L’iperbole Teoria e laboratorio Lavoro di gruppo realizzato da: Vensy Valentini e Roberta Salerno

Sommario La sezione conica Il luogo geometrico Simmetrie L’equazione cartesiana Caratteristiche dell’iperbole Asintoti Eccentricità Iperbole equilatera L’iperbole in generale Rappresentazione grafica di una iperbole e del suo asintoto

La sezione conica L’intersezione tra la superficie conica a due falde e un piano, non passante per il vertice, che formi con l’asse un angolo minore della semiapertura della superficie conica è un’iperbole. ( Apollonio di Perga (262 a.C.- 190 a.C.) )

Il luogo geometrico | PF1 – PF2 | = 2a Siano fissati due punti F1 del piano (detti fuochi) ed il parametro reale positivo a, si dice iperbole il luogo geometrico dei punti P del piano per i quali la differenza (in valore assoluto) delle distanze da F1 e F2 è costante e uguale a 2a, ovvero tale che sia: | PF1 – PF2 | = 2a La distanza tra i due fuochi è chiamata distanza focale e viene indicata con 2c. ( René Descartes (1596- 1650))

Simmetrie La retta passante per i due fuochi e la retta a questa perpendicolare nel punto medio di F1F2 sono assi di simmetria per l’iperbole Il punto medio del segmento F1F2 è centro di simmetria per l’iperbole.

L’equazione cartesiana Sulla base della definizione del luogo geometrico, sviluppando i calcoli, si ottiene l’equazione cartesiana dell’iperbole. In particolare ci occuperemo dell’iperbole avente per assi di simmetria gli assi cartesiani con i fuochi sull’asse x ed equidistanti dall’origine. In tal caso si ottiene l’equazione canonica o normale: x2 – y2 = 1 a2 b2 con a = semiasse trasverso b = semiasse non traverso c2 = a2 + b2 Le coordinate dei fuochi sono: F1(c,0) F2(-c,0)

Caratteristiche dell’iperbole L’equazione x2 – y2 = 1 a2 b2 rappresenta un’iperbole riferita al centro e agli assi. I punti in cui l’iperbole interseca gli assi coordinati sono detti vertici dell’iperbole. Le coordinate dei vertici sono (+a,0). La curva è formata di due rami. Osservando ancora la rappresentazione grafica dell’iperbole, si vede che conducendo le parallele all’asse y passanti per i vertici e le rette parallele all’asse x passante per i punti dell’asse y di ordinata b e –b si ottiene un rettangolo: l’iperbole è tutta all’esterno di tale rettangolo.

Asintoti y = b x e y = - b x a a Le rette cui appartengono le diagonali di tale rettangolo sono dette asintoti dell’iperbole. Le loro equazioni sono: y = b x e y = - b x a a   I rami dell’iperbole si avvicinano ai propri asintoti a mano a mano che il generico punto della curva si allontana dall’origine.

Eccentricità Il rapporto e = c/a viene detto eccentricità dell’iperbole. E’ sempre maggiore di 1 e dà la misura di quanto l’iperbole è aperta. Le iperboli in figura (aventi lo stesso fuoco) hanno eccentricità diverse: 4, 2.81, 2.17, 1.76, 1.49, 1.28, 1.13, 1.01.

Iperbole equilatera k > 0 xy = k con |k| = a2 /2 Se a = b l’iperbole si dice equilatera. L’equazione è : x2 – y2 = a2 In tal caso gli asintoti diventano: y = x y = - x Se ruotiamo l’iperbole di 45° in senso orario o antiorario, gli asintoti vengono a coincidere con gli assi cartesiani e l’iperbole è ora riferita ai propri asintoti. La sua equazione diventa xy = k con |k| = a2 /2

L’iperbole in generale L’iperbole si può trovare in posizioni diverse rispetto agli assi cioè avere un qualsiasi punto del piano come centro di simmetria e rette diverse dagli assi coordinati come assi di simmetria. L’equazione dell’iperbole diventa: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0   con Δ = b2 – 4ac > 0 Con opportune rotazioni e traslazioni l’equazione dell’iperbole può essere ricondotta alla forma normale.

Rappresentazione grafica di una iperbole e del suo asintoto Testo dell’esercizio da risolvere utilizzando il Programma Excel: Rappresentare graficamente l’iperbole y = 2x + 30/x e l’asintoto y = 2x

Fase di realizzazione 1: Creare una nuova cartella di lavoro All’interno di un foglio di lavoro si deve creare una tabella con tre colonne non attigue, nella prima colonna indicheremo i valori delle x, compresi nell’intervallo -10 e 10 e con un passo 1. Nelle altre due colonne calcoleremo con le formule i corrispondenti valori della y appartenenti alla parabola e all’asintoto

Fase di realizzazione 2: Inserire il testo

Fase di realizzazione 3: Inserire le formule Cella Valore da inserire Risultato A4 -10 A5 =A4+1 -9 C4 =2*A4+30/A4 -23 E4 =2*A4 -20

Fase di realizzazione 4: Copiare la formula della cella A5 nella zona A6:A24 Copiare la formula della cella C4 nella zona C5:C24 Copiare la formula della cella E4 nella zona E5:E24

Aspetto del foglio di lavoro:

Fase di realizzazione 5: Eliminare la formula presente nella cella C14 perché non si può effettuare una divisione per zero, infatti Excel visualizza il messaggio d’errore “#DIV/0!” e se si lasciasse questo valore la rappresentazione grafica risulterebbe errata

Fase di realizzazione 6: Costruire il grafico Per costruire il grafico in Excel devi selezionare la zona contenente i dati utilizzando il tasto CTRL dato che le zone non sono adiacenti. Selezionare il pulsante Autocomposizione Grafico. Selezionare il tipo di grafico “Dispers.(XY)”, e di questo tipo la terza scelta “Dispersione con coordinate unite da linee smussate e senza indicatori di dati”. Inserire un titolo. Nell’ultima finestra di dialogo denominata Posizione Grafico selezionare l’opzione “Come Oggetto in” e infine il pulsante “Fine”

Aspetto del grafico:

Conclusioni: Il foglio di lavoro che abbiamo predisposto può essere utilizzato per la risoluzione dello stesso tipo di esercizio quante volte si vuole. Infatti basterà modificare il titolo e le formule nelle celle C4 ed E4, ricopiare le formule modificate nelle zone previste ed automaticamente il grafico verrà aggiornato in base ai nuovi valori. In questo modo si sfrutta una delle potenzialità di Excel che consiste nell’aggiornamento automatico dei risultati al modificarsi dei dati di origine. In altre parole, se io predispongo un foglio di lavoro per la risoluzione di un tipo di problema, al modificarsi dei dati di origine Excel mi visualizza sempre il risultato corretto.