Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Questa presentazione espone l’indagine relativa alla legge geometrico - descrittiva riguardante la condizione di parallelismo tra retta e piano sviluppando il primo metodo cioè : La presentazione si conclude con alcune esemplificazioni grafiche corredate della relativa spiegazione, con lo sviluppo grafico di alcuni esercizi e la proposta di temi scritti da volgere e sviluppare in forma di elaborati grafici. Per approfondimenti consultare il sito La presentazione si chiude con la creazione di una griglia di valutazione per gli elaborati grafici che prende in esame i tre momenti del processo rappresentativo: conoscenza, competenza e capacità. Al termine dell’analisi si definisce un abaco di riferimento che comprende sia gli aspetti teorici che quelli grafici che quelli concettuali. Procedura 1. Parallelismo tra retta e piano impostato sul parallelismo tra rette L’indagine affronta sia la procedura deduttiva sia la procedura impositiva

Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge PARALLELISMO TRA RETTA E PIANO IMPOSTATO SUL PARALLELISMO TRA RETTE Autore Prof. Elio Fragassi Il materiale può essere riprodotto citando la fonte Il disegno è stato eseguito nell’a. s. 1995/1996 da Cercone Laura della classe 5 A dell’Istituto statale d’arte “G. Mazara” di Sulmona per la materia : “Geometria descrittiva” Insegnante: Prof. Elio Fragassi La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla dott.ssa Gabriella Mostacci

Sulla base delle considerazioni esposte nella presentazione del parallelismo tra elementi geometrici diversi, si può riesaminare il legame del parallelismo, tra retta e piano, ampliandolo con un concetto di appartenenza. presentazione del parallelismo tra elementi geometrici diversi Quindi si può ridefinire lo stesso criterio riferendolo alla retta data e ad una retta, a questa parallela, ma appartenente al piano. A conclusione delle analisi teoriche e dei raffronti grafici se la retta data è parallela ad una retta che appartiene al piano, allora si può asserire che i due elementi, retta e piano, sono paralleli in quanto si può dimostrare la seguente relazione: s // r  r   s //  s’ // r’ s’’ // r’’ T 1r  t 1  T 2r  t 2  se allora Legame del parallelismo Legame dell’appartenenza

INDAGINE ESPLICATIVA E DEDUTTIVA Stabilito quanto sopra, si possono analizzare alcuni casi possibili, come, ad esempio, quelli di seguito riportati. Dati r(r’; r’’) ed  (t 1  ; t 2  ), per verificare se i due elementi geometrici sono in rapporto di parallelismo, cioè se r// , definiamo una retta s che, per costruzione, sia parallela alla retta data. Quindi sarà di conseguenza se la retta (s  ) sarà anche verificata la seguente appartenenza: Stante ciò possiamo asserire, allora, che r//  perché si accerta la presenza del doppio legame (parallelismo ed appartenenza) tra i due elementi tanto che risulta essere: T 1s  t 1  e T 2s  t 2  s’//r’ ed s’’//r’’ Legame del parallelismo Legame dell’appartenenza r //s   r // 

INDAGINE ESPLICATIVA E DEDUTTIVA Nel caso specifico come quello elaborato nella fig.20 si verifica che: fermo restando il parallelismo tra le rette r//s, in un primo caso si ha che T 1s  t 1 , nel secondo caso, invece, T 2s  t 2  da cui si evince che s , quindi poiché s non è una retta del piano , resta dimostrato che : r//s   r // s   r   Si deduce, quindi, che la retta r ed il piano  non sono in relazione di parallelismo

INDAGINE ESPLICATIVA E DEDUTTIVA Oltre al caso già esaminato, può accadere che dall'elaborazione grafica scaturisca una rappresentazione degli elementi geometrici, tra loro in rapporto descrittivo, come quello evidenziato dalla seguente figura 21 La retta s, in questo caso, si caratterizza come appartenente al piano  in quanto (T 1s  t 1  ) e (T 2s  t 2  ) ma le proiezioni della stessa s’ ed s’’ non rispondono alle leggi descrittive relative al parallelismo tra rette in quanto costruendo, come nel primo caso, s’’//r’’ si verifica che per definire s  si determina s’  r’; mentre nel secondo caso, costruito s’//r’ si verifica che per definire s  si determina s’’  r’’.

INDAGINE ESPLICATIVA E DEDUTTIVA Pertanto, le due rette, la retta r data e la retta s, costruita appartenente al piano , si caratterizzano, a seconda del caso, come due rette incidenti o due rette sghembe Da quanto sopra ne discende che:   ss  r ed anche che riunificando ed operando le sostituzioni si ha   s  r   r e biunivocamente, quindi, anche r  

INDAGINE ESPLICATIVA E DEDUTTIVA Può, inoltre, verificarsi il caso in cui la retta s oltre ad essere appartenete al piano , per cui sarà (T 1s  t 1  ) e (T 2s  t 2  ), avrà anche le proiezioni s’ ed s’’ parallele alle rispettive proiezioni r’ ed r’’ della retta data r, come nel disegno affianco (Fig.22) Schematizzando, queste osservazioni si possono sintetizzare nei seguenti passaggi esplicativi r // s  P  s   r’ // s’ r’’ // s’’ T 1s  t 1  T 2s  t 2  r // s   r // 

INDAGINE ESPLICATIVA E DEDUTTIVA In questa situazione la retta s oltre che presentarsi appartenente al piano , si presenta parallela alla retta data r Stante l’esistenza di questa doppia condizione geometrica, poiché le proiezioni delle due rette, r data, ed s costruita, hanno in comune un punto improprio P , si può asserire che, in questo caso, la retta r è parallela al piano in quanto essendo parallela alla retta s del piano, mantiene con questo il rapporto geometrico detto Pertanto possiamo sintetizzare, per questi elementi, la seguente enunciazione geometrico - descrittiva di carattere esplicativo definito, concreto, continuo e costante “ rapporto di parallelismo”

INDAGINE ESPLICATIVA E DEDUTTIVA Se le proiezioni di una retta data sono parallele alle omonime proiezioni di una retta appartenente al piano, allora possiamo asserire che il piano e la retta reali saranno anch'essi paralleli In forma più sintetica, considerando gli elementi reali, possiamo dare la seguente definizione Se la retta data e' parallela ad una retta del piano assegnato, allora, e solo allora la retta e' parallela al piano Ampliando la definizione descrittiva con il concetto di punto improprio possiamo dare la seguente definizione Una retta è parallela ad un piano se la loro intersezione genera un punto improprio

PROCEDURA IMPOSITIVA O APPLICATIVA Se la condizione geometrica in discussione deve essere imposta o applicata ad una retta ed un piano; allora è necessario operare, graficamente, in modo tale che si verifichino le relazioni di cui si è discusso al punto precedente. Conseguentemente la definizione impositiva della condizione in discussione può essere espressa in forma verbale come di seguito Perché una retta sia parallela ad un piano è necessario che le proiezioni della retta data siano parallele alle omonime proiezioni di una retta appartenente al piano r//  r // s   dove r’ // s’ r’’ // s’’ T 1s  t 1  T 2s  t 2  Secondo la seguente formalizzazione r//   r//s  che si esplicita come segue

PROCEDURA IMPOSITIVA O APPLICATIVA Inoltre, ampliando l'operazione con l'applicazione del concetto di punto improprio si ha la seguente espressione. Perché una retta sia parallela ad un piano è necessario che la relativa intersezione generi un punto improprio Questa definizione geometrica può essere sintetizzata ed espressa con la seguente formalizzazione applicativa insiemistico– descrittiva r//  r//s  r // s s   r  P  r //   r   P 

Piano  Elemento geometrico CARATTERISTICHE DEGLI ELEMENTI GEOMETRICI PARALLELISMO TRA RETTA E PIANO BASATO SUL PARALLELISMO TRA RETTTE Didascalia elemento Didascalia elemento rappresentativo Nomenclatura dell'elemento rappresentativo t1t1 1 a traccia Retta Reale t2t2 2 a traccia Retta Reale Definizione geometrica elemento rapprsentativo Definizione fisica dell'elemento rapprsentativo Definizione grafica e descrittiva degli elementi geometrici Relazione insiemistica sintetica delle leggi del parallelismo tra elementi geometrici diversi Formalizzazione esplicativa Formalizzazione applicativa Reale T 1r T 2r 1 a traccia 2 a traccia Punto r’ r” 1 a immagine o 1 a proiezione 2 a immagine o 2 a proiezione Retta Virtuale Retta r r//  r//s  r//s s  r  PP r'//s' r"//s" T 1s  t 1  T 2s  t 2  r//s ss r//s  r// 

Seguono alcune esemplificazioni grafiche relative all’aspetto esplicativo del parallelismo tra elementi geometrici diversi variamente collocati nello spazio dei diedri Data la seguente formalizzazione esplicativa risolvere i quesiti seguenti Dato Risultato Spiegazione t2t2 t1t1 T 2s T 1s s”//a” s’//a’ Si determina, anzitutto, un piano  // .  Quindi sarà t 1  //t 1  e t 2  // t 2  Applicando il parallelismo tra rette si costruisce s”//a” ed anche s’//a’. Così operando accade, però, che la retta s   perché mentre T 2s  t 2 , per s’//a’ si ottiene T 1s  t 1 . Poiché a//s  si deduce che a  . r‘ // s' r“ // s" T 1s  t 1  T 2s  t 2  r // s s   r //  r //s 

DatoRisultato Spiegazione t2t2 t1t1 T 2s T 1s s”  a” s’//a’ Si determina, anzitutto, un piano  // .  Quindi sarà t 1  //t 1  e t 2  // t 2   Applicando il parallelismo tra rette si costruisce s’//a’ in modo tale che sia anche T 1s  t 1   per rispettare anche il legame di appartenenza. Sempre per applicare il concetto dell’appartenenza si individua sul piano  anche la T 2s  t 2 . In questo caso accade, però, che essendo s”  a” non si verifica la condizione di parallelismo tra la retta data a e la retta s del piano . Questa situazione esplicita il rapporto di obliquità tra retta e piano; quindi si deduce che: a  

DatoRisultato Spiegazione Si determina, anzitutto, un piano  // .  Quindi sarà t 1  //t 1  e t 2  // t 2   Applicando il parallelismo tra rette si costruisce s”//a” in modo tale che sia anche T 2s  t 2   per rispettare anche il legame di appartenenza. Per completare la corretta applicazione del parallelismo tra rette si determina anche la posizione di s’//a’. Questo parallelismo, però, non verifica anche l’appartenenza tanto che T 1s  t 1 . A seguito di questa risultanza mancando la completa applicazione delle due leggi geometriche si deduce che: a   t2t2 t1t1 T 2s s” s’ T 1s La T 1s generata da s”//a” è incongruente con quella determinata mediate s’//a’

DatoRisultato Spiegazione t2t2 t1t1 T 2s s” s’ T 1s  Si determina, anzitutto, un piano  // . Quindi sarà t 1  //t 1  e t 2  // t 2   Applicando il parallelismo tra rette si costruisce s”//a” in modo tale che sia anche T 2s  t 2   per rispettare anche il legame di appartenenza. Per completare la corretta applicazione del parallelismo tra rette si determina anche la posizione di s’//a’. La posizione di s’//t 1  ci porta alla definizione della traccia impropria che esplicita e completa la presenza del legame di appartenenza tra la retta s ed il piano  Essendo, quindi a//s  sarà anche a//  T 1s 

Seguono alcune esemplificazioni grafiche relative all’aspetto applicativo o impositivo del parallelismo tra retta e piano basato sul parallelismo tra rette Data la seguente formalizzazione applicativa risolvere i quesiti seguenti Dato Risultato Spiegazione r //  r // s   r’//s’ r”//s” T 1s  t 1  T 2s  t 2  b” b’ a” a’ T 2a T 1a T 2b T 1b Dopo aver definito una retta (a   ) in modo che sia (T 1a  t 1  ) e (T 2a  t 2  ), applicando la legge dell’appartenenza tra retta e punto e quella del parallelismo tra rette si determinano le proiezioni b’//a’ ed anche b”//a”. Così operando si definisce la retta b//  in quanto (b//a   )

DatoRisultato Spiegazione s’ T 1r r” r’ T 2r s” T 1s T 2s t2t2 t1t1 Si determina, anzitutto, la retta r ( r’; r”; T 1r ; T 2r ) passante per i punti A e B applicando le condizioni di appartenenza tra punto e retta. Definita la retta r applicando, nuovamente, le leggi dell’appartenenza e del parallelismo tra rette si costruisce un retta (s  X)//r tale che sia (s’//r’) ed (s”//r”). Si completa la rappresentazione descrittiva di s identificando le relative tracce T 1s ; T 2s. R icordando, poi, che i piani paralleli ad una retta sono infiniti è sufficiente condurre per queste tracce della retta due tracce di un piano per risolvere il problema.

DatoRisultato Spiegazione Si determina la retta r ( r’; r”; T 1r ; T 2r ) appartenente al piano dato . Quindi, mediante le leggi dell’appartenenza e del parallelismo si definisce, passante per il punto X(X’;X”), la retta (s//r) tale che sia (s’//r’) ed (s”//r”). Si completa, poi, la definizione della retta s individuando le tracce T 1s, T 2s. Conducendo per queste due tracce due rette parallele rispettivamente a t 1  e t 2  si determinano le due tracce del piano  in modo che siano t 1  // t 1  ed anche t 2  //t 2   L’esercizio è risolto in quanto accade che (X  s    //  ) T 1r r” r’ T 2s T 1s s” s’ T 2r t2t2 t1t1

DatoRisultato Spiegazione Si determina la retta r ( r’; r”; T 1r ; T 2r ) appartenente al piano dato . Mediante le leggi dell’appartenenza e del parallelismo si definisce, passante per il punto M(M’;M”), la retta (s//r) tale che sia (s’//r’) ed (s”//r”). Si completa, poi, la definizione della retta s individuando le tracce T 1s,T 2s (La traccia T 2s esce fuori dal rettangolo grafico) T 1r r” r’ T 2r T 1s s” s’ t1t1 T 2s t2t2 Il passo successivo relativo alla ricerca del piano  si può omettere. Conducendo per queste due tracce due rette parallele rispettivamente a t 1  e t 2  si determinano le due tracce del piano  in modo che sia t 1  //t 1  ed anche t 2  //t 2 

RisoluzioneEsercizio T 1r r” r’ T 2r t2t2 t1t1 r” r’ T 2r t2t2 t1t1 T 1r 

RisoluzioneEsercizio T 1r r” r’ T 2r t2t2 t1t1 r” r’ T 2r t2t2 t1t1 T 1r 

RisoluzioneEsercizio T 1r r” r’ T 2r T 1x x” x’ T 2x T 1r r” r’ T 2r T 1x x” x’ T 2x

RisoluzioneEsercizio T 1x x”//a” x’  a’ T 2x Risposta : a  perché (x  )  a T 1x x” x’ T 2x Risposta : a  perché (x//a) 

Data la retta r(T 1r =3; T 2r =5) rappresentare un piano  tale che sia  //r Data la retta s(T1s=-5; T2s=1) rappresentare un piano  tale che sia  //s Dati i punti A(A'=3; A''=6), B(B'=5; B''=2), C(C'=1; C''=7) definire e rappresentare la retta r  (A,B) quindi costruire e rappresentare un piano  tale che sia (  C)//r Dati i punti X(X'=3; X''=-6), Y(Y'=-5; Y''=2), W(W'=-1; W''=-7) definire e rappresentare la retta s  (X,Y) quindi costruire e rappresentare un piano  tale che sia (  W)//s Dati i punti A(A'=2; A''=6), B(B'=5; B''=5) definire un piano  A quindi condurre per B una retta r tale che sia (r  B)//  Dati i punti C(C'=-3; C''=3), D(D'=-5; D''=5= definire un piano  che sia (  C) quindi condurre per il punto D una retta s tale che sia (s  D)//  Dati i punti E(E'=2; E''=5), F(F'=5; F''=-2) definire un piano  che sia (  E) quindi condurre per il punto F una retta m tale che sia (m  F)//  Dati i punti G(G'=-2; G''=6), H(H'=2; H''=-6) definire un piano  che sia (  G) quindi condurre per il punto H una retta n tale che sia (n  H)//  Dati un piano  (  1 + ;  2 + ) ed un punto A(A'=-2; A''=4)  definire e rappresentare una retta r tale che sia (r  A)// . Dati un piano  (  1 - ;  2 + ) ed un punto B(B'=3; B''=6)  definire e rappresentare una retta s tale che sia (s  B)//  Dati la retta a(  1 + ;  2 + ) ed il punto A(A'=4; A''=5)  a, definire e rappresentare un piano  tale che sia (  A)//a. Dati la retta b(  1 + ; //  2 + ) ed il punto B(B'=-4; B''=-5)  b, definire e rappresentare un piano  tale che sia (  B)//b

VALUTAZIONE DELLE ESERCITAZIONI GRAFICHE Ogni elaborato è costituito da quattro esercizi che vengono, singolarmente, valutati secondo la seguente griglia Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi ) Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) 0,00 0,50 1,00 0,00 0,50 1,00 0,00 0,25 0,50 Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) Si riporta, di seguito, una griglia utilizzata per la valutazione delle esercitazioni grafiche sviluppate sotto forma di elaborati. Si considerano tre parametri fondamentali: 1)Conoscenze teoriche2)Capacità logiche 3)Competenze grafiche Elementi della valutazione Valutazioni Punti PUNTEGGIO TOTALE 0,00 0,50 1,00 0,00 0,50 1,00 0,00 0,25 0,50 0,00 0,50 1,00 0,00 0,50 1,00 0,00 0,25 0,50 0,00 0,50 1,00 0,00 0,50 1,00 0,00 0,25 0,50 2,50 10,00 Test Eserc.

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