una tovaglia, due tavoli dal progetto Innovadidattica 20 settembre 15 ottobre 2009

alcune riflessioni di fondo una esperienza didattica che possa produrre competenze “… Si ha un esercizio quando la risoluzione prevede che si debbano utilizzare regole e procedure già apprese, … si ha invece un problema quando una o più regole o una o più procedure non sono ancora bagaglio cognitivo del risolutore;… a volte è la successione stessa delle operazioni risolventi a richiedere un atto creativo da parte del risolutore». (D’Amore, 1999) la scelta metodologica di procedere per problemi “Per stimolare il pensiero e la sua maturazione servono questioni, dette anche situazioni-problema. Il bambino-ragazzo nell’affrontarle mobilita le sue competenze per acquisire nuove conoscenze; le conoscenze migliorano le competenze e ne sviluppano di nuove. (L. Grugnetti) al fine di promuovere apprendimento strategico e comunicativo La costruzione del pensiero matematico è un processo lungo e progressivo nel quale concetti, abilità, competenze e atteggiamenti vengono ritrovati, intrecciati, consolidati e sviluppati a più riprese; è un processo che comporta anche difficoltà linguistiche e che richiede un’acquisizione graduale del linguaggio matematico.” 2

il problema LA TOVAGLIA Nella sala da pranzo della casa di Luca c’è un tavolo quadrato che si può allungare e diventa rettangolare. Quando il tavolo è allungato, la sua lunghezza è doppia della larghezza e una tovaglia cala di 25 centimetri da ogni lato. La stessa tovaglia sistemata sul tavolo quadrato, cala di 65 cm da ciascuno dei lati dai quali sono state tolte le prolunghe. Quali sono le dimensioni della tovaglia? Spiegate come avete trovato la vostra risposta. (dal Rally Matematico Transalpino) 3

Analisi a priori del problema Ambito concettuale Geometria: quadrato, rettangolo. Aspetti concettuali di perimetro (misura del contorno); area (misura della superficie); variazione area e perimetro. Aritmetica: operazioni con numeri naturali. Algebra: equazioni di primo grado Riflessioni didattico disciplinari Non si tratta di “problema di applicazione” (esercizio), destinato a rinforzare e a verificare conoscenze La situazione presentata si avvicina a quelle di “problema aperto”: senso della sfida, piacere della ricerca e aspetti ludici, parte integrante del programma di matematica (comprensione e interpretazione, avvio al metodo scientifico, sviluppo dell’autonomia, organizzazione di una ricerca, comunicazione dei risultati attraverso un linguaggio specifico) 4

Analisi a priori del problema Compito soluzione del problema interpretare la situazione in termini geometrici, con disegni del tipo di quelli a fianco, rendendosi conto che per passare da un quadrato ad un rettangolo di lunghezza doppia della larghezza, per via aritmetica: differenza di segmenti per via algebrica: avendo indicato con x la misura del lato del tavolo quadrato, in cm, scrivere un’ equazione 5

Analisi a priori del problema Canovaccio metodologico Prima parte (gruppo classe, tempi. circa 1 ora, in classe) dalla situazione problematica …. al problema 1. senza tradire il significato didattico, l’insegnante propone la situazione problematica verbalmente e in modo accattivante, così da motivare gli alunni alla soluzione del problema. 2. Gli studenti, in piccolo gruppo, stendono il testo del problema in linguaggio naturale. Seconda parte (piccolo gruppo, tempi circa un’ora, in classe) modellizzazione del problema 1. L’insegnante offre stimoli e input adattandoli agli stili di lavoro di ogni gruppo: “avete mai incontrato un problema simile? Quali le parole chiave’? Visualizza il problema, gli oggetti matematici in gioco, fai un disegno .. “ 2. discussione e condivisione dei lavori 6

verso la soluzione Griglia scheda studente Terza parte (lavoro singolo, tempi: variabile, a casa; circa un’ora, in classe) verso la soluzione 1. Ricerca della soluzione 2. Commento e riflessione guidata Griglia scheda studente 7

In itinere … Narrazione della situazione Al telefono i ragazzi del liceo Banfi e la loro prof. ….: “ …per la giornata finale, di comunicazione allargata del percorso-progetto, ci servirà un tavolo “duplice nell’uso e nella forma”: inizialmente di forma quadrata dovrà potersi allungare, assumere al bisogno una forma rettangolare, doppia del quadrato di partenza e, in un’ottica di spesa contenuta, dovrà essere ricoperto da una tovaglia i cui bordi dovranno pendere non più di 20 – 25 cm per lato, .... “ 8 8

dalla situazione problematica … Il lavoro operativo per capire “avviciniamo due tavoli quadrati, così si ottiene il tavolo rettangolare…” “ con il tavolo quadrato la stessa tovaglia pende troppo da una parte, dobbiamo centrarla…” stendiamo la tavoglia appoggiandola bene, in modo che penda allo stesso modo da qualunque parte” 9 9

la formulazione di un testo condiviso … al problema la formulazione di un testo condiviso “ …Un tavolo quadrato opportunamente allungato assume una forma rettangolare di area doppia. La tovaglia sul tavolo rettangolare pende 20-25 cm da ogni lato, distesa sul tavolo quadrato pende 60 cm dalla parte dei bordi che non variano. Quanto dovrà essere lungo e largo il tavolo? E la tovaglia?” 10

… al problema il testo 2^ liceo domande, chiarimenti, precisazioni L’insegnante sottolinea le necessità della situazione, gli studenti manifestano una certa perplessità “Il tavolo è uno o due?” “Ma le misure le ha dette?” “Ma sono 20 o 25 cm?” “I dati sono solo quelli che ha detto lei? (20 e 60 cm?)” domande, chiarimenti, precisazioni Una scuola deve commissionare per il laboratorio di scienze dei tavoli e delle tovaglie. Il tavolo deve essere quadrato e all’occorrenza si deve poter allungare fino a raggiungere il doppio della sua superficie e una forma rettangolare. La tovaglia sul tavolo quadrato dovrà pendere dai due lati di 60/65 cm, mentre su quello allungato 20/25 cm. Determinare le misure del tavolo e della tovaglia. il testo 11

la modellizzazione del problema la lezione partecipata, il gruppo classe … alla lavagna: l’individuazione e la condivisione delle parole chiave la costruzione di una mappa il problema geometrico “immaginato” la comprensione della richiesta: 3^ media 3^ media “Che dimensioni deve avere il tavolo? E la tovaglia?” 12

la modellizzazione del problema Lavoro autonomo, nel piccolo gruppo si chiariscono dubbi e incomprensioni, … 2^ liceo 13

2^ liceo … si tratteggiano disegni che esemplificano la situazione, alcuni artistici, altri imprecisi, ma già funzionali per una buona strategia risolutiva 2^ liceo 14 14

verso la soluzione… Si mobilitano le competenze 3^media Serena, Alice, Veronica si aiutano con un modellino concreto perfettamente in scala: “il piano del tavolo è un quadrato che si ribalta, la tovaglia è un rettangolo-foglio di carta, …” che le ragazze centrano opportunamente dopo aver tracciato le diagonali. 15

Nathan, Gianluca, Gabriele: costruiscono il tavolo-quadrato e il tavolo-rettangolo suddividendo il quadrato in due metà che posizionano e rendono mobili con delle mollette 3^media “metà quadrato + il quadrato + metà quadrato fanno il rettangolo”. 16

Sara …. imposta una soluzione algebrica … con gli stuzzicadenti 3^media Per Alice, Sara, Martina: Il problema diventa un indovinello numerico : “prof, e’ come dire …. Il doppio di un numero aumentato di 50 è uguale allo stesso numero aumentato di 130 _____|__________:__________|_____ Tovaglia e tavolo rettangolare 25 x x 25 __________|_____:_____|__________ Tovaglia e tavolo quadrato 65 x 65 Equazione: 2x + 50 = x + 130 Soluzione per tentativi 2 x 80 + 50 = 80 + 130 17

Fra “i non risolutori”: Marco e Riccardo hanno delle incertezze nella interpretazione; la richiesta di trovare le “dimensioni della tovaglia”, è tradotta in “determinazione del suo perimetro”. 3^media Alcuni rinunciano a qualunque tipo di rappresentazione con conseguente perdita di controllo delle informazioni e/o della loro gestione altri presentano difficoltà a gestire la situazione problematica per l’incapacità di modellizzare la tovaglia con un rettangolo: rimangono ancorati all’immagine reale, con disegni del tavolo in prospettiva, con la tovaglia che “pende”, i disegni dei “rettangoli” con bordi “ondulati” Charaf e Mohamed costruiscono due tavoli .. generici, “uno è quadrato e uno è rettangolare”, ma fra i due tavoli non sembra non esserci alcuna relazione, neppure nel materiale di costriuzione. 18

3^media Eduard, Simone e Antonio: non riescono a passare dallo spazio al piano, presentano un progetto grafico non coerente (un tavolo e una tovaglia disegnata in volo!) Non formulano nessuna ipotesi di soluzione 19

2^ liceo il problema è per lo più risolto correttamente, per via aritmetica, per via algebrica 20

Analisi a posteriori L’esperienza è una buona pratica di insegnamento-apprendimento per competenze:  Porsi e risolvere problemi Essere capace di rappresentare, descrivere, modellizzare la realtà: - scegliere, adattare, utilizzare schematizzazioni matematiche per affrontare problemi di varia natura in contesti diversi - realizzare costruzioni geometriche utilizzando strumenti diversificati. - impostare e risolvere semplici problemi modellizzabili attraverso espressioni, equazioni  Introduzione al pensiero razionale - formarsi di un linguaggio matematico, nei suoi diversi aspetti, verbale e simbolico; - acquisire consapevolmente le forme del ragionamento verbale; - acquisire consapevolmente un pensiero strategico, elaborare comportamenti e scelte compiute in base al tipo di informazioni disponibili.  Argomentare e congetturare Essere in grado di giustificare con argomenti ragionevolmente fondati ogni affermazione 21

2^ liceo ai ragazzi : ha permesso di “fare matematica” nel risolvere un problema; ha stimolato la “ricomposizione” delle conoscenze possedute. ha rappresentato un avvio al metodo scientifico, sviluppo dell’autonomia, organizzazione di una ricerca, comunicazione dei risultati attraverso un linguaggio specifico; ha sviluppato la capacità di lavorare in gruppi cooperativi in modo responsabile e finalizzato ha consentito il confronto con i compagni nel gruppo e con i gruppi all’interno della classe 22

l’insegnante : ha osservato gli allievi, in attività di gruppo non strutturate ha potuto valutare la capacità organizzativa degli alunni e avere l’occasione per discutere di matematica ha introdotto elementi di rinnovamento nell’insegnamento e realizzato scambi con altri insegnanti su problemi stimolanti. ha visto il progetto come momento di continuità, anche metodologica, fra la scuola secondaria di I grado e la scuola secondaria di II grado. 23