ASCISSA SOPRA UNA RETTA Sia data una retta r, si fissi: Un verso positivo di percorrenza Un punto O detto Origine Un segmento u detto unità di misura O u r- r+ r

ASSE DELLE ASCISSE Preso un punto P sull’asse delle ascisse, a P si può sempre associare xPR, ovvero la misura del segmento OP, presa col segno + (-) se P appartiene al semiasse positivo (negativo) xP è chiamata ascissa di P Viceversa, xR ! P  r : x= xP . Esiste una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti della retta.

COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO Date 2 rette r1 e r2 non parallele ed incidenti nel punto O, si fissi su ciascuna: Un verso positivo di percorrenza Una unità di misura Si ottiene così un sistema di riferimento cartesiano Ortogonale / obliquo Monometrico / dimetrico

COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO Si dimostra che ad ogni punto P del piano si può associare una coppia ordinata P=(x,y) I II III IV

ESEMPIO P=(-2,3) 3 P=(2,1) 1 -2 2 -1 P=(-2,-1) -2 P=(2,-2)

ANGOLO Prendiamo due semirette a e b aventi la stessa origine, il piano resta diviso in due parti, ciascuna delle quali viene detta angolo.

ANGOLO ORIENTATO Verso positivo di rotazione antiorario + a b - a b

ARCO La parte di circonferenza compresa tra i lati dell’angolo. A B

SISTEMI DI MISURA DI ANGOLI SESSAGESIMALE: grado sessagesimale = la 360a parte dell’angolo giro. CENTESIMALE: grado centesimale = la 400a parte dell’angolo giro RADIANTE

RADIANTE L’angolo al centro che insiste su un arco che rettificato ha lunghezza pari al raggio.

Misura in radianti di un angolo È uguale alla misura dell’arco diviso il raggio: Angolo giro = 2pr / r = 2p Angolo piatto = pr / r = p Angolo retto = p/2

Misura in radianti di un angolo p/2 p/4 (3/4)p p (5/4)p (7/4)p (3/2)p

Misura in radianti di un angolo p/6 p (3/2)p p/2 (2/6)p (4/6)p (5/6)p (7/6)p (8/6)p (10/6)p (11/6)p

Misura in radianti di un angolo Per passare dal sistema sessagesimale a quello radiante: 360 : 2p = as : ar Ex: 360 : 2p = 20 : ar ar = p/9

CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Fissato nel piano un sistema di riferimento cartesiano, la circonferenza con raggio 1 e centro nell’origine è detta circonferenza goniometrica. A=(1,0) x y

Seno e coseno Seno = ordinata del punto M Coseno = ascissa del punto M y M=(cos(a), sin(a))

Tangente Tangente = ordinata del punto T tan(a) = sin(a) / cos(a) y

Cotangente Cotangente = ascissa del punto T’ cot(a) = 1 / tan(a) = cos(a) / sin(a) A=(1,0) y B=(0,1) T’ = (cot(a), 1)

f(x) = sin (x) A=(1,0) y x p/2 p (3/2) p 2p x y -p/2 p/2 p (3/2)p 2p 1 -1

Funzione seno Dominio R Codominio [-1, 1] Periodica di periodo 2p

y = cos (x) p/2 p (3/2) p A=(1,0) y x 2p x y -p/2 p/2 p (3/2)p

Funzione coseno Dominio R Codominio [-1, 1] Periodica di periodo 2p

y = tan (x) A=(1,0) y T = (1, tan(a)) p/2 p (3/2) p 2p x y -p/2 p/2 p

Funzione tangente Dominio = R \ p/2 + kp k  Z Codominio = R Periodica di periodo p

y = cot(x) A=(1,0) y B=(0,1) T’ = (cot(a), 1) p/2 p (3/2) p 2p 2p x y

Relazione tra seno e coseno sin2(x) + cos2(x) = 1 A=(1,0) y M=(cos(a), sin(a))

Relazione tra seno e coseno Esempi: cos (x) = ½ x  [0, p/2]

Relazione tra seno, coseno e tangente sin2(x) + cos2(x) = 1

Relazione tra seno, coseno e tangente sin(x) = tan(x) cos(x)

Valori in archi particolari : p/6

Valori in archi particolari: p/3

Valori in archi particolari: p/4

ARCHI SUPPLEMENTARI La cui somma è p: sin(p-a) = sin(a) x y La cui somma è p: sin(p-a) = sin(a) cos(p-a) = - cos(a) tan(p-a) = - tan(a) cot(p-a) = - cot(a)

ARCHI che differiscono di p x y sin(p+a) = - sin(a) cos(p+a) = - cos(a) tan(p+a) = tan(a) cot(p+a) = cot(a)

ARCHI la cui somma è 2p sin(2p-a) = - sin(a) cos(2p-a) = cos(a) x y sin(2p-a) = - sin(a) cos(2p-a) = cos(a) tan(2p-a) = - tan(a) cot(2p-a) = - cot(a)

ARCHI complementari La cui somma è p/2: sin(p/2-a) = cos(a) x y La cui somma è p/2: sin(p/2-a) = cos(a) cos(p/2-a) = sin(a) tan(p/2-a) = cot(a) cot(p/2-a) = tan(a)

ARCHI che differiscono di p/2 x y sin(p/2+a) = cos(a) cos(p/2+a) = - sin(a) tan(p/2+a) = - cot(a) cot(p/2+a) = - tan(a)

EQUAZIONI GONIOMETRICHE Equazioni in cui le variabili compaiono come argomento di funzioni goniometriche. sin(x) = a cos(x) = a |a| >1 impossibile a = 1 1 soluzione fondamentale a= -1 1 soluzione fondamentale -1< a < 1 2 soluzioni fondamentali

EQUAZIONI GONIOMETRICHE tan(x) = a cot(x) = a Mai impossibile 1 soluzione fondamentale

ESEMPI sin(x) = ½ x1 = p/6 + 2kp x2 = (5/6) p + 2kp x1 = p/4 + 2kp

ESEMPI tan(x) = 1 x = p/4 + kp cot(x) = -1 x = (3/4)p + kp