L’ingegnere delle situazioni zUn gran numero di situazioni sono state inventate e sperimentate affinchè gli allievi apprendano le matematiche dalla pratica del dibattito sulla prova. zAlcuni hanno per oggetto preciso di insegnare le regole complesse dell ’argomentazione. ex :« chi dirà 20 », « il centro del cerchio circonscritto ad un triangolo »...

La ricerca del numero più grande zEcco un esempio introduttivo alla situazione di argomentazione e della prova.

Che fanno i matematici? zUn processo di tre situazioni per far comprendere a de ragazzi di 10 anni, il ruolo delle dimostrazioni e dei contro esempi : zIl concorso del numero più grande zIl gioco dei mercanti di metodi zIl concorso dei teoremi

Il concorso del numero più grande zIl professore : « Scrivo 5 numeri naturali alla lavagna »  « Utilizzando questi 5 nomeri una volta ed una sola, e con l’aiuto delle operazioni che voi conoscete (+, -, x, : ), e che voi sceglierete come voi vorrete, provate ad ottenere un numero il più grande possibile. E’ un concorso tra di voi. »

Ecco i numeri : 3;8;7;5;4 z«Per vincere bisogna : zAver detto quali operazioni bisogna fare per calcolarlo zAver effettuato il calcolo senza errori ze che nessuno abbia trovato un numero più grande » (situazione d ’azione)

Situazione d ’azione Conoscen ze Soggetto o istituzion e che agisce Ambiente materiale, sociale etc. Azioni informazioni Figura 4 Situazione d’Azione

Il gioco del mercante di metodi z« L’igegnere che inventa un nuovo metodo, un materiale o un metodo di fabricazione ne fa una decsrizione precisa ed ottiene un brevetto. In seguito tutti quelli che vogliono utilizzare questo prodotto, questo materiale o questo metodo devono pagare dei diritti all’inventore»

(Situazione di formulazione e di comunicazione) z« Allora provate a dire prima quali operazioni bisogna fare per guadagnare il prossimo concorso del numero più grande. Dovete scegliere e descrivere un metodo. Mettetevi in gruppi di 4. zNon saprete anbcora i numeri che io vi proporrò, bisognerà dunque disegnarli, con delle lettere forse ? »

Ordinogramma e formule zEsempio di proposizioni di allievi z((3 x 8) x (7 x 5)) x x x 24 x x 3360

più tardi … z z Anne io ho sommato il più grande : 9 z uguale 9 e 9 volte tre 27 z Alexandra : Io faccio il metodo di Aline? z Anne : Ma no, bisogna fare il mio poiché é quello là che si é trovato, allora tu fai il tuo. 

Situazione di comunicazione Repertori o Conoscen ze, linguaggi, etc. E Soggetto o istituzione Che emette Ambiente materiale sociale etc. Figura 5 Situazione di comunicazione R Soggetto o Instituzion e Che riceve Messaggi o Repertorio Conoscenz e, linguaggi, etc. Ambiente di R

(Nuova sitazione d’azione) zPrima di fare una nuova partita, yI gruppi di inventori verranno ad esporre i loro metodi, yI giocatori sceglieranno quello che vorranno utilizzare yGli inevntori riceveranno un punto dalla scelta zma dopo al partita se il metodo ha perduto, l’inventore pagerà un compenso

Provate con 3; 5; 2; 6; 7 z« I compratori, mettono alla prova i metodi venduti dai venditori » zAdesso una situazione che modellizza una attività matematica ; la situazione di prova e di validadazione sociale

Il concorso dei teoremi zInvece di guadagnare dei punti solamente giocando a fabricare dei metodi o ad utilizzarli potete guadagnare discutendoli: z Se mostrate che un metodo in vendita non da sempre il numero più grande voi segnerete 10 punti

Se l’inventore rifiuta di riconoscere il suo errore? yPotete obbligarlo a giocare con i numeri che voi gli proporrete, guadagnerete i punti che egli perde Segnerete dei punti... yConvincendo i vostri compagni che avete ragione yMostrando che le dichiarazioni degli altri sono sbagliate

(Situazione di prova e validazione sociale) zPerederete dei punti se vi sbagluate ze soprattutto se vi ostinate a sostenere un errore

z z Alexandra: Se tu moltiplichi 0 per 5 avrai 0. Ma se tu fai 0 +5 avrai 5. Aline diceva che quando si ha dei numeri bisogna moltiplicarli tutti … 

z z Alex. E se si fa 1 volta 5 questo fa 5. Se tu fai 1+5, questo fa 6 z Anne. E’ quello che avevo dello l’ultima volta z Alex. Ecco ! Il metodo di Aline non funziona z Eymeric Questo funziona con i numeri … z Anne … Tutti i numeri salvo 0 e 1

Primi teoremi zDegli allievi propongono « Bisogna moltiplicare tutti i numeri » zDiscutono rapidamente e s’accordano sul fatto che l’ordine non ha importanza: z« bisogna moltiplicare tutti i numeri non importa in quale ordine.»

Lo zero truffa !  Allora il professore propone 3; 4; 7; 0; 2 ! zSubito gli allievi cercano insiemi di numeri che contraddicono i metodi Cioè dei contro esempi

1 anche ! z3; 4; 1; 7; 9 Come utilizzare l’ 1? zE in questo caso 1;3;7;1;2 ? ? z… zAd ogni tappa di nuovi contro esempi … fino a z1; 1 ;1; 1 ;1

z z Elsa: Se si somma l’1 alla fine, non é che una volta z Anne (off) Questo sarà minore z Elsa: Per esempio si moltiplica al più grande… heu... si addiziona al più grande, quando multiplica, é parecchie volte, é ripetuto z Voix (off) Ma non ! 

z z Anne (off) Se e si é quello che ho detto. z Elsa : 8+1 questo fa 9, ma se io faccio dopo 9 volte 5, l’1 é ripetuto… é 5 volte dentro z Se tu lo sommi alla fine, non é che una volta z Anne (off): E’ quello che ho detto, anche se ha trovato 481 ed io ho trovato 540 !

aritmetica zCosì nel corso di questa tappa gli allievi s’interrogano sulla commutatività, utilizzano implicitamente la distributività della moltiplicazione per spiegare il loro lavoro zBisogna aggiungere 1 ad uno dei terminidel prodotto o al prodotto stesso ? zEd a quale numero, al grande ? Al piccolo ?

Repertorio Conoscenz e Linguaggi, Logica, Teoria etc. A Soggetto o istituzione Proponente Ambiente materiale sociale etc. Figura 6 Situazione di prova, o di validazione sociale B Soggetto o Istituzione Opponent e Modello dell’ambien te Prove Teoremi Soggetto del dibattito Repertorio Conoscenz e Linguaggi, Logica, Teoria etc..

Gli allievi domandano : esistono teoremi senza contro-esempio? zIn questa attività, gli allievi ysi esercitano nell’arte del contro-esempio yutilizzano e formulano dei teoremi d ’aritmetica y«scoprono» le regole della dimostrazione come mezzo dell’argomentazione. yE si fanno un’idea soggettiva di « che cosa é l’attività matematica ? » 