Introduzione ai Circuiti Elettronici

Sommario Natura dei Segnali Bipoli Analogici e Digitali Bipoli Bipoli Elementari Connessione di Bipoli Analisi dei Circuiti Lineari e Tempo-Invarianti Equazioni differenziali Fasori Funzione di Trasferimento Diagrammi di Bode

Resistore Ideale Rnome N+ N- valore in  N+ N- I(t) V(t) N+ N- I(t) V(t)=R·I(t) I(t)=G·V(t) G·R=1

Condensatore Ideale Cnome N+ N- valore in F N+ N- I(t) V(t)

Induttore Ideale Lnome N+ N- valore in H N+ N- I(t) V(t) N+ V(t) I(t)

Generatore Indipendente di Tensione V = E = cost.  I(t) I(t) V=0  I(t): cortocircuito V(t) = E(t)  I(t) E(t) V I

Generatore Dipendente di Tensione . E V I .

Generatore Indipendente di Corrente V(t) I(t) = H(t)  V(t) H(t) H V I I=0  V(t): ramo aperto V(t) H I = H = cost.  V(t) V(t)

Generatore Dipendente di Corrente . V I .

Esempi di risoluzione di un circuito lineare. Eq. differenziali: ingresso sinusoidale Vb(t) C R I(t) Va(t)=VA cos(0 t)

Esempi di risoluzione di un circuito lineare. Eq. differenziali: ingresso sinusoidale Vedi RC_sinInput.cir

Esempi di risoluzione di un circuito lineare. Eq. differenziali: ingresso a gradino: H->:funzione di Heavyside Vb(t) C R I(t) Va(t)=VA H(t) Vedi RC_stepInput.cir

Fasori Se sommiamo un numero di sinusoidi : Ad es. Perche è comoda? Se sommiamo un numero di sinusoidi : Tutte la stessa frequenza Diverse ampiezze (volt o correnti) Diverse fasi Ad es. Il risultato sarà un’altra sinusoide della forma Esempio di trasformata di Laplace. Serve per rendere più semplici i conti per la soluzione di eq. Diff.

Fasori Esempio di cinque sinusoidi con la loro somma Esempio… Esempio di trasformata di Laplace. Serve per rendere più semplici i conti per la soluzione di eq. Diff.

Fasori Come si usano… Invece che usare identità trigonometriche, un modo più semplice per fare I conti Se w è fissato, associamo dove è il numero complesso con ampiezza v e argomento f Esempio di trasformata di Laplace. Serve per rendere più semplici i conti per la soluzione di eq. Diff.

Fasori Come si usano… La somma di sinusoidi è equivalente alla somma di fasori (numeri complessi) Dominio del tempo Fasori Somma di numeri complessi Esempio di trasformata di Laplace. Serve per rendere più semplici i conti per la soluzione di eq. Diff. trigonometria

Fasori Ricordiamo la regola di Eulero Quindi… Come si usano… Esempio di trasformata di Laplace. Serve per rendere più semplici i conti per la soluzione di eq. Diff.

Fasori Date le due sinusoidi Usando I fasori: Il risultato è esempio… Esempio di trasformata di Laplace. Serve per rendere più semplici i conti per la soluzione di eq. Diff.

Fasori Questi grafici mostrano: I singoli fasori La loro somma Altro esempio… Questi grafici mostrano: I singoli fasori La loro somma Esempio di trasformata di Laplace. Serve per rendere più semplici i conti per la soluzione di eq. Diff.

Fasori Trattando correnti alternate (AC): Circuiti lineari… Trattando correnti alternate (AC): La generalizzazione della resistenza è l’impedenza complessa Z = R + jX La generalizzazione della conduttanza è l’ammettenza complessa Y = G + jB La generalizzazione della legge di Ohm: V = IZ Esempio di trasformata di Laplace. Serve per rendere più semplici i conti per la soluzione di eq. Diff.

Fasori Dominio tempo fasori Esempio di trasformata di Laplace. Serve per rendere più semplici i conti per la soluzione di eq. Diff.

Resistore Ideale N+ N- i v

Condensatore Ideale N+ N- i v

Induttore Ideale N+ i v N-

Fasori In AC, I circuiti lineari si comportano come fasori induttore con induttanza L resistore con resistenza R condensatore con capacità C Possiamo determinare la tensione ai capi dei bipoli lineari in AC: V = IZ Esempio di trasformata di Laplace. Serve per rendere più semplici i conti per la soluzione di eq. Diff.

Esempi di risoluzione di un circuito lineare. Vb(t) C R I(t) Va(t)=VA cos(0 t) Fasori Circuito lineare tempo-invariante: se VA cos(0 t)  VB cos(0 t+), allora VA cos[0 (t-π/20)]= VA sin(0 t)  VB cos[0 (t-π/20)+]=VB sin(0 t+) e qundi VA [cos(0 t) +j sin(0 t)]  VB [cos(0 t+)+j sin(0 t+)]

Esempi di risoluzione di un circuito lineare. Vb(t) C R I(t) Va(t)=VA cos(0 t) Fasori

Esempi di risoluzione di un circuito lineare. Fasori C R I Va

Trasformata di Laplace Perche è comoda? Dominio tempo Dominio frequenza L-trasformata Soluzione equazioni algebriche Esempio di trasformata di Laplace. Serve per rendere più semplici i conti per la soluzione di eq. Diff. L-trasformata inversa

Trasformata di Laplace Definizioni Definizione di trasformata di Laplace Notazione comune Esempio di trasformata di Laplace. Serve per rendere più semplici i conti per la soluzione di eq. Diff.

Trasformata di Laplace Limiti La funzione da trasformare nulla per t<0 Utile per descrivere il comportamento di un circuito dall’avvio trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Trasformata di Laplace Esistenza La trasformata di Laplace di f(t) esiste se La funzione f(t) è continua a tratti, ovvero l’insieme dei suoi punti di discontinuità è un infinità numerabile La funzione f(t) è limitata da per qualche k,M Esempi: trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Trasformata di Laplace Funzione delta-Dirac L’esempio più “facile” di trasformata: la delta di Dirac trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Trasformata di Laplace Il gradino unitario Il gradino unitario trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Trasformata di Laplace Altri esempi: integrazione per parti Derivata del prodotto di funzioni Riordinando e integrando trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Trasformata di Laplace La rampa La funzione rampa trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Trasformata di Laplace Monomi e polinomi Ripetendo il procedimento di integrazione per parti, è possibile trovare la formula per un generico monomio per n ≥ 0 trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Trasformata di Laplace Linearità La trasformata di Laplace è lineare Se e allora trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Trasformata di Laplace Valori di bordo Dati allora Da notare che sF(s) è la trasformata di Laplace di f’(t) trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Trasformata di Laplace Polinomi Applicando la proprietà di linearità La formula per la L-trasformazione dei polinomi segue: trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Trasformata di Laplace Polinomi Applicando la proprietà di linearità La formula per la L-trasformazione dei polinomi segue: trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Trasformata di Laplace Esponenziale Usando espansione di Taylor per l’esponenziale: trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Trasformata di Laplace Seno Integrazione per parti due volte: trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0 1 di 2

Trasformata di Laplace Seno ..e finalmente trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0 2 di 2

Trasformata di Laplace Coseno ..e analogamente per il coseno trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0 1 di 2

Trasformata di Laplace Coseno ..e finalmente trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0 2 di 2

Trasformata di Laplace Funzioni periodiche Se f(t) è periodica di periodo T Ad esempio: trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Trasformata di Laplace - Proprietà Shift nelle frequenze Smorzamento nel dominio del tempo oppure shift nel dominio delle frequenze trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Trasformata di Laplace - Proprietà Shift nelle frequenze Smorzamento nel dominio del tempo oppure shift nel dominio delle frequenze trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Trasformata di Laplace - Proprietà Shift nelle frequenze: esempio trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Trasformata di Laplace - Proprietà Scaling nel dominio del tempo Scaling nel dominio del tempo oppure scaling attennuato nel dominio delle frequenze trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Trasformata di Laplace - Proprietà Scaling nel dominio del tempo: esempio trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0 0.5

Trasformata di Laplace - Proprietà Derivata prima La trasformata di Laplace della derivata trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Trasformata di Laplace - Proprietà Derivata n volte Per induzione si ottiene la derivata n-volte: trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Trasformata di Laplace - Proprietà Derivata prima: esempio trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Trasformata di Laplace - Proprietà Ritardo nel dominio del tempo La trasformata di Laplace dello shift temporale trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Trasformata di Laplace - Proprietà Derivata in frequenza La derivata della trasformata di Laplace trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Trasformata di Laplace - Proprietà Integrale La trasformata di Laplace dell’integrale trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Trasformata di Laplace - Proprietà Convoluzione …dalla definizione di convoluzione Si ha che trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Funzione di Trasferimento Dato un sistema lineare e tempo-invariante F. di Trasf. definita come il rapporto tra FASORE della risposta e della sollecitazione di ingresso trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Funzione di Trasferimento Parametri concentrati f. di Trasf. Razionale a coefficienti reali (ai,bi) trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0 Poli e zeri (pi,zi) sono reali o complessi coniugati

Funzione di Trasferimento Consente di calcolare la risposta a regime Su(t) ad eccitazioni sinusoidali Si(t) trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Funzione di Trasferimento …o a una somma finita o numerabile di contributi sinusoidali trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Funzione di Trasferimento …o a una “somma” di infiniti contributi sinusoidali infinitesimi trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Diagrammi di Bode Un diagramma di Bode è un grafico (semilog) dall’ampiezza e della fase della funzione di trasferimento in funzione della frequenza L’ampiezza è spesso espressa in decibels (dB) dB = 20 log10 A dove A è l’ampiezza o il guadagno Una decade è definita come ogni 10-a-1 range di frequenze (ad es 10-100Hz) trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Singolo polo: ampiezza Diagrammi di Bode Singolo polo: ampiezza Gain p 0 dB –20 dB Ad es. guadagno max = 1 ω Una Decade Una Decade Polo a ω=p(=1/t) 20 log10 trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Vedi RC_ACanalysis.cir Diagrammi di Bode Singolo polo: fase Fase Una Decade Una Decade 0° Ad es. guadagno max = 1 –45° –90° ω Polo a ω=p(=1/t) trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0 Vedi RC_ACanalysis.cir

Singolo zero: ampiezza Diagrammi di Bode Singolo zero: ampiezza Gain +20 dB 0 dB Ad es. guadagno max = 1 Una Decade Una Decade Zero a ω=z(=1/t) 20 log10 trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Diagrammi di Bode Singolo zero: fase Fase +90° Ad es. guadagno max = 1 +45° Ad es. guadagno max = 1 0° ω Una Decade Una Decade trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0

Diagrammi di Bode Polo a ωp=1/ Zero a ωz=1/ Se K=1 Gain ωp Gain ωz 0 dB +20 dB –20 dB 0 dB ω ω Una Decade Fase Una Decade Fase 0° +90° –45° +45° trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0 –90° 0° ω ω Polo a ωp=1/ Zero a ωz=1/ Se K=1 20 log10(K) = 0 dB

Diagrammi di Bode trasformata di Laplace. Non funziona ad esempio con funzioni periodiche…devono essere nulle per t<0 Diagramma di Bode: ampiezza della risposta del filtro passa-alto del primo ordine

Analisi Circuiti Lineari e TI Se le relazioni differenziali sono lineari, possono essere rese algebriche con un metodo di trasformazione: metodo dei fasori: per funzioni sinusoidali isofrequenziali trasformazione di Fourier: per funzioni assolutamente integrabili trasformazione di Laplace: per funzioni nulle per t<0

Esempi di risoluzione di un circuito lineare. Eq. differenziali Vb(t) C R I(t) Va(t)=VA cos(0 t)

Esempi di risoluzione di un circuito lineare. Eq. differenziali

Esempi di risoluzione di un circuito lineare. Vb(t) C R I(t) Va(t)=VA cos(0 t) Fasori Circuito lineare tempo-invariante: se VA cos(0 t)  VB cos(0 t+), allora VA cos[0 (t-π/20)]= VA sin(0 t)  VB cos[0 (t-π/20)+]=VB sin(0 t+) e qundi VA [cos(0 t) +j sin(0 t)]  VB [cos(0 t+)+j sin(0 t+)]

Esempi di risoluzione di un circuito lineare. Vb(t) C R I(t) Va(t)=VA cos(0 t) Fasori

Esempi di risoluzione di un circuito lineare. Fasori C R I Va

Esempi di risoluzione di un circuito lineare. Laplace Vb(t) C R I(t)

Esempi di risoluzione di un circuito lineare. Laplace Vb(t) C R I(t)