Cap. 4 Le combinazioni degli enti geometrici fondamentali e degli assiomi

Definizione di combinazione Operazione che mette insieme due o più cose affini, secondo un determinato criterio e per ottenere un certo risultato Nel nostro caso mettiamo insieme gli enti geometrici fondamentali e gli assiomi per ottenere altre entità geometriche

Punti coincidenti Due punti si dicono coincidenti se occupano la stessa posizione B A ≡ Per indicare che due punti coincidono usa il simbolo ≡ Punto A coincide con B A ≡ B

Definizione di linea geometrica Ente geometrico che si caratterizza per presentare una sola dimensione: la lunghezza Come tutte le definizioni è una proposizione pertanto risulta sufficientemente definito indipendentemente dalla sua rappresentazione materiale Per indicarla si usa una lettere dell’alfabeto miniscolo I punti A e B si dicono estremi della linea B a A Linea a

Tipi di linea Le linee possono essere semplici o intrecciate; aperte o chiuse C D H Linea aperta intrecciata b Una linea si dice rintracciata se si attraversa in uno o più punti A B a Linea aperta semplice Una linea si dice chiusa se i suoi estremi coincidono K A≡B Linea chiusa intrecciata Linea chiusa semplice

La linea retta Si definisce retta un’insieme infinito e illimitato di punti posti uno dietro l’altro, senza soluzione di continuità, che mantengono sempre la stessa direzione

Modello di retta Per modello si retta possiamo prendere in considerazione un filo teso fra due punti Un modello migliore può essere preso un raggio luminoso che rispetto al precedente ha il pregio di avere dimensioni decisamente più ridotte

Retta e punto Consideriamo una retta r e un punto P su di essa Se la retta è formata da un numero infinito ed illimitato di punti allora se inserisco un punto di fatto la divido in due parti Si viene a formare un nuovo ente che necessita di nome e definizione (che dipenderà strettamente dall’operazione svolta)

Si definisce semiretta ciascuna delle due parti in cui una retta è divisa da un suo punto

Caratteristiche della semiretta In pratica una semiretta ha un punto di origine che la limita da una parte mentre dell’altra essa risulta formata da un numero infinito e illimitato di punti che si susseguono uno dietro l’altro, senza soluzione di continuità, mantenendo la stessa direzione Il modello di semiretta è rappresentato da un laser

La semiretta perciò ha un punto di inizio che ne rappresenta l’origine e un verso che rappresenta la direzione verso la quale si estende la semiretta Due o più semirette che hanno un’origine in comune condividono la stessa origine r verso P semiretta t s H k r Semirette con origine in comune

Piano Si definisce piano una superficie infinita che mantiene sempre la stessa pendenza Se ciò non si verificasse si avrebbe una superficie curva Un caso particolare di piano è quello orizzontale che ha pendenza nulla Ha due dimensioni: lunghezza e larghezza

Modello e rappresentazione del piano Come modello di piano possiamo prendere un foglio di carta Per rappresentarlo possiamo utilizzare un parallelogramma e per convenzione si utilizza, per indicarlo, una lettera dell’alfabeto greco minuscola larghezza lunghezza

Piano e retta Piano e retta possono essere: Complanari Incidente Parallelo r a complanari r a incidente r a parallelo

Osservazioni Una retta r complanare ad un piano a ha tutti i suoi punti in comune col piano In questo caso si dice che la retta r giace sul piano a Essendo la sua lunghezza infinita noi abbiamo che una retta che giace sul piano a lo divide in due parti uguali dette semipiani

Semipiano Si definisce semipiano ciascuna delle parti in cui un pano risulta suddiviso da una retta complanare

A quale caso può corrispondere? Riguardiamo le seguenti figure a complanari r a incidente r Cosa succede de una retta ha 2 punti di contatto col piano? a parallelo A quale caso può corrispondere?

Se una retta ha due punti di contatto col piano a è ad esso complanare

Retta e punto Per un punto passano infinite rette Le infinite rette che passano per un punto costituiscono un fascio proprio di rette Il punto per cui passano le rette è detto centro del fascio

Retta e due punti Per due punti passa una ed una sola retta

Rette per tre punti I tre punti sono allineati I tre punti non sono allineati Passa una retta Passano 3 rette

Per tre punti allineati passa una ed una sola retta Per tre punti non allineati passano 3 rette

allineati se giacciono Tre punti si dicono allineati se giacciono su una stessa retta Una volta costatato che per tre punti allineati passa una sola retta quando 3 punti si dicono allineati?

Intersezione di piani Infiniti Consideriamo i seguenti due piani La loro intersezione sarà data da una retta r Posso tracciare un altro piano che contiene r? Quanti piani conterranno la retta r? Infiniti

intersecano danno origine Due piani che si intersecano danno origine ad una retta Per una retta passano infiniti piani

Un fascio di piani è un insieme formato da infiniti piani, aventi una retta in comune

Piani per due punti Per due punti passano infiniti piani Quanti piani passano per 2 punti? Questa domanda rimanda direttamente a quella di quante rette passano per due punti? Secondo voi perché? Per due punti passa una sola retta perciò …. Per due punti passano infiniti piani

Piani per tre punti allineati passano infiniti piani Vi ricordate la definizione di punti allineati? Tre punti si dicono allineati se giacciono su una stessa retta Allora quanti piani passano per tre punti allineati?

Piani per tre punti non allineati B A Consideriamo 3 punti non allineati Per due punti passa una retta e perciò infiniti piani Ma il terzo può appartenere contemporaneamente agli infiniti piani? Se no può appartiene solo ad un piano particolare ma allora ….. C r

La retta r appartiene Al piano a Al piano b Agli infiniti piani a cui r è complanare Il punto C appartiene ad un solo dei piani del fascio di piani passanti per r Perciò per tre punti passa ….

Per tre punti non allineati passa uno ed un solo piano

Gli elementi di Euclide Da wikipedia Gli Elementi di Euclide sono la più importante opera matematica giuntaci dall’antica grecia. Composti tra il IV e III secolo a.c. rappresentano un quadro completo e definito dei principi della geometria noti al tempo. L'opera consiste in 13 libri: i primi sei riguardanti la geometria piana, i successivi quattro i rapporti tra grandezze e gli ultimi tre la geometria solida.

Euclide basa, nel libro I, il suo lavoro su 23 definizioni, che trattano i concetti di punto, linea e superficie, su 5 postulati e su 5 nozioni comuni, quelle che ora sono dette assiomi. Il postulato più famoso è il V che riguarda le rette parallele e i triangoli, il famoso postulato da cui si deduce che la somma degli angoli interni di un triangolo è di 180° « In un piano, una retta che intersechi due rette parallele forma con esse angoli alterni uguali fra loro, angoli esterni uguali agli angoli interni e opposti, e dalla stessa parte angoli interni la cui somma è uguale a due retti. »

Le geometria non euclidee La negazione di questo postulato ha portato, nel XIX secolo, allo sviluppo delle geometrie non Euclidee In un tipo di geometria detta geometria iperbolica le rette divergono (è quindi possibile trovare molte rette che non si intersecano perciò) i segmenti divergono anch’essi Nelle geometrie ellittiche le rette convergono perciò non esistono rette parallele e i segmenti convergono anch’essi

I triangoli e le tre geometrie Triangolo Euclideo: la somma degli angoli è di 180° Triangolo iperbolico: la somma degli angoli è minore di 180° Immagine che riassume le tre diverse geometrie Triangolo ellittico: la somma degli angoli è maggiore di 180°