Il Problema della Scelta di Gruppo Il Paradosso di Condorcet: Un insieme di individui con preferenze razionali non ha necessariamente preferenze razionali quando agisce come gruppo. La razionalità individuale non è sufficiente per assicurare la razionalità di gruppo. Individui razionali hanno ordinamenti di preferenze completi e transitivi.

Attori Razionali indica che x è preferito a y dall’individuo i nel senso che, data una scelta tra x e y, l’individuo sceglierebbe x. Un attore ha un ordinamento completo di preferenze se può confrontare ogni coppia di elementi (che chiameremo x e y) in un insieme di risultati in uno dei seguenti modi – l’attore preferisce x a y, preferisce y a x, o è indifferente tra i due. Un attore ha un ordinamento transitivo di preferenze se, per qualsiasi x, y, e z nell’insieme di risultati, è il caso che se x è preferito a y e y è preferito a z, allora x deve essere preferito a z. Un attore preferisce “strettamente” x a y se x è sempre meglio di y. Un attore preferisce “debolmente” x a y se x è almeno altrettanto buono come y.

Il Paradosso di Condorcet: Un Esempio Immaginate un parlamento composto da tre persone o tre gruppi coesi che devono decidere se: Incrementare l’impegno militare (I) Diminuire l’impegno militare (D) Mantenere i livelli correnti di impegno militare(C)

Supponiamo che i parlamentari abbiano le seguenti preferenze: I > C > D D > I > C Preferenze dei parlamentari nei confronti dell’impegno militare Parlamentare “pacifista” Parlamentare di Centro Parlamentare vicino agli interessi dell’esercito C > I > D I > D > C D > C > I Nota: I = Incrementare l’impegno militare; D = Diminuire l’impegno militare; C = Mantenere il livello corrente di impegno militare; > : “è strettamente preferito a”.

Torneo Round Robin - Girone all’Italiana Supponiamo che i consiglieri votino su tutti i possibili confronti a coppia delle alternative, utilizzando la regola della maggioranza, e l'alternativa che vince il maggior numero di confronti è la scelta del gruppo.

Condorcet Paradox ranking 1° D C I 2° 3° Parlam. pacifista di Centro vicino all’esercito 1° D C I 2° 3°

Parl.pacifista, e parl. vicino all’esercito scelgono D contro C ranking Parlam. pacifista di Centro vicino all’esercito 1° D C I 2° 3°

Parl.di centro, e parl. vicino all’esercito scelgono I contro D ranking Parlam. pacifista di Centro vicino all’esercito 1° D C I 2° 3°

Parl.pacifista, e parl. di Centro scelgono C contro I ranking Parlam. pacifista di Centro vicino all’esercito 1° D C I 2° 3°

Ma Parl.pacifista, e parl. vicino all’esercito scelgono D contro C... ranking Parlam. pacifista di Centro vicino all’esercito 1° D C I 2° 3°

Il gruppo “non può decidere": ogni alternativa vince 1 giro Esiti dei Girone all'Italiana (Torneo Round Robin) Giro Confronto Vincitore Maggioranza vincente 1 Diminuzione vs Impegno corrente D Pacifista+vicino interessi esercito 2 Incremento vs Diminuzione I Centro+vicino interessi esercito 3 Corrente vs. Incremento C Pacifista+Centro

RISULTATO: INSTABILITÀ Queste preferenze, in combinazione con questa procedura, produce “Maggioranze Cicliche” Il parlamentare pacifista propone una diminuzione dell’impegno e il parlamentare Vicino all’esercito accetta RISULTATO: INSTABILITÀ LIVELLO CORRENTE Il parlamentare di centro propone un aumento e il parlamentare vicino all’esercito accetta Il parlamentare pacifista propone il livello corrente ed il parlamentare di centro accetta

Il Paradosso di Condorcet Questo esempio dimostra che è possibile che un insieme di individui razionali formi un gruppo con preferenze intransitive. In altre parole, la razionalità individuale e la regola della maggioranza non garantiscono che un’alternativa emerga come un vincitore Condorcet. Un vincitore Condorcet è quell'alternativa che batte tutte le altre in una serie di confronti a coppie.

La regola della maggioranza è problematica Chi è la maggioranza? (ogni alternativa ha una sua maggioranza) A volte non c'è vincitore finale Quando le preferenze del gruppo sono intransitive, non c’è un risultato stabile o oppure il risultato è determinato dalle regole del gioco. Tipicamente, la regola che designa chi organizza l’agenda (agenda setter) è decisiva

Quanto serio è il problema del paradosso di Condorcet? Probabilità di intransitività di un gruppo =f(m, n) dove m è il numero di alternative e n è il numero di votanti In particolare: Pr (intransitività) = # di configurazioni di preferenze “problematiche” (m!)n

Quando il numero delle alternative o il numero dei votanti è grande… le maggioranze cicliche sono più probabili Proporzione di Possibili Ordini Forti di Preferenze senza un Vincitore di Condorcet Numero di votanti Numero di alternative 3 5 7 9 11 → Limite 0,056 0,069 0,075 0,078 0,080 0,088 4 0,111 0,139 0,150 0,156 0,160 0,176 0,200 0,215 0,251 6 0,202 0,315 ↓ 1,000

L’Instabilità della Regola della Maggioranza Dal momento che molte decisioni in democrazia includono molti “votanti" o un gran numero di alternative, se le decisioni vengono prese impiegando un torneo round- robin, dovremmo osservare una grande instabilità politica. La maggior parte degli studiosi ritengono che si osserva più stabilità politica di quanto il paradosso di Condorcet suggerirebbe.

Le Istituzioni sono importanti Un motivo per cui non osserviamo instabilità è che in realtà i processi decisionali sono incanalati da regole (istituzioni) che riducono l’insieme delle alternative fra le quali il gruppo sceglie o predispongono un ordine di scelta finito. Un quest’ultimo caso possono risultare cruciali l’agente che predispone l’agenda (l’agenda setter)

Che cosa è un’Agenda? Un piano che determina l'ordine in cui si svolgono le votazioni (ordine del giorno). Ad esempio: Primo turno: I vs. D Secondo turno: Vincitore del 1° turno vs. C

Chiunque controlli l’agenda controlla l’esito finale Si immagini che la votazione avvenga in due passaggi e che il legislatore pacifista controlli l’agenda.. ranking Leg. pacif. Cen. eserc. 1° D C I 2° 3° I C C D D

Chiunque controlli l’agenda controlla l’esito finale Si immagini che sia il legislatore di centro a controllare l’agenda.. ranking Leg. pacif. Cen. eserc. 1° D C I 2° 3° D I I C C

Chiunque controlli l’agenda controlla l’esito finale Si immagini che sia il legislatore vicino agli interessi dell’esercito a controllare l’agenda.. ranking Leg. pacif. Cen. eserc. 1° D C I 2° 3° D C D I I

Il Potere dell'Organizzatore dell'Agenda Pertanto, una ragione per la quale la politica sembra essere più stabile di quanto si potrebbe prevedere alla luce del paradosso di Condorcet è che è data, ad uno o più attori, la possibilità di organizzare l'agenda. Se questo è vero, allora la stabilità è stata raggiunta a scapito dell'equità (in quanto l'organizzatore dell'agenda si comporta come un dittatore – viene sempre scelta la sua alternativa preferita)

Stabilità attraverso restrizioni sulle preferenze: Un altro modo con cui si potrebbero produrre risultati stabili, nonostante la presenza di molti votanti ed un gran numero di alternative, è quello di imporre delle restrizioni alle preferenze che gli attori possono avere.

Teorema del Votante Mediano Se, In un confronto tra due alternative Disposte lungo una singola dimensione politica Ci sono un numero dispari di votanti Con preferenze a picco singolo Che votano in modo sincero Allora, la proposta in corrispondenza del punto ideale del votante mediano batterà tutte le altre alternative

1. Confronto tra due alternative Nella versione di Black (1948), queste erano alternative presentate da un comitato. I membri del comitato erano liberi di proporre qualsiasi modifica dello status quo, ma eventualmente, se veniva presentato il punto ideale del votante mediano del comitato, questo avrebbe vinto, sarebbe diventato il nuovo status quo e nessuna alternativa l'avrebbe battuto. In quella di Downs (1957), le alternative erano pensate come proposte politiche di due partiti che contendevano un'elezione. Sebbene i partiti potessero proporre qualsiasi punto sulla linea, qualsiasi partito che avesse proposto una politica diversa da quella corrispondente al punto ideale del votante mediano poteva essere sconfitto da un concorrente che l'avesse fatto.

2. Una singola dimensione politica La stabilità trovata nel Teorema del Votante Mediano dipende molto dal presupposto secondo il quale la politica è "unidimensionale". Se gli elettori hanno a cuore differenze distribuite su più di una dimensione politica, abbiamo bisogno di cambiare la natura delle restrizioni sugli assunti per ottenere una soluzione unica.

3. Un numero dispari di votanti Questo presupposto è comodo per la modellazione. Senza di esso non ci sarebbe un "votante mediano", vale a dire non ci sarebbe un votante posizionato in modo tale che ci siano un numero uguale di votanti su ciascun lato dello spazio politico.

4. Preferenze a Picco Unico Votanti con preferenze a picco unico hanno un punto ideale nello spazio politico e la loro utilità (benessere) declina se la politica si allontana da tale punto. Funzione di utilità del consigliere di centro Asse delle Y: Utilità. Asse delle X: Livello di fornitura di servizi sociali Nota: I = Incrementare i servizi sociali; D = Diminuire i servizi sociali; C = Mantenere i livelli correnti di servizi sociali

Alcuni ordinamenti razionali di preferenze violano il principio del picco unico Funzione di utilità del consigliere di destra Asse delle Y: Utilità. Asse delle X: Livello di fornitura di servizi sociali Nota: I = Incrementare i servizi sociali; D = Diminuire i servizi sociali; C = Mantenere i livelli correnti di servizi sociali

ranking Leg.1 Leg.2 Leg.3 1° D C 2° I 3° Utility 1° 2° 3° Quando le alternative possono essere disposte su una sola dimensione ossia quando le curve di utilità di ciascun votante sono a picco singolo allora c’è un vincitore : il votante mediano Utility 1° ranking Leg.1 Leg.2 Leg.3 1° D C 2° I 3° 2° 3° I D C

ranking Leg.1 Leg.2 Leg.3 1° D C 2° I 3° Utility 1° 2° 3° Quando le alternative possono essere disposte su una sola dimensione ossia quando le curve di utilità di ciascun votante sono a picco singolo allora c’è un vincitore : il votante mediano Utility ranking Leg.1 Leg.2 Leg.3 1° D C 2° I 3° 1° 2° 3° I D C

ranking Leg.1 Leg.2 Leg.3 1° D C I 2° 3° 2 peaks Utility 1° 2° 3° Quando c’è il paradosso di Condorcet (nessun vincitore) allora le alternative non possono essere disposte su una sola dimensione ossia le curve di utilità di ciascun votante non sono tutte ad un solo picco. 2 peaks Utility 1° 2° 3° ranking Leg.1 Leg.2 Leg.3 1° D C I 2° 3° D C I

ranking Leg.1 Leg.2 Leg.3 1° D I C 2° 3° 2 peaks Utility 1° 2° 3° Quando c’è il paradosso di Condorcet (nessun vincitore) allora le alternative non possono essere disposte su una sola dimensione ossia le curve di utilità di ciascun votante non sono tutte ad un solo picco. 2 peaks Utility 1° ranking Leg.1 Leg.2 Leg.3 1° D I C 2° 3° 2° 3° I C D Su 2 o più dimensioni l’equilibrio (il vincitore) non è garantito, è anzi improbabile.