Laboratorio di didattica della matematica Argomento Funzioni di due variabili. Massimo e minimo di una funzione sottoposta a vincoli. Problemi di ottimizzazione.   Motivazioni della scelta ·       Presenza dell’argomento nei temi ministeriali     ·       Possibilita’ di utilizzo dell’argomento nelle classi di concorso A047-A048 – A049 anche con esempi applicativi della teoria delle funzioni in due variabili

Funzioni in due variabili e problemi di ottimo Modello matematico : Ottimizzare f(x,y) Vincoli di segno Vincoli tecnici    f(x,y) lineare non lineare Punti di ottimo (estremi) liberi vincolati lineari non lineari   equazioni lineari non lineari   vincoli disequazioni lineari non lineari   equazioni e disequazioni

Estremi liberi Estremi vincolati Metodi per determinare gli estremi:   Estremi liberi Estremi vincolati 1) Procedimento grafico-geometrico 2)   Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano      1)  Procedimento grafico-geometrico Estremi liberi Estremi vincolati Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio Vincolo espresso da equazione g(x,y) = 0

Estremi liberi Estremi vincolati Metodi per determinare gli estremi:   Estremi liberi Estremi vincolati 1) Procedimento grafico-geometrico 2)   Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano      1)  Procedimento grafico-geometrico Estremi liberi Estremi vincolati Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio Vincolo espresso da equazione g(x,y) = 0

Estremi liberi Estremi vincolati Metodi per determinare gli estremi:   Estremi liberi Estremi vincolati 1) Procedimento grafico-geometrico 2)   Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano      1) Procedimento grafico-geometrico  Estremi liberi Estremi vincolati Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio Vincolo espresso da equazione g(x,y) = 0

1) Procedimento grafico-geometrico – Estremi liberi Definizione e rappresentazione grafica di una funzione di due variabili z = f(x,y) (x,y) z = f(x,y) z : D R D = dominio = sottoinsieme di R R Linee di livello

Una linea di livello è la proiezione ortogonale sul piano xy dell’insieme dei punti della superficie aventi valore z = k. Linee di livello Per determinarle : z = f(x,y) z = k  

Esempio Rappresentare le linee di livello di z = x2 – y –2 x per k=1,k = 0, ecc. Risolvere i sistemi z = x2 – y –2 x z=1 z=0

Max e min con curve di livello In prossimità di un massimo o di un minimo le linee di livello si “restringono” e tendono ad un punto. Se, ad esempio, le linee sono circonferenze concentriche di centro O(0,0), nel primo caso k cresce con le circonferenze che hanno raggio crescente, allora O (0,0) è un punto di minimo. Nel caso in cui k cresce verso l’interno, O(0,0) è un punto di massimo.

Estremi liberi Estremi vincolati Metodi per determinare gli estremi:   Estremi liberi Estremi vincolati 1) Procedimento grafico-geometrico 2)   Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano      1) Procedimento grafico-geometrico  Estremi liberi Estremi vincolati Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio Vincolo espresso da equazione g(x,y) = 0

Estremi liberi Estremi vincolati Metodi per determinare gli estremi:   Estremi liberi Estremi vincolati 1) Procedimento grafico-geometrico 2)   Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano      1) Procedimento grafico-geometrico  Estremi liberi Estremi vincolati Vincolo espresso da equazione g(x,y) = 0 Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio

1) Procedimento grafico-geometrico – Estremi vincolati Vincolo espresso da equazione g(x,y) = 0 - g(x,y) linea nel piano xy - variabili non indipendenti, soddisfacenti la condizione g(x,y) = 0 - max e min nei punti di intersezione del dominio con la linea Si cercano gli estremi nei punti d’intersezione del dominio con la linea del vincolo. Nella figura Q0 massimo libero, Q1 vincolato. Si tracciano le linee di livello e la linea del vincolo. I punti estremi sono quelli in cui risultano tangenti.

Estremi liberi Estremi vincolati Metodi per determinare gli estremi:   Estremi liberi Estremi vincolati 1) Procedimento grafico-geometrico 2)   Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano      1) Procedimento grafico-geometrico  Estremi liberi Estremi vincolati Vincolo espresso da equazione g(x,y) = 0 Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio

1) Procedimento grafico-geometrico – Estremi vincolati Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio Se il sottoinsieme S è chiuso e limitato e la funzione f(x,y) è continua in S, per il teorema di Weierstrass esistono min e max assoluti. Per determinarli si devono considerare : -        i punti di max e min relativo interni ad S; -        i punti di max e min appartenenti alla frontiera di S; -        si sceglie l’estremo assoluto. Se la superficie si può rappresentare con curve di livello semplici la determinazione dei massimi e minimi assoluti consiste nell’individuare la linea di livello con k maggiore e quella con k minore, compatibilmente con il sistema dei vincoli.

Estremi liberi Estremi vincolati Metodi per determinare gli estremi:   Estremi liberi Estremi vincolati 1) Procedimento grafico-geometrico 2)   Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano      2)   Metodi dell’analisi Estremi liberi Estremi vincolati Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio Vincolo espresso da equazione g(x,y) = 0

Estremi liberi Estremi vincolati Metodi per determinare gli estremi:   Estremi liberi Estremi vincolati 1) Procedimento grafico-geometrico 2)   Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano      2)   Metodi dell’analisi   Estremi liberi Estremi vincolati Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio Vincolo espresso da equazione g(x,y) = 0

2) Metodi dell’analisi – Estremi liberi   Condizione sufficiente: Data z = f(x,y) si calcolano le derivate parziali prime e seconde: z’x z’y z”xx z”xy z”yy z”yx Si risolve il sistema   z’x = 0 z’y = 0 ottenendo gli eventuali punti critici; da un punto di vista geometrico in tali punti, per l’annullarsi delle derivate parziali prime z’x e z’y , si ha un piano tangente orizzontale, cioè parallelo al piano xy.

Se ( x0,y0 ) è un punto critico, si calcola il valore dell’Hessiano H(x,y) = in ( x0,y0 ) : - se H( x0,y0 )  0 e z”xx( x0,y0 )  0 allora ( x0,y0 ) è un minimo relativo   - se H( x0,y0 )  0 e z”xx( x0,y0 ) < 0 allora ( x0,y0 ) è un massimo relativo - se H( x0,y0 ) < 0 non si ha né max ne min ; se z”xx e z”yy hanno segno opposto allora ( x0,y0 ) è un punto di sella - se H( x0,y0 ) = 0 non si può trarre alcuna conclusione ; bisogna esaminare il comportamento della funzione nell’intorno di ( x0,y0 ) Punto di massimo Punto di minimo Punto di sella

Estremi liberi Estremi vincolati Metodi per determinare gli estremi:   Estremi liberi Estremi vincolati 1) Procedimento grafico-geometrico 2)   Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano      2)   Metodi dell’analisi   Estremi liberi Estremi vincolati Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio Vincolo espresso da equazione g(x,y) = 0

Estremi liberi Estremi vincolati Metodi per determinare gli estremi:   Estremi liberi Estremi vincolati 1) Procedimento grafico-geometrico 2)   Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano      2)   Metodi dell’analisi   Estremi liberi Estremi vincolati Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio Vincolo espresso da equazione g(x,y) = 0

2) Metodi dell’analisi – Estremi vincolati Vincolo espresso da equazione g(x,y) =0   La determinazione degli estremi della funzione z = f(x,y) può essere fatta in modo elementare se l’equazione del vincolo è esplicitabile rispetto ad una delle due variabili. In tal caso si ricava la variabile dal vincolo, si sostituisce nella funzione obiettivo che diventa una funzione di una sola variabile e quindi il problema viene ricondotto alla ricerca di estremi di una funzione in una variabile. Se ciò non è possibile, si ricorre al metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Estremi liberi Estremi vincolati Metodi per determinare gli estremi:   Estremi liberi Estremi vincolati 1) Procedimento grafico-geometrico 2)   Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano      2)   Metodi dell’analisi   Estremi liberi Estremi vincolati Vincolo espresso da equazione g(x,y) = 0 Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio

2) Metodi dell’analisi – Estremi vincolati Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio .   Se il sottoinsieme S è chiuso e limitato e la funzione f(x,y) è continua in S, per il teorema di Weierstrass esistono min e max assoluti. Per determinarli si devono considerare : -        i punti di max e min relativo interni ad S; -        gli eventuali punti interni in cui la funzione non sia differenziabile; -        i punti di max e min appartenenti alla frontiera di S; -        si sceglie l’estremo assoluto.

Lavoro proposto ( Preparazione Unità didattica per problemi) Distribuzione elenco problemi Definire gruppi di lavoro Per ogni problema organizzare il modello risolutivo ( e la soluzione e/o tipo di metodo risolutivo più semplice ) Stabilire quali sono gli “ oggetti matematici” che intervengono nel modello e nella soluzione del modello. Stabilire il metodo risolutivo “più adatto” alla classe in cui si prevede di affrontare l’argomento Definire prerequisiti, obiettivi, approfondimenti

Testi

Elenco con testi e modelli

Determinare max e min di z = x2 + y2 Esempio 1 Determinare max e min di z = x2 + y2   Max e min con curve di livello 1) Procedimento grafico-geometrico – Estremi liberi Paraboloide z = x2 + y2 con linee di livello x2+y2=k Oggetti matematici ed eventuali approfondimenti

1) Procedimento grafico-geometrico – Estremi vincolati Esempio 2 1) Procedimento grafico-geometrico – Estremi vincolati Vincolo espresso da equazione g(x,y) = 0 – Combinazione ottima di fattori produttivi Un’impresa produce un dato prodotto in quantità q impiegando due fattori produttivi A e B legati dalla funzione di produzione q = f(x,y) dove x =quantità di A, y=quantità di B per produrre la quantità q del prodotto. In pratica, la funzione di produzione esprime una relazione tecnico-economica che lega la quantità di prodotto finito q alle quantità x e y di fattori produttivi impiegati, in quanto la quantità q può essere ottenuta con diverse combinazioni di A e B. Se i costi per unità del fattore A e del fattore B sono rispettivamente p1 e p2 , il costo totale relativo alla produzione della quantità q di prodotto è : C = p1 x + p2 y. Si possono presentare due problemi :   1° problema : minimizzare il costo totale (funzione obiettivo) per produrre una prefissata quantità di prodotto (vincolo) 2° problema : massimizzare la produzione (funzione obiettivo) ad un livello di costi prefissato (vincolo)

Esempio numerico relativo al 1° problema Un’impresa produce un certo prodotto impiegando due fattori produttivi A e B i cui costi unitari sono p1 = 20 e p2 = 5 . La funzione di produzione è rappresentata da q = 10 Si vuole determinare la combinazione ottima di fattori produttivi relativa alla produzione della quantità q = 100.  

Esempio numerico relativo al 1° problema Un’impresa produce un certo prodotto impiegando due fattori produttivi A e B i cui costi unitari sono p1 = 20 e p2 = 5 . La funzione di produzione è rappresentata da q = 10. Si vuole determinare la combinazione ottima di fattori produttivi relativa alla produzione della quantità q = 100.   Soluzione Posto q = 100 la funzione di produzione si scrive come segue : 100 = 10 ossia 10 = Il costo totale è C = 20 x + 5 y Pertanto il modello matematico è min C = 20 x + 5 y con i vincoli x  0 y  0 10 = La funzione obiettivo è un piano nello spazio le cui linee di livello risultano rette parallele. Infatti, impostando il sistema z = 20 x + 5 y z = k e risolvendolo per alcuni valori di k si ottengono le rette di livello (isocosti) in figura: La funzione vincolo si può scrivere y = 100 / x (iperbole equilatera ). I punti estremi sono dati dai punti in cui le linee di livello sono tangenti alla linea del vincolo: si imposta il sistema y = 100 / x 20 x + 5 y = k Si pone = 0 il discriminante dell’equazione di secondo grado ottenuta . Quindi il punto di min risulta P(5,20) per k =200 (valore di costo minimo).

1) Procedimento grafico-geometrico – Estremi vincolati Esempio 3 1) Procedimento grafico-geometrico – Estremi vincolati Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio x  0 y  0 2x + y  8 Determinare max e min assoluto di z = f(x,y) = x2 + y2 – 2x – 4y nell’insieme S individuato dal sistema di vincoli :

Esempio Determinare max e min assoluto di z = f(x,y) = x2 + y2 – 2x – 4y nell’insieme S individuato dal sistema di vincoli : x  0 y  0 2x + y  8 L’insieme S è rappresentato dal triangolo OAB, intersezione dei tre semipiani.  La funzione obiettivo è un paraboloide le cui linee di livello sono circonferenze concentriche x2 + y2 – 2x – 4y = k di centro C(1,2) e raggio r = (5+k)1/2, reali se k  –5 Se k = –5 si ha r = 0, se k = –1 si ha r = 2. Le circonferenze hanno raggio crescente al crescere di k. La linea di livello che interseca il triangolo per il più piccolo valore di k determina il punto di minimo : in questo caso C(1,2) con valore di z = –5 . Il valore di max si ha per il più grande valore di k che incontra il triangolo: si ottiene B(0,8) e z = 32 . Oggetti matematici ed eventuali approfondimenti

2) Metodi dell’analisi – Estremi liberi Esempio 4 2)   Metodi dell’analisi – Estremi liberi   Esempio Determinazione del massimo profitto per un’impresa Uno degli obiettivi di un’impresa che produce più beni è quello di determinare il livello di produzione dei singoli beni per massimizzare il profitto. In relazione alle condizioni di vendita l’impresa può operare in un mercato di libera concorrenza, o di monopolio, o di oligopolio; può vendere in mercati diversi o in un solo mercato, a prezzi uguali o diseguali ,etc. Se il regime è di concorrenza perfetta i prezzi sono fissi, indipendenti dalla quantità richiesta; se si opera in condizioni di monopolio i prezzi non sono fissi, ma dipendono dalla funzione di domanda dei singoli prodotti  

  Problema 1 Un’impresa produce due beni e li vende in un mercato di libera concorrenza ai prezzi p1 =800, p2= 1.100 Il costo congiunto di produzione dei due beni , nelle quantità x e y è espresso dalla funzione c(x,y) = x2+xy +2y2 Determinare per quale combinazione dei fattori produttivi il profitto è massimo Soluzione La funzione profitto risulta G(x,y) = 800 x + 1.100y - x2 - xy - 2y2 Annullando le derivate parziali prime si ottiene il punto (x,y) = (300,200). Inoltre H (300,200) = 7>0 e G”xx(300,200 ) = -2 < 0, quindi (300,200) risulta un massimo della funzione profitto.

Risposta : (x,y) = (300,200 ) che corrisponde al valore G = 66.000.   Problema 2 Un’impresa produce due beni surrogati ( l’aumento di prezzo di uno si traduce nell’aumento della domanda dell’altro ) e li vende in condizioni di monopolio. Le due leggi della domanda sono espresse dalle relazioni : x = 1000 –3p1 +p2 , y = 800 + 2p1 –4p2 Il costo unitario di produzione è 180 per il primo prodotto, 230 per il secondo. Determinare la combinazione produttiva per la quale il profitto è massimo. Risposta : (x,y) = (300,200 ) che corrisponde al valore G = 66.000. Si ricavano p1, p2 in funzione di x e y p1= 480– 0.4 x–0.1 y p2= 440–0.2 x–0.3 y Si ha G = R–C = p1 x+p2 y –(180 x+230y). Sostituendo p1 e p2 si ottieneG = –0.4x2–0.3 xy–0.3y2+300 x+210 y Calcolando le derivate parziali prime e ponendole uguali a zero si otiene un sistema –0.8 x–0.3y+300 =0 –0.3 x–0.6y+210 =0 che ha per soluzione x= 300, y=200 che è proprio un massimo in quanto l’hessiano risulta =0.39>0 e <0    Oggetti matematici ed eventuali approfondimenti

2) Metodi dell’analisi – Estremi vincolati Esempio 5 2)   Metodi dell’analisi – Estremi vincolati Vincolo espresso da equazione g(x,y) =0 .   Esempio Data la funzione z = - x2 – 5y2 –3xy +6x +8y, determinarne gli estremi con il vincolo 4x + 5y = 100 Risposta : max (83/3 , -32/15, -2311/5). Espilicitando il vincolo rispetto a y e sostituendo in z si ottiene una funzione in una sola variabile, di cui si trovano max e min calcolando la derivata prima e seconda .

2) Metodi dell’analisi – Estremi vincolati Esempio 6 2)   Metodi dell’analisi – Estremi vincolati Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio .   Esempio Si determinino gli estremi assoluti della funzione z = -3x2 +2xy –3y2 –2x + 7y +1 nel dominio chiuso definito dal triangolo di vertici O(0,0) , A(0,2), B(2,0). Risposta : max in (1/16 , 19/16, 163/32) che è anche un massimo relativo; min in (2, 0 –15) che non è anche un minimo relativo dato che si trova sulla frontiera .  Si cercano gli estremi liberi, accertandosi che siano accettabili per i vincoli( derivate parziali ed hessiano) Si cercano gli estremi lungo la frontiera (ci si riduce ad una sola variabile con sostituzione vincolo o valori dei vertici, poi derivata prima e seconda per funzioni in una variabile) Si definiscono gli estremi assoluti dal confronto dei valori precedentemente determinati.  Oggetti matematici e ulteriori approfondimenti

Tipo di applicazioni Competenze (saper fare) Argomento Prerequisiti Obiettivi Problemi economici Funzioni di due variabili. Massimo e minimo di una funzione sottoposta a vincoli. Problemi di ottimizzazione.   Retta, parabola, iperbole Funzioni di una variabile Disequazioni e sistemi di disequazioni in due variabili Conoscenze (sapere) Calcolo differenziale. Condizioni di estremo Modellizzazione Rappresentazione nel piano delle curve di livello di una f(x,y) Massimi e minimi con curve di livello, per problemi di estremo libero e vincolato Massimi e minimi con metodi dell’analisi, per problemi di estremo libero e vincolato Superfici nello spazio Curve nel piano ( Metodo dei moltplicatori di Lagrange ) Oggetti matematici e approfondimenti Utilizzo del calcolatore Grafici di superfici nello spazio con il calcolatore