INTEGRALI INTRODUZIONE STORICA Cabrini, Catalano, Guariglia, Pilati, Verona

Origini del calcolo integrale: i Greci I due grandi capitoli dell’Analisi infinitesimale: calcolo integrale e calcolo differenziale Origini del calcolo integrale: i Greci Non esistevano le funzioni, quindi si studiavano problemi di calcolo di aree e volumi Procedimento adottato: metodo di esaustione (Eudosso di Cnido) IL METODO DI ESAUSTIONE DI EUDOSSO 400 a.C. LA MISURA DEL CERCHIO DI ARCHIMEDE 200 a.C. SCOPERTA DEL PI GRECO CAVALIERI E IL METODO DEGLI INDIVISIBILI 1600 d.C. ALCUNI MATEMATICI MODERNI «riempire» un’area con delle figure note tali che la loro somma approssimi l’area cercata. > XVII sec.

IL METODO DI ESAUSTIONE DI EUDOSSO Idea generale A = B, quindi per assurdo proviamo che se A ≠ B allora esiste una figura intermedia C che dovrebbe provocare ua conseguenza falsa. Assioma di partenza “Si dice che hanno rapporto fra loro quelle grandezze che sono capaci se moltiplicate di superarsi a vicenda” 400 a.C. LA MISURA DEL CERCHIO DI ARCHIMEDE 200 a.C. Eudosso dimostra che un cerchio può essere “esaurito” da poligoni regolari iscritti con un numero di lati via via crescente. In termini moderni: metodo di esaustione = calcolo dell’integrale semplice. Eudosso fu il primo a sviluppare un calcolo che può definirsi la chiave dell’analisi infinitesimale moderna. SCOPERTA DEL PI GRECO CAVALIERI E IL METODO DEGLI INDIVISIBILI 1600 d.C. ALCUNI MATEMATICI MODERNI > XVII sec.

200 anni dopo: Archimede riprende il metodo di esaustione IL METODO DI ESAUSTIONE DI EUDOSSO 200 anni dopo: Archimede riprende il metodo di esaustione Problema: risolvere la quadratura del cerchio Idea: trovare l’area del cerchio  costruzione del quadrato di uguale area 400 a.C. LA MISURA DEL CERCHIO DI ARCHIMEDE 200 a.C. SCOPERTA DEL PI GRECO CAVALIERI E IL METODO DEGLI INDIVISIBILI 1600 d.C. QUADRARE UNA FIGURA:significa costruire un quadrato di area uguale a quella della figura piana considerata. Se ciò è realmente possibile, allora si dice che la figura è <<quadrabile>>. ALCUNI MATEMATICI MODERNI > XVII sec.

Archimede pensò quindi che fosse possibile quadrare il cerchio. IL METODO DI ESAUSTIONE DI EUDOSSO 225 a.C.: Archimede calcola l’area del cerchio costruendo poligoni inscritti e circoscritti. 400 a.C. LA MISURA DEL CERCHIO DI ARCHIMEDE Aumentando il numero dei lati ci si avvicina sempre di più all’area del cerchio senza mai raggiungerla. 200 a.C. SCOPERTA DEL PI GRECO Archimede pensò quindi che fosse possibile quadrare il cerchio. CAVALIERI E IL METODO DEGLI INDIVISIBILI 1600 d.C. ALCUNI MATEMATICI MODERNI > XVII sec. Il rapporto dell’area del cerchio con il suo raggio è un numero irrazionale!!! Scoperta del 𝜋

IL METODO DI ESAUSTIONE DI EUDOSSO Origini della scoperta: osservazione del rapporto tra circonferenza C e il suo diametro d 400 a.C. 𝐶 𝑑 =𝜋 (costante) LA MISURA DEL CERCHIO DI ARCHIMEDE All’aumentare del diametro del cerchio aumenta proporzionalmente anche la lunghezza della circonferenza 200 a.C. SCOPERTA DEL PI GRECO CAVALIERI E IL METODO DEGLI INDIVISIBILI 1600 d.C. ALCUNI MATEMATICI MODERNI > XVII sec.

IL METODO DI ESAUSTIONE DI EUDOSSO 400 a.C. Il numero 𝝅  è anche il doppio della relazione costante fra l’area di un cerchio ed il quadrato in esso inscritto. A= 𝜋r2 LA MISURA DEL CERCHIO DI ARCHIMEDE 200 a.C. SCOPERTA DEL PI GRECO L’area del quadrato equivale esattamente al suo lato elevato al quadrato, applicando il teorema di Pitagora otteniamo: CAVALIERI E IL METODO DEGLI INDIVISIBILI 1600 d.C. Conclusione: il cerchio non è un figura quadrabile, ma tramite 𝜋 possiamo comunque approssimarne l’area. ALCUNI MATEMATICI MODERNI > XVII sec.

Seicento: rinascita scientifica e matematica. Tra la morte di Archimede e il 1600 d.C.: il progresso occidentale subisce una lunga fase di rallentamento. Seicento: rinascita scientifica e matematica. IL METODO DI ESAUSTIONE DI EUDOSSO 400 a.C. LA MISURA DEL CERCHIO DI ARCHIMEDE 200 a.C. Introduzione dei concetti di «limite» e di «serie» Problema: il metodo di esaustione può funzionare come metodo empirico, ma non ha una dimostrazione rigorosa. SCOPERTA DEL PI GRECO CAVALIERI E IL METODO DEGLI INDIVISIBILI 1600 d.C. Va interpretato in chiave rigorosamente logica. ALCUNI MATEMATICI MODERNI > XVII sec. Bonaventura Cavalieri

(indivisibili di area) Bonaventura Cavalieri, un matematico del periodo, conosce Galileo Galilei che lo spinge a dedicarsi allo studio degli integrali IL METODO DI ESAUSTIONE DI EUDOSSO 400 a.C. pubblica Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, un’opera che si basa sui seguenti principi: LA MISURA DEL CERCHIO DI ARCHIMEDE 200 a.C. Area = numero indefinitivamente grande di segmenti paralleli equidistanti (indivisibili di area) Volume = numero indefinitivamente grande di aree piane parallele (indivisibili di volume) SCOPERTA DEL PI GRECO CAVALIERI E IL METODO DEGLI INDIVISIBILI 1600 d.C. Sviluppo del metodo degli indivisibili ALCUNI MATEMATICI MODERNI > XVII sec.

Fine XVII sec – inizio XVIII sec: Inizi XVII secolo: Fermat e Nicolaus Mercator  riprendono le teorie di Cavalieri -> altri metodi per calcolare l'area sottesa di semplici funzioni. Fine XVII sec – inizio XVIII sec:   Newton, Leibniz, Johann Bernoulli scoprono indipendentemente il teorema fondamentale del calcolo integrale -> primitive. Definizione di integrale per le funzioni continue in tutto un intervallo (Pietro Mengoli), migliorata da Cauchy, poi Riemann e infine Darboux. IL METODO DI ESAUSTIONE DI EUDOSSO 400 a.C. LA MISURA DEL CERCHIO DI ARCHIMEDE 200 a.C. SCOPERTA DEL PI GRECO CAVALIERI E IL METODO DEGLI INDIVISIBILI 1600 d.C. ALCUNI MATEMATICI MODERNI > XVII sec. Fermat Newton Bernoulli