LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO

Slides:



Advertisements
Presentazioni simili
Misure ed Errori Prof Valerio CURCIO.
Advertisements

LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE
LIMITI:DEFINIZIONI E TEOREMI
CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI
Definizioni.
FUNZIONI ESPONENZIALI E FUNZIONI LOGARITMICHE
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
Le Funzioni.
1 2 OSSERVA LA SEGUENTE POTENZA 4 2 = 16 IMMAGINIAMO CHE UN DATO SIA SCONOSCIUTO E LO INDICHIAMO CON LA LETTERA X.
in un punto in un intervallo
= 2x – 3 x Definizione e caratteristiche
Definizione (rigorosa) di limite
POLINOMI 2 aspetti o punti di vista 1) Algebrico formale 2) Funzionale 1) A(x) è un espressione algebrica che, ridotta a forma normale, è del tipo A(x)
Studio funzioni by Mario Varalta Studio funzioni by Mario Varalta.
FUNZIONE: DEFINIZIONE
MASSIMI E MINIMI Una funzione è
SI DEFINISCE DOMINIO O CAMPO DI ESISTENZA DI UNA FUNZIONE REALE DI VARIABILE REALE, L’INSIEME DEI VALORI ATTRIBUIBILI ALLA VARIABILE INDIPENDENTE X CHE.
MASSIMI E MINIMI DI UNA FUNZIONE
Studio funzioni Premesse Campo esistenza Derivate Limiti Definizione di funzione Considerazioni preliminari Funzioni crescenti, decrescenti Massimi,
LIMITI DI UNA FUNZIONE PRIMI CONCETTI ESEMPI INTRODUTTIVI DEFINIZIONI.
INTERVALLI E INTORNI INTERVALLI INTORNI PUNTI PER UN INSIEME.
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
Cos’è una funzione FUNZIONE : è una particolare corrispondenza tra gli elementi di due insiemi che: ad ogni elemento del primo insieme fa corrispondere.
Funzioni Dati due insiemi non vuoti A e B,
Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
PREMESSE DELL’ANALISI INFINETISIMALE
Radice quadrata di un numero
Intervalli limitati... Esempi [a ; b= xR a  x  b
ITCS MARIO PAGANO - NAPOLI
LIMITI DI UNA FUNZIONE PRIMI CONCETTI ESEMPI INTRODUTTIVI DEFINIZIONI
Stabilità per E.D.O. (I): STABILITÀ LINEARIZZATA
Definizione di Limite di una funzione
LE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO
Funzioni continue Prof. V. Scaccianoce.
Valutare la difficoltà dei problemi
Le Funzioni Prof. Antonelli Roberto Prof. Antonelli R.
Problema retta tangente:
Martina Serafini Martina Prandi
Lezione multimediale a cura della prof.ssa Maria A. Sinagra
Disequazioni di secondo grado
Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3
Calcolo delle probabilità a cura di Maurizio Brizzi
Def : uno stimatore è una statistica T n le cui determinazioni servono a fornire delle stime del parametro ignoto  della v.c. X in cui sono state effettuate.
I LIMITI.
Maranza Stefano Menozzi Andrea
Isiss “Valle Seriana” 10 dicembre 2013 classe Quarta A OSS
(I) Ricerca massimi e minimi
INTERVALLI E INTORNI INTERVALLI INTORNI PUNTI PER UN INSIEME
F U N Z I O N I Definizioni Tipi Esponenziale Logaritmica
6. LIMITI Definizione - Funzioni continue - Calcolo dei limiti
Dominio di una funzione Richiamiamo il concetto di funzione Siano A e B due insiemi. Una funzione di A in B è una corrispondenza che ad ogni elemento di.
FUNZIONE: DEFINIZIONE Una FUNZIONE è una LEGGE che ad ogni elemento di un dato insieme A, detto DOMINIO, associa uno ed un solo elemento di un insieme.
(II) Concavità e flessi
FUNZIONE: DEFINIZIONE
IISS "E.MEDI" Galatone Prof. Giuseppe Frassanito a.s. 2012/2013
Elementi di Topologia in R
Teoremi sulle funzioni derivabili 1. Definizione di massimo globale x0x0 f(x 0 ) Si dice massimo assoluto o globale di una funzione il più grande dei.
Breve trattazione della Serie di Mac – Laurin ISTITUTO ISTRUZIONE SECONDARIA SUPERIORE “E.Medi” Galatone di Michele Caprio Classe 5 A st Liceo Scientifico.
I LIMITI.
Disequazioni di secondo grado Teoria ed applicazioni Classe2ai Prof. Govoni.
Esponenziali e Logaritmi
1Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012.
Sistemi di disequazioni Definizioni Risoluzione Esercizi Materia: Matematica Autore: Mario De Leo.
Studio di Funzioni Esempio funzione razionale fratta Giora Giulia
I limiti.
LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO
Transcript della presentazione:

LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO Prof. R. Capone Liceo Classico «F. De Sanctis» Lacedonia(AV)

1. LA DEFINIZIONE Quando x si avvicina a x0, f(x) si avvicina a f(x0) o a un altro valore reale l ? Quando x si avvicina a x0, f(x) si avvicina a un valore l che è proprio f(x0). x0 non appartiene al campo di esistenza. Quando x si avvicina a x0, f(x) si avvicina a un valore l che non è f(x0). Quando x si avvicina a 0 la funzione oscilla indefinitamente. f(x) non si avvicina ad alcun valore determinato.

1. LA DEFINIZIONE 6 Cosideriamo la funzione: . ESEMPIO Cosideriamo la funzione: . Che cosa succede ai valori di f(x) quando x si avvicina a 3? La condizione per avere |f(x) – 6| < e è |x – 3| < . Cioè, per ogni numero reale positivo e, se , x f(x) 2,9 5,8 2,99 5,98 2,999 5,998 2,9999 5,9998 x f(x) 3,1 6,2 3,01 6,02 3,001 6,002 3,0001 6,0002 allora . 6

1. LA DEFINIZIONE Limite finito per x che tende a x0 Si dice che la funzione f (x) ha per limite il numero reale l per x che tende a x0, e si scrive , quando, comunque si scelga un numero reale positivo f, si può determinare un intorno completo I di x0 tale che risulti per ogni x appartenente a I, diverso (al più) da x0. In simboli .

2. IL SIGNIFICATO DELLA DEFINIZIONE Qual è il significato intuitivo della definizione? Fissiamo e > 0. Individuiamo un intorno I di x0 tale che per ogni . Se riduciamo e, troviamo un intorno di x0 più piccolo. L’esistenza del limite assicura che: se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si avvicina indefinitamente a l . In simboli .

LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 3. LA VERIFICA ESEMPIO Verifichiamo che . Per ogni e troviamo l’insieme dei valori di x che soddisfano la condizione e verifichiamo che contenga un intorno di 2. Quindi , cioè da cui si ricava . In temini di intervalli: , che è un intorno di 2. LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO

4. LE FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE Una funzione f è continua in x0 Funzioni continue in intervalli reali La funzione costante f(x) = k, continua in tutto R. se x0 appartiene al dominio di f e il limite in x0 coincide con f(x0), cioè: . La funzione polinomiale f(x) = a0xn + a1xn-1+…+an-1x+an, continua in tutto R. La funzione radice quadrata , continua in R+ U {0}. DEFINIZIONE Una funzione f è continua nel suo dominio D, se è continua in ogni punto di D. Le funzioni goniometriche (esempi) f(x) = sen(x), continua in tutto R. f(x) = cotg(x), continua in R – {kp, }. La funzione esponenziale f(x) = ax, con a > 0, continua in tutto R. Se una funzione è continua in un punto, il valore del limite in quel punto è semplicemente il valore della funzione. La funzione logartimica f(x) = logax, con a > 0, , continua in R+.

5. IL LIMITE PER ECCESSO E IL LIMITE PER DIFETTO DEFINIZIONE Se la funzione f è tale che e assume, in un intorno di x0, sempre valori maggiori di l, ESEMPIO Verifichiamo che . Fissato e > 0, cerchiamo le x per cui 0 < (4x2 – 3) – (–3) < e , ossia 0 < 4x2 < e . si dice che f(x) tende a l per eccesso e si scrive: . La prima relazione, 0 < 4x2, dà . La seconda, 4x2 < e , è soddisfatta per . Il limite esiste e vale 3. La funzione tende a 3 da valori più grandi. Inoltre, in un intorno di 0 (lo 0 escluso) la funzione assume sempre valori maggiori di 3. Se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si avvicina indefinitamente a l, ma da valori maggiori.

5. IL LIMITE PER ECCESSO E IL LIMITE PER DIFETTO DEFINIZIONE Se la funzione f è tale che e assume, in un intorno di x0, sempre valori minori di l, si dice che f(x) tende a l per difetto e si scrive: . Se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si avvicina indefinitamente a l, ma da valori minori.

6. IL LIMITE DESTRO E IL LIMITE SINISTRO DEFINIZIONE Si scrive e si dice che l è il limite destro di f in x0, se soddisfa una speciale condizione di limite applicata agli intorni destri di x0. DEFINIZIONE Si scrive e si dice che l è il limite sinistro di f in x0, se soddisfa una speciale condizione di limite applicata agli intorni sinistri di x0. A differenza della definizione standard di limite, la disuguaglianza deve essere soddisfatta nell’intorno destro di x0, . A differenza della definizione standard di limite, la disuguaglianza deve essere soddisfatta nell’intorno sinistro di x0, . Se x si avvicina indefinitamente a x0 da valori più grandi, f(x) si avvicina indefinitamente a l. Se x si avvicina indefinitamente a x0 da valori più piccoli, f(x) si avvicina indefinitamente a l.

6. IL LIMITE DESTRO E IL LIMITE SINISTRO ESEMPIO Consideriamo la funzione e verifichiamo che , . Limite destro Verifichiamo se |f(x) – 3| < e è soddisfatta in un intorno destro di 1. | (2x + 1) – 3 | < e - e < 2x – 2 < e Soddisfatta in . Limite sinistro Verifichiamo se |f(x) – 2| < e è soddisfatta in un intorno sinistro di 1. | (3x – 1) – 2 | < e - e < 3x – 3 < e Soddisfatta in .