Filtri digitali IIR

IIR - Linearità di fase Im ejw Z-plane Re Esiste un legame “fase linere”  “risposta impulsiva” di simmetria o antisimmetria di h(n). Ma h(n) è infinita  Un IIR a fase linare non è realizzabile Se h(n) è simmetrica vale la seguente proprietà: H(z-1) = zN-1 H(z) ovvero tanto gli zeri quanto i poli di H(z) devono essere speculari rispetto il cerchio unitario ( INSTABILITÀ) Im ejw Z-plane Re

IIR - Linearità di fase (approx.) Si approssima la fase lineare solo in banda passante Impiego di un equalizzatore di fase (filtro ALL-PASS) Si rinuncia alla “realizzabilità” (non applicabile nel caso di filtraggi in tempo reale) Impiego della tecnica del TIME-REVERSAL Fase Mod. x(n) x(-n) f(n) f(-n) y(-n) T.R. H(z) H(z)H(z-1)X(z) X(z) X(z-1) H(z)X(z-1) H(z-1)X(z)

Filtri IIR - Progetto Ottimizzazione procedimenti iterativi per definire i coefficienti che minimizzano un certo errore Scelta diretta di poli e zeri in Z. Trasformazione da prototipi analogici Butterworth Chebyshev (1o e 2o tipo) Elittici Si deve definire una “mappatura da s  z che mantenga le proprietà del filtro nonché la stabilità.

Filtri IIR - Progetto Si parte da un progetto analogico E lo si riporta in digitale Cercando di rispettare due regole: L’asse jW del piano S venga mappato sul cerchio unitario eiw in Z (uguale risposta in frequenza) Il semipiano sinistro di S venga mappato internamente al cerchio unitario in Z (stabilità)

Trasf. Differenziali  Differenze finite Backward difference Forward difference Generalized differences

Trasf. Differenziali  Differenze finite Eq. differenziali Trasf. Di Laplace Trasformazione adottata Differenze finite

Backward difference (1)

Backward difference (2) S-plane Z-plane

Backward difference (2) Considerazioni: Mantiene la stabilita’ La risposta in frequenza risulta alterata tanto piu’ quanto maggiore e T tanto piu’ verso le alte frequenze la risposta in frequenza risulta approssimata solo alle basse frequenze

Forward difference (1)

Backward difference (2) S-plane Z-plane

Forward difference (2) Considerazioni: NON Mantiene la stabilita’ La risposta in frequenza risulta alterata tanto piu’ quanto maggiore e T tanto piu’ verso le alte frequenze la risposta in frequenza risulta approssimata solo alle basse frequenze

Generalized difference (1)

Generalized difference (2) S-plane Z-plane

Generalized difference (3) S-plane Z-plane

Generalized difference (4) Considerazioni (personali) è una trasformata “strana” solo una parte dell’asse jΩ viene mappato sul cerchio unitario la legge di mappatura puo’ portare a piu’ soluzioni la legge di mappatura inversa potrebbe non essere monotona (si deve operare una scelta particolare di αi ad ogni polo in s corrispondono piu’ poli in z di cui a coppie uno dentro ed uno fuori dal cerchio unitario se z’ è una soluzione lo è anche -1/z’ applicata direttamente NON mantiene la stabilità si puo’ pensare di “stabilizzare” il filtro riportando I poli a con modulo maggiore di 1 in 1/z

Trasformata bilineare (1) jW ejw z -2/T

Trasformata bilineare (2) S-plane Z-plane

Trasformata bilineare (3) W w p/2 p

Trasformata bilineare (4) Considerazioni E semplicemente una trasformata che gode di opportune proprieta’ mappa l’asse jΩ sul cerchio unitario mantiene la stabilita’ La forma della risposta in frequenza risulta “distorta” si deve applicare un pre-warping alle caratteristiche del filtro Il T impiegato nella trasformata bilineare non deve per forza coincidere con il periodo di campionamento del segnale digitale

Risposta impulsiva invariante (1) Solo per i poli

Risposta impulsiva invariante (2) Applicato solamente ai poli di H(s) Per evitare l’aliasing H(jW) =0 per |W| > p/T s z jW ejw p/T - p/T