Controllo del Moto Controllo nello spazio dei giunti

Controllo del Moto Controllo nello spazio operativo

Controllo nello spazio dei giunti Determinare le n componenti di forza generalizzate tali che risulti : A causa degli organi di trasmissione : Matrice diagonale e costante

Controllo nello spazio dei giunti Sostituendo otteniamo : Dove : Attrito viscoso riportato all’asse del motore Disturbo = Contributo dipendente dalla configurazione

Controllo indipendente ai giunti il coefficiente d’attrito viscoso trascurabile rispetto al coefficiente d’attrito elettrico

Controllo indipendente ai giunti costante di guadagno velocità – tensione costante di tempo caratteristica del motore

Controllo in retroazione

Controllo in retroazione Un’efficiente riduzione degli effetti del disturbo d sull’uscita  è assicurata da: · Un elevato guadagno degli amplificatori a monte del punto d’applicazione del disturbo; · La presenza, nel controllore, di un’azione integrale al fine di annullare, a regime ( costante), l’effetto della componente gravitazionale sull’uscita. PI = Proporzionale Integrale

Retroazione di posizione

Retroazione di posizione Blocco interno Ramo di azione diretta : Ramo di retroazione : H(s) = kTP

il sistema risulta stabile il sistema risulta intrinsecamente instabile il sistema risulta stabile

il sistema migliora notevolmente le sue caratteristiche di prontezza. Fdt a ciclo chiuso

Fdt disturbo-uscita Da essa si osserva che conviene aumentare KP in modo da ridurre l’influenza del disturbo sull’uscita durante il transitorio. Conviene tuttavia scegliere KP con valori non molto elevati, per evitare che al sistema di controllo siano assegnate caratteristiche di risonanza poco accettabili. Osserviamo, inoltre, che lo zero all’origine dovuto al controllore PI consente di annullare, quando  è costante, gli effetti della gravità sulla posizione.

Retroazione di posizione e velocità

ponendo TV = Tm lo zero del controllore cancella gli effetti del riportando l’anello di retroazione in velocità in parallelo all’anello di retroazione in posizione Fdt ramo diretto Fdt ramo in retroazione ponendo TV = Tm lo zero del controllore cancella gli effetti del polo reale del motore

Quindi, fissate le costanti di trasduzione kTP e kTV, si trova KV dalla prima eq. e successivamente KP dalla seconda equazione

Retroazione di posizione velocità e accelerazione

Fdt ramo di azione diretta : Fdt ramo in retroazione :

Scelta dello zero : Oppure :

Stavolta le specifiche e il fattore di riduzione degli effetti indotti dal disturbo possono essere fissati indipendentemente.

Stima dell’accelerazione

Compensazione in avanti decentralizzata

Coppia precalcolata

Hardware per sistemi di controllo assi DSP per motion control (HCTL1100,LM628/9) Microcontrollori (MPC555, etc.) Schede controllo assi (GALIL,PMD, etc.)

HCTL1100 Agilent (Ex HP)

LM628/9 National

Microcontrollori MPC555

Schede controllo assi

CONTROLLO CENTRALIZZATO Trasmissioni : Krq = qm Attuatori :

Sistema controllato in tensione Attrito viscoso meccanico e elettrico (matrice diagonale) Ingresso di controllo del sistema

Sistema controllato in coppia F = Fv u = KrKtGivc = ;

Controllo di sistemi non lineari Esempio : robot Scegliamo come variabili di stato :

Punto di equilibrio Esempio: Robot

Stabilità dell’equilibrio Un punto di equilibrio xe è stabile nel senso di Lyapunov se partendo abbastanza vicino a xe all’istante iniziale, lo stato vi resterà vicino negli istanti successivi. Asintotica stabilità : Globale asintotica stabilità : In tal caso può esserci un solo stato di equilibrio Uniforme stabilità : Indipendente da t (tempo invariante)

Stabile Instabile

Asintotica stabilità Globale asintotica stabilità

Teorema di Lyapunov Assumiamo che l’origine x=0 è un punto di equilibrio : Intorno dell’origine L’origine è un punto di equilibrio STABILE se

Asintoticamente stabile se TEOREMA DI LASALLE Asintoticamente stabile se Ed inoltre solo per x=0

Esempio Sistema lineare Data una P>0 soluzione di Con Q>0 E’ una funzione di Lyapunov, infatti

Controllo PD con compensazione di gravità Stato del sistema errore Funzione candidata di Lyapunov: Energia cinetica Energia potenziale elastica virtuale

Derivando Da Si ricava Sostituendo : Scegliendo : Nullo ! Proprietà di

Azione proporzionale-derivativa Postura di equilibrio : All’equilibrio :

Controllo PD con compensazione di gravità Tramite questa tecnica di controllo qualunque postura di equilibrio risulta globalmente asintoticamente stabile La componente gravitazionale va compensata in maniera perfetta (affinché il risultato sia garantito matematicamente)

Feedback Linearization controllo Se utilizziamo :

Controllo a dinamica inversa di un manipolatore (momento calcolato, feedback linearization) Posto : Scelta la legge di controllo :

Attraverso la scelta delle matrici KP e KD diagonali si ottiene un sistema disaccoppiato: la componente del riferimento ri influenza la sola variabile di giunto qi con una relazione i/o del secondo ordine caratterizzata da una pulsazione naturale wni e da un coeff. di smorz. xi

Cancellazione dinamica PD

Controllo nello Spazio Operativo Controllo con inversa dello Jacobiano

Controllo nello Spazio Operativo Controllo con trasposta dello Jacobiano

Controllo PD con compensazione di gravità Errore nello spazio dei giunti Funzione candidata di Lyapunov Simmetrica e difinita positiva Derivando

Scegliendo come legge di controllo : Definita positiva

Postura di equilibrio All’equilibrio : Se lo Jacobiano è a rango pieno :

Controllo PD con compensazione di gravità Tale schema di controllo rivela un’analogia con quello basato sulla trasposta dello Jacobiano

Controllo a dinamica inversa Derivando una volta la relazione della cinematica differenziale Per un manipolatore non ridondante scegliendo : Matrici diagonali definite positive

Controllo a dinamica inversa

Considerazioni conclusive Il controllo nello spazio dei giunti è in genere più complesso del controllo nello spazio operativo In presenza di singolarità e/o ridondanza: Negli schemi con trasposta di J se l’errore entra nel nullo di J il manipolatore si ferma in una configurazione diversa da quella desiderata Negli schemi con inversa di J si devono trovare accorgimenti numerici (es. inversa ai valori singolari smorzati) Il controllo dei giunti è in un certo senso trasparente a tali problemi, in quanto ridondanze e singolarità vengono affrontate a monte, durante l’inversione cinematica, mentre in questo caso devono essere gestite all’interno dell’anello di controllo Se, come in questi casi, si usa lo Jacobiano analitico bisogna rifarsi a rappresentazioni minime dell’orientamento. Per utilizzare lo Jacobiano geometrico (più semplice da determinare) bisogna scegliere rappresentazioni più complesse (es. asse/angolo o quaternione unitario)

Controllo dell’interazione Controllo di cedevolezza Utilizziamo una legge di controllo PD con compensazione di gravità nello spazio operativo All’equilibrio stavolta, con : Vettore equivalente delle forze di contatto

J = TA()JA (Esempio manipolatore in singolarità di spalla) Dipende dalla configurazione (Esempio manipolatore in singolarità di spalla)

( ) Modello semplice ma significativo del contatto: Ambiente elasticamente cedevole e disaccoppiato K semi-definita positiva ( ) Posizione di equilibrio dell’ambiente non deformato

La matrice Ka definisce la rigidezza dell’ambiente La matrice Ka definisce la rigidezza dell’ambiente. Ove è possibile definire la sua inversa, essa rappresenta la cedevolezza dell’ambiente. E’ detta cedevolezza passiva perché descrive una caratteristica intrinseca dell’ambiente nello spazio operativo Ricordando che essa è semidefinita positiva ne consegue che il conceto di cedevolezza non è caratterizzato, a livello globale, su tutto lo spazio operativo, ma ca opportunamente specificato per quelle direzioni (l’immagine di Ka) lungo le quali il moto dell’organi terminale è vincolato dall’ambiente Invece la matrice Kp-1 rappresenta una cedevolezza attiva poiché è il risultato dell’applicazione di una opportuna legge di controllo di posizione

Con il modello di ambiente La relazione Diventa

All’equilibrio :

La posizione di equilibrio dipende dalla posizione di riposo per l’ambiente e dalla posizione desiderata imposta dal sistema di controllo del manipolatore L’interazione dei due sistemi (ambiente e manipolatore) è influenzata dal peso associato alle rispettive caratteristiche di cedevolezza E’ possibile agire sulla cedevolezza attiva in maniera tale da far dominare il manipolatore sull’ambiente o viceversa Tale dominanza può essere selettiva rispetto alle direzioni (valori elevati degli elementi di Kp corrispondenti alle direzioni in cui si desidera che l’ambiente ceda, e viceversa)

Considerando adesso l’espressione della forza di contatto all’equilibrio si riconosce l’opportunità di accordare le caratteristiche di cedevolezza del manipolatore a quelle dell’ambiente, che può presentare caratteristiche differenti lungo direzioni diverse dello spazio operativo Lungo direzioni in cui l’ambiente presenta rigidezza elevata è opportuno rendere il manipolatore cedevole affidando allo stesso il compito di graduare l’intensità dell’interazione mediante una scelta opportuna della posizione desiderata e viceversa

Ambiente rigido e manipolatore cedevole: x(inf)=xe, il manipolatore genera una forza dipendente da Kp che può essere specificata mediante la scelta della componente di (xd-xe) lungo la direzione di interesse Ambiente cedevole e manipolatore rigido: x(inf)=xd, è l’ambiente a generare una forza elastica lungo le direzioni di interesse

Esempio All’equilibrio :

Il manipolatore domina sull’ambiente (cedevolezza passiva) L’ambiente domina sul manipolatore (cedevolezza attiva)