Dal campo magnetico rotante al modello matematico del motore sincrono a magneti permanenti Francesco Cupertino Ottobre 2007

Avvolgimenti di statore di una macchina in c.a. ia(t) Sullo statore sono disposti tre avvolgimenti (fasi) con gli assi disposti a 120° nello spazio. Si suppone che le correnti assorbite siano sinusoidali, di uguale ampiezza e frequenza e sfasate di 120° nel tempo. ia(t)= Im cos(wt-f) ib(t)= Im cos(wt-f-2p/3) ic(t)= Im cos(wt-f-4p/3) va(t) vb(t) ib(t) vc(t) ic(t)

Campo magnetico della fase a ia(t) Asse della fase a L’avvolgimento della fase a genera un campo magnetico avente la direzione dell’asse della fase a, modulo e verso variabili. Ha(t)= Hm cos(wt-f) Il campo magnetico Ha è pulsante va(t) Ha(t)= 0 ib(t) ic(t)

Scomposizione in campi contro-rotanti ia(t) Asse della fase a Il campo magnetico Ha può essere visto come la somma di due campi magnetici contro-rotanti di ampiezza Hm/2 ciascuno. La velocità angolare dei due campi controrotanti è pari alla pulsazione w del campo magnetico Ha(t). Ha(t)= Hm cos(wt-f) Ha(t) va(t) w w Hm/2 Hm/2 Ha(t)= 0 ib(t) ic(t)

Scomposizione in campi contro-rotanti ia(t) Asse della fase a Il campo magnetico Ha può essere visto come la somma di due campi magnetici contro-rotanti di ampiezza Hm/2 ciascuno. La velocità angolare dei due campi controrotanti è pari alla pulsazione w del campo magnetico Ha(t). Ha(t)= Hm cos(wt-f) va(t) Ha(t)= 0 ib(t) ic(t)

Estensione alle tre fasi – fase a ia(t) Le considerazioni fatte per la fase a possono estendersi alle altre due fasi. Ha(t)= Hm cos(wt-f) Hb(t)= Hm cos(wt-f-2p/3) Hc(t)= Hm cos(wt-f-4p/3) In figura è rappresentato l’istante iniziale (t=0). f Ha(t) va(t) w w Hm/2 Hm/2 Ha(t)= 0 ib(t) ic(t)

Estensione alle tre fasi - fase b ia(t) Le considerazioni fatte per la fase a possono estendersi alle altre due fasi. Ha(t)= Hm cos(wt-f) Hb(t)= Hm cos(wt-f-2p/3) Hc(t)= Hm cos(wt-f-4p/3) In figura è rappresentato l’istante iniziale (t=0). f w 2p/3 Hm/2 Hm/2 w ib(t) Asse della fase b ic(t)

Estensione alle tre fasi – fase c ia(t) Le considerazioni fatte per la fase a possono estendersi alle altre due fasi. Ha(t)= Hm cos(wt-f) Hb(t)= Hm cos(wt-f-2p/3) Hc(t)= Hm cos(wt-f-4p/3) In figura è rappresentato l’istante iniziale (t=0). f w Hm/2 4p/3 ib(t) Hm/2 w ic(t) Asse della fase c

Estensione alle tre fasi – fasi ‘a’, ‘b’ e ‘c’ ia(t) 3Hm/2 I tre campi magnetici rotanti in senso antiorario sono in fase e si sommano in un campo magnetico risultante di ampiezza 3Hm/2. I tre campi magnetici rotanti in senso orario sono sfasati di 120° e danno somma nulla istante per istante. L’effetto contemporaneo dei tre campi pulsanti genera un campo magnetico rotante a velocità w e di ampiezza 3Hm/2. f w w Hm/2 Hm/2 Hm/2 w ib(t) Hm/2 w ic(t)

La macchina bifase a ia(t) Hm Lo stesso campo magnetico rotante potrebbe essere generato da una macchina con due fasi disposte a 90° ed alimentate con correnti sinusoidali sfasate di 90°. ia(t)= Im cos(wt-f) ib(t)= Im cos(wt-f-p/2) Il campo magnetico pulsante generato da ciascuna fase avrà ampiezza massima Hm f p/2 va(t) w w Hm/2 Hm/2 b ib(t) vb(t) Hm/2 w Trasformazioni abc-ab (n.b. a=exp(j2p/3) ) iab(t)= 2/3 ( ia(t) + a ib(t) + a2 ic(t)) vab(t)= 2/3 ( va(t) + a vb(t) + a2 vc(t))

La macchina bifase con avvolgimenti rotanti d a wdq qdq Hm Si potrebbero sostituire gli avvolgimenti stazionari percorsi da correnti di pulsazione w con bobine rotanti percorse da correnti continue. id(t)= Im cos(-f-qdqo) iq(t)= Im cos(-f-p/2-qdqo) Ciascun avvolgimento genera un campo magnetico stazionario solidale con la bobina che lo produce. id(t) f w vd(t) Hd Hq b wdq q vq(t) iq(t) Trasformazioni ab-dq idq(t) = iab(t) exp(-j qdq) vdq(t) = vab(t) exp(-j qdq)

Modello matematico del motore Equazioni nel sistema di riferimento ab vab(t) =Rs iab(t) + dlab/dt Equazioni nel sistema di riferimento dq vdq(t) = Rs idq(t) + dldq/dt + j wr ldq dove ld= Ld id + lm lq = Lq iq La coppia elettromagnetica è: Ce=3np/2(ld iq – lq id) = 3np/2 ( lm iq + (Ld–Lq) id iq)) Coppia di allineamento del campo = 3np/2 lm iq Coppia di riluttanza = 3np/2 (Ld–Lq) id iq Trasformazioni ab-dq (dq solidale con il rotore) iab(t) = idq(t) exp(j qr) vab(t) = vdq(t) exp(j qr)

Diagramma a blocchi del motore nel sistema di riferimento dq