Il Dilemma del Prigioniero Il DdP è un gioco tra due giocatori, in cui ciascuno dei due ha una strategia dominante ed una strategia dominata, ma l'equilibrio che si ottiene quando ogni giocatore usa la sua strategia dominante produce un esito peggiore per entrambi dell'esito che si avrebbe se entrambi usassero la loro strategia dominata. La natura paradossale di questo equilibrio propone alcune questioni complesse sulle interazioni implicate a cui solo un'analisi approfondita può rispondere ma che poco rilevante al fine di comprendere la battaglia dei sessi.

Il Gioco di base Per quanto riguarda il Ddp,si consideri l’ipotesi di due criminali inquisiti per un assassinio,che rischiano il carcere e che pertanto devono elaborare strategie di comportamento.Se si pensa per un momento, ai pagamenti fisici,in anni di carcere, associati alle varie combinazioni di strategie di I e di II. Indicate con C = "coopera con l'altro" e con NC = "non coopera con l'altro" (in realtà, confessando, lo denuncia) le strategie pure di I e di II,  si supponga che gli esiti fisici siano quelli riassunti dalla seguente tabella (a. = anni di carcere ):

n C NC 3a.,3a. 25a.,la 1a.,25a. 10a.,10a. n C NC -3,-3 -25,-1 -1,-25 Per tradurre questi pagamenti fisici in utilità VNM, tenendo conto che ciascuno dei due desidera quanti meno anni di carcere possibile, si può semplicemente considerare i numeri opposti ossia la bimatrice: n C NC -3,-3 -25,-1 -1,-25 -10,-10

È indispensabile comunicare? La Battaglia dei Sessi È indispensabile comunicare?

Il Dilemma Una coppia che non può comunicare fino a sera vuole incontrarsi ma nessuno dei due sa dove andrà. Lei preferisce uscire con le amiche mentre lui preferisce stare a casa. Se si incontrano sono entrambi più contenti che se decidessero di fare ciò che ognuno preferisce. Lui sarebbe più contento se lei andasse a trovarlo a casa mentre lei trarrebbe maggior beneficio se uscisse con le amiche.La situazione peggiore sarebbe che lui andasse con le amiche e lei a trovarlo a casa.

Figura 1: La Battaglia dei Sessi F/M C A 1,2 -1,-1 1,1 2,1 Nella bimatrice, M è il giocatore mentre F è la giocatrice. A è la decisione che preferirebbe F (ossia uscita con le amiche) e C è la decisione che opterebbe M (ovvero restare a casa) se non fosse che essendo una coppia decideranno ciò che è più profittevole non per il singolo bensì per entrambi (gioco cooperativo).

La Strategia dominante Secondo la matrice nessuno dei due giocatori opterebbe per la posizione C,A o per la A,C in quanto la prima risulta la soluzione più dannosa per entrambi mentre nella seconda la soddisfazione è minima. Nella battaglia dei sessi non esiste una strategia dominante per nessuno dei due giocatori. Quindi le risposte ottime si spostano nelle caselle C,C (se il decision maker è M) e A,A (se è F a decidere per primo) che sono due equilibri di Stackelberg nel gioco non -cooperativo.

Nella seconda ipotesi il dilemma si ripete, e a differenza del primo, dove i due giocatori si potevano posizionare sui due equilibri, nel secondo caso sapranno quale strategia viene usata da uno dei giocatori e si comporteranno di conseguenza.

La soluzione di Nash nel gioco cooperativo Giocatrice M/F A L 1, 1 -1, 1 1, -1 -F, -M Giocatore Se la giocatrice muove per prima e lo chiama, lui ha due strategie da poter attuare: litigare cercando di farle cambiare idea o accettare che lei vada con le amiche. Quindi vi sono quattro possibili situazioni: i due continuano a litigare e alla fine perdono la possibilità di incontrarsi ( L,L), lei si ritira e accetta di andare da lui (L,A), lui accetta e lei rimane nella sua posizione (A,L), entrambi non litigano e si vengono incontro cedendo entrambi ma avendo il massimo beneficio collettivo, l’equilibrio di Nash si trova quindi in (A, A).

M/F C N.C 3,3 1,4 4,1 Crisi Altra lettura del caso C = Cede N.C = Non Cede C,C = Ottimo di Pareto ed Equilibrio di Nash