Prof. Valerio Muciaccia LA PARABOLA Prof. Valerio Muciaccia Prof. Alberico Nardiello Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A

I significati di “cono” Solido Superficie Più diffuso nella scuola Più usato all’università Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A

Il cono inteso come superficie conica Data una retta s, detta asse di rotazione, e una retta r che interseca s in un punto V, detto vertice, la superficie illimitata generata da r nella sua rotazione completa intorno a s si chiama superficie conica circolare indefinita di rotazione. La retta r è la generatrice, s è l’asse (ed è asse di simmetria). Le due porzioni della superficie conica, quella inferiore e quella superiore, che hanno in comune il vertice, si chiamano falde della superficie conica. L’angolo  formato dalle rette generatrici con l’asse di rotazione si chiama semiapertura della superficie conica. (Fig. 1) Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A

Gruppo di lavoro classe 16A Asse di rotazione Retta generatrice s V r  Fig.1 Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A

Gruppo di lavoro classe 16A Le coniche Con il termine conica, si indica una curva ottenuta sezionando, mediante un piano, una superficie conica indefinita a due falde. Al variare dell’ampiezza dell’angolo  , formato dall’asse della superficie conica con il piano secante, si possono presentare seguenti casi (fig. 2): circonferenza  = 90o ellisse  <  900 parabola  =  iperbole 0   <  Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A

Gruppo di lavoro classe 16A Fig. 2 Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A

Cenni storici sulle coniche Si ritiene che a scoprire le coniche sia stato il matematico greco Menecmo (IV sec. a.C.), discepolo di Platone e di Eudosso di Cnido. Di esse si sarebbero occupati anche Aristeo il Vecchio (contemporaneo di Euclide) e Euclide stesso, ma dei loro studi eventuali su tale argomento non è rimasta traccia. Ma una sistemazione completa e organica della loro trattazione fu Data da Apollonio di Perge1, il quale, nella sua grande opera sulle coniche espose la maggior parte delle proprietà tuttora note di quelle curve e propose i nomi di ellisse, parabola e iperbole, per indicarne le varie specie. (1) Apollonio nacque a Perga, città dell’Asia Minore, intorno al 260 a.C. e morì verso i primi anni del II secolo. Studiò ad Alessandria d’Egitto, alla scuola dei successori di Euclide. Pur avendo scritto diverse opere di matematica e di astronomia, deve la sua fama all’opera Coniche, un trattato sulle omonime curve che si articola in otto libri di cui sette sono pervenuti a noi. Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A

Le coniche nelle applicazioni Le coniche si prestano a rappresentare molti fenomeni fisici e tecnici. Illustriamo alcuni esempi particolarmente significativi. Parabola Ellisse Iperbole cerchio Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A

Parabola e sue applicazioni Arco d’uno zampillo d’acqua Forma della luce di una torcia elettrica su una superficie piana Riflessione della luce in uno specchio parabolico Legge di caduta dei gravi Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A

Ellisse e sue applicazioni Moto dei pianeti intorno al sole Moto di alcune comete Riflessioni in uno specchio ellittico Architettura a pianta ellittica Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A

Iperbole e sue applicazioni Legge di Boyle Orbite di alcune comete e di altri oggetti astronomici Applicazione nell’architettura moderna (iperboloidi a sella) Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A

Cerchio e sue applicazioni Onde in uno stagno Orbite circolari La ruota e vari oggetti in natura Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A

Gruppo di lavoro classe 16A La parabola Dunque, la parabola è quella particolare curva che si ottiene dall’intersezione di una superficie conica rotonda (indefinita e a due falde) con un piano parallelo alla generatrice (Fig. 3). Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A

Gruppo di lavoro classe 16A Fig. 3   generatrice falda superiore falda inferiore parabola Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A

Luogo geometrico parabola Ci proponiamo ora di studiare la parabola da un punto di vista analitico; a tal fine, è opportuno enunciare una nuova definizione di parabola, intesa come luogo geometrico dei punti del piano che godono di una certa proprietà caratteristica. Definizione. Si chiama parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da una retta fissa, detta direttrice, e da un punto fisso, detto fuoco. Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A

Costruzione della parabola Assegnati il fuoco F e la direttrice d di una parabola, per disegnarla, per determinare alcuni suoi punti, si procede come segue. Si traccia dapprima l’asse di simmetria (retta per F e perpendicolare alla d) e si segna il punto medio V del segmento su di essa intercettato dal fuoco e dalla direttrice; questo è il vertice della parabola. Con centro in F e con un raggio qualsiasi (purchè maggiore della lunghezza del segmento FV), si disegna la circonferenza; si manda quindi la retta r1 parallela alla d e avente da essa distanza uguale al raggio della circonferenza appena tracciata. I due punti P1 e P’1 d’intersezione tra la circonferenza e la retta r1 appartengono alla parabola. Ripetendo questa costruzione per una seconda circonferenza si possono ottenere tutti i punti della parabola (Fig. 4). Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A

Gruppo di lavoro classe 16A simmetria asse di Circonferenza di centro F e raggio FP2 F (fuoco) d (direttrice) r2 P2 H2 P’2 V H1 H P1 P’1 r1 Fig. 4 Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A

Equazione con asse parallelo all’asse y e VO x O F (0;p/2) d P(x;y) H Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A

p Equazione parabola y=ax2 Parametro della parabola (Rappresenta la distanza orientata del fuoco dalla direttrice) Il fuoco avrà coordinate F La direttrice ha equazione Equazione parabola y=ax2 dove Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A

Effetto del coefficiente a Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A ESEGUI

Equazione con asse parallelo all’asse y e VO x O P(x;y) Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A

Gruppo di lavoro classe 16A Equazione y = ax2 + bx + c Fuoco Vertice Direttrice Asse di simmetria Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A

Effetti dei coefficienti a, b , c Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A ESEGUI

Equazione parabola noti fuoco e direttice Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A ESEGUI

Equazione parabola noti tre punti Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A ESEGUI

Intersezione retta-parabola Progetto Docente Gruppo di lavoro classe 16A ESEGUI

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