מתמטיקה בדידה תרגול 1

מנהלה (1) תמיר טולר. דואל: tamirtul@post.tau.ac.il חדר 20 מ (מרתף). טלפון:5396 אתר: http://www.cs.tau.ac.il/~tamirtul/

מנהלה (2) תרגילי בית. בוחן. מצגות. שעות קבלה יום ד 18-17 (בתאום).

מושגים בסיסיים בלוגיקה הלוגיקה היא תורה שמטרתה לנסח בצורה פורמלית את תורת הדדוקציה, כלומר כיצד ניתן להסיק מסקנות חדשות מהנחות המקובלות על כולם כנכונות. פסוק (טענה) – משפט שאפשר להגיד עליו שהוא אמת (T), או שהוא שקר (F).   דוגמאות: ו - - פסוקים אמיתיים. - פסוק שקרי. - לא פסוק . טבלת אמת: מאפשרת לקבוע את ערכו של פסוק ע"פ כל ההשמות האפשריות

בהינתן פסוקים, ניתן לבנות מהן פסוקים חדשים בעזרת הקשרים הבאים: 1.      טבלת אמת: שלילה בהינתן הפסוק: יוסי למד לבחינה – , הפסוק הוא: יוסי לא למד למבחן. אם A נכון אזי אינו נכון, ולהפך.   F T

בהינתן פסוקים, ניתן לבנות מהן פסוקים חדשים בעזרת הקשרים הבאים: 2.      AND יוסי למד וגם הצליח בבחינה: יוסי למד - יוסי הצליח בבחינה - הצרנה:   טבלת אמת - וגם:

בהינתן פסוקים, ניתן לבנות מהן פסוקים חדשים בעזרת הקשרים הבאים: 3.      OR טבלת אמת - או:

בהינתן פסוקים, ניתן לבנות מהן פסוקים חדשים בעזרת הקשרים הבאים: 4. אם אז טבלת אמת :

בהינתן פסוקים, ניתן לבנות מהן פסוקים חדשים בעזרת הקשרים הבאים: 5. אם ורק אם טבלת אמת :

שקילות לוגית בין נוסחאות שתי נוסחאות שקולות לוגית אמ"מ טבלאות האמת שלהן זהות. דוגמא: דוגמא: שקילות:

כללי דה-מורגן שלילת הפסוק 'יוסי למד לבחינה וגם יוסי הצליח בבחינה': יוסי לא למד לבחינה או יוסי לא הצליח בבחינה  הצרנה: כלל דה מורגן הראשון: הוכחה:

כללי דה-מורגן כלל דה מורגן השני: הוכחה 1: הוכחה 2 (ע"י דה מורגן הראשון):

שקלויות - דוגמאות נוספות (1):   שקלויות - דוגמאות נוספות (1): בסיס להוכחות אם ורק אם: . הוכחה בדרך השלילה: לעומת זאת: הוכחת אי שקילות:בשביל להראות ששתי נוסחאות אינן שקולות די להראות הצבה אחת עבורה שתי הנוסחאות מקבלות ערכים שונים. בדוגמא, אם נציב :

שקלויות - דוגמאות נוספות (2):   שקלויות - דוגמאות נוספות (2): משפט: כל פסוק ניתן לביטוי ע”י הקשרים ו בלבד. תרגיל: בטא בצורה שקולה את הנוסחא: באמצעות הקשרים ו- . פתרון:נציג בצורה שקולה את הגרירה: . נפעיל את כלל דה-מורגן ונקבל: .

שקלויות - דוגמאות נוספות (3):   שקלויות - דוגמאות נוספות (3): אסוציאטיביות (קיבוץ): , דיסטריביוטיביות (פילוג): נסמן ב – T פסוק אמת, וב – F פסוק שקר. אזי:

כמתים – עבור כל וקיים (1) פסוק: סכום שני מספרים שלמים הוא מספר שלם. זהו פסוק אמת. איך נתרגם משפט זה ללשון מתמטית? ניסיון (לא מוצלח) א: (x – מס' שלם) ^ (y – מס' שלם) x+y – מס' שלם. זה אינו פסוק, כי זוהי נוסחא שתלויה ב – x וב – y. ניסיון (מוצלח) ב, הוספת כמתים: נסמן את התכונה של להיות מס' שלם ב Z( ). נקבל:

כמתים – עבור כל וקיים (2) כמת קיים: אינו פסוק, אבל כן. שלילת כמתים: כמתים – עבור כל וקיים (2) כמת קיים: אינו פסוק, אבל כן. שלילת כמתים: השלילה של הפסוק היא . השלילה של הפסוק היא על ידי דוגמא נגדית כלומר . יכול לשמש כדוגמא נגדית. השלילה של פסוק מהצורה: הוא .

שלילת פסוקים עם כמתים שלילת הפסוק : הפסוק הזה שקול לפסוק: . שלילת הפסוק : הפסוק הזה שקול לפסוק: . השלילה של פסוק זה היא: כלומר: לכן השלילה היא

שקילויות הנוגעות לכמתים 1. 2. אבל: דוגמא נגדית: נכון שלכל מס' טבעי n, n זוגי או אי-זוגי. אבל לא נכון שלכל n, n זוגי, וכן לא נכון שלכל n, n אי-זוגי.

חשיבות סדר בין כמתים האם הפסוקים הבאים שקולים: הראשון נכון השני לא נכון. הסבר: בפסוק הראשון y נקבע כפונקציה של x (למשל, y=x+1), בעוד שעל-מנת שהפסוק השני יהיה אמת, יש לקבוע y כלשהו, ולהראות שלכל x התנאי מתקיים.

תחשיב פרדיקטים פרדיקט: תבנית/ביטוי שאם נציב בו ערך נקבל ערך אמת או שקר. כל היונים קראו את כתבי אפלטון. הצרנה: יהי פרדיקט שהוא אם קרא את כתבי אפלטון. קיים יווני שלא קרא את כתבי אפלטון. הצרנה: אם אדם גבוה אז הוא שחקן כדורסל. הצרנה:

תחשיב פרדיקטים שלילה: קיים אדם גבוה שהוא לא שחקן כדורסל.

תחשיב פרדיקטים לכל בן-אדם יש כוכב בשמים המתאים לו. הצרנה: שלילה:קיים בן-אדם כך ששום כוכב בשמים אינו מתאים לו. הצרנה: