punto, Retta, Piano Ente o elemento geometrico Didascalia ente VirtualePunto P P’ 1 a proiezione o 1 a immagine Didascalia elemento rappresentativo Caratterizzazione geometrica elemento rappresentativo Nomenclatura elemento rappresentativo Caratterizzazione fisica elemento rappresentativo P’’ 2 a proiezione o 2 a immagine PuntoVirtuale Punto Retta r r’ r’’ T 1r T 2r 2 a proiezione o 2 a immagine 1 a proiezione o 1 a immagine 1 a traccia 2 a traccia Punto Reale Piano  Retta Virtuale Retta Reale t1t1 t2t2 1 a traccia 2 a traccia L’appartenenza e biunivoca relazione di contenenza o inclusione (1)

Dati gli enti geometrici di cui sopra ed i relativi specifici elementi geometrico- rappresentativi, come sopra caratterizzati, è necessario stabilire le leggi geometriche dell'appartenenza e contenenza o inclusione tra le seguenti combinazioni elementari. Punto e retta Il punto P appartiene alla retta r se e solo se la retta r contiene il punto P Se il punto P appartiene alla retta r allora, biunivocamente, la retta r contiene il punto P Retta e piano P  r  r  P r  a  a  r La retta r appartiene al piano  se e solo se il piano  contiene la retta r Se la retta r appartiene al piano  allora, biunivocamente, il piano  contiene la retta r Punto e piano P    P Il punto P appartiene al piano  se e solo se il piano  contiene il punto P Se il punto P appartiene al piano  allora, biunivocamente, il piano  contiene il punto P Reciprocamente L’appartenenza e biunivoca relazione di contenenza o inclusione (2)

Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (1) Indagine esplicativa e deduttiva Prendiamo in esame il punto e la retta definendone la relativa legge di appartenenza e/o contenenza come sintetizzata dalla seguente espressione P  r  r  P Le due rappresentazioni di fig. 01 e fig. 02 (punto e retta) hanno in comune un solo elemento: la linea di terra lt – si ricorda che la lt è costituita dal luogo geometrico dei punti uniti- per cui è possibile far traslare la rappresentazione del punto P sulla rappresentazione della retta r o viceversa facendo in modo che la lt del punto P coincida con la lt della retta r Poiché dobbiamo stabilire, leggi geometriche valide in ogni caso e situazione, tra enti diversi, per prima cosa è necessario analizzare e conoscere quali elementi geometrico-descrittivi prendere in considerazione per la ricerca della specifica legge

In questo caso possiamo prendere in considerazione le proiezioni del punto P(P'; P'') e le proiezioni della retta r(r'; r'') –retta punteggiata in quanto si caratterizzano, fisicamente, con le stesse caratteristiche, come si evince dalla Tabella – A - Ricordando l’espressione insiemistico-descrittiva della retta, perché il punto P appartenga alla retta r - P  r - è necessario accertare che P(P'; P'') sia un punto di questo insieme e quindi delle relative espressioni delle proiezioni della retta r Pertanto è necessario verificare la sussistenza delle seguenti formalizzazioni relative alle proiezioni della retta r = Le formalizzazioni esposte esplicitano il rapporto tra le proiezioni del punto e le proiezioni della retta chiarendo che la proiezione r' è formata dalla sommatoria orientata, dell’insieme di tutte le prime proiezioni del punto P in movimento definito, così come anche r'' è formata dalla sommatoria dell’insieme di tutte le seconde proiezioni del punto P in movimento definito ed orientato nello spazio del diedro Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (2) Indagine esplicativa e deduttiva

Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (3) Indagine esplicativa e deduttiva Passando all’analisi grafica, sovrapponendo le due rappresentazioni, può accadere che si presenti la situazione di cui alla fig.03, ed alla fig.04, rispettivamente nei diedri I e II In questi casi accade che P’’ sta su r’’, quindi verifica la sommatoria Mentre P’ non stando su r’ non verifica la sommatoria r = Pertanto si ha: Data la posizione di P' non può affermarsi che P sia un punto dell’insieme sommatoria che determina la retta r, per cui in questo caso P non appartiene alla retta r: P  r e, reciprocamente, la retta r non contiene il punto P,: r  P L’espressione sintetica si esplicita come di seguito P  r  r  P

Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (4) Indagine esplicativa e deduttiva Traslando ulteriormente il punto P e facendo coincidere, sempre, le due linee di terra può accadere che si presenti la situazione grafica delle figg. 05 e 06 riferite ai diedri I e II. In questi casi accade che P’ sta su r’, quindi verifica la sommatoria Mentre P’’ non stando su r’’ non verifica la sommatoria Pertanto si ha: r = Data, la posizione di P'' non può affermarsi che P sia un punto della sommatoria che determina la retta r, per cui, il punto P non appartiene alla retta r ossia: P  r e, reciprocamente la retta r non contiene il punto P, cioè: r  P L’espressione sintetica si esplicita come di seguito P  r  r  P

Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (5) Indagine esplicativa e deduttiva Infine, può accadere che continuando a traslare la proiezione del punto sulle proiezioni della retta, o viceversa, le proiezioni della retta su quelle del punto, si presenti la situazione grafica della fig.07 e della fig. 08 sempre riferita ai diedri I e II. In questi casi accade che P’ sta su r’, quindi verifica la sommatoria Ed anche P’’ sta su r’’ verificando completamente la sommatoria Possiamo affermare, quindi, che esiste un legame completo tra le proiezioni del punto e le proiezioni della retta per cui, in questo caso, il punto P appartiene alla retta r, cioè P  rr e, reciprocamente, la retta r contiene il punto P, cioè: r  P

Appartenenza e/o contenenza tra punto e retta (6) Indagine esplicativa e deduttiva In conclusione possiamo definire la seguente legge geometrico-rappresentativa dell'appartenenza tra punto e retta che, esplicitandola negli elementi geometrico descrittivi, assume la seguente forma esplicativa e deduttiva. dove P’  r’ P’’  r’’ P  r La reciproca legge della contenenza si esprime, nella forma esplicativa e deduttiva, come di seguito dove r’’  P’’ r  P r’  P’ Per la condizione di appartenenza si ha: Se le proiezioni di un punto appartengono alle rispettive omonime proiezioni di una retta allora, e solo allora, il punto appartiene alla retta. Per la reciproca legge di inclusione si ha Per la reciproca legge di inclusione si ha: Se le proiezioni di una retta contengono le rispettive omonime proiezioni di un punto allora, e solo allora la retta contiene il punto.

Procedura applicativa o impositiva (1) Se la condizione deve essere imposta è necessario operare in modo tale che si verifichino le graficizzazioni di cui si è discusso Pertanto, data una retta r rappresentata mediante le sue proiezioni r’ ed r’’, volendo che sia P  r dovrà costruirsi (quindi imporre) P’  r’ e P’’  r’’ in quanto è necessario imporre che le proiezioni del punto siano elementi geometrici delle seguenti formalizzazioni Se il dato iniziale, invece, è un punto P e si vuole che esso appartenga ad una retta r è necessario imporre, graficamente, che le proiezioni della retta passino (cioè contengano e includano) per le proiezioni del punto. Così operando il punto sarà elemento delle formalizzazioni r = Poiché per un punto passano infinite rette (fascio di rette nel piano o stella di rette nello spazio), è chiaro che, infinite saranno le proiezioni delle rette che passeranno per le proiezioni del punto in relazione al tipo di forma fondamentale (fascio di rette o stelle di rette)

Procedura applicativa o impositiva (2) Allora la formalizzazione applicativa assumerà la forma esposta di seguito dove P  r P’’  r’’ P’  r’ la reciproca legge di contenenza o inclusione sarà espressa dalla seguente formalizzazione dove r  P r’’  P’’ r’  P’ Per la condizione di appartenenza si ha: Un punto appartiene ad una retta se, e solo se, le proiezioni del punto appartengono alle rispettive omonime proiezioni della retta Per la reciproca legge di inclusione si ha: Una retta contiene un punto se, e solo se, le proiezioni della retta contengono le rispettive proiezioni del punto P  r P’  r’ e P’’  r’’ r  P r’  P’ e r’’  P’’