I LIMITI

f: In matematica , il concetto di limite serve a descrivere il comportamento di una funzione all'avvicinarsi del suo argomento a un dato valore, oppure al crescere illimitato di tale argomento (per esempio una successione). Vediamolo con alcuni esempi: Consideriamo la funzione f: R → R x → y = x-2

Come si vede mano a mano che ci avviciniamo al valore X=3 la funzione tende al corrispondente valore f(3)=1. Lo possiamo vedere meglio con la sottostante tabella Grafico 1 x 2,00 2,50 2,55 2,80 2,85 2,90 2,93 2,95 2,98 3,00 3,05 Y 0,00 0.50 0.55 0.80 0.85 0.90 0,93 0,95 0.98 1,00 1,05

Consideriamo un’altra funzione Grafico 2

Dall’analisi del suo grafico, (grafico 2 ) si nota che la funzione ha lo stesso comportamento , anche nelle vicinanze di x=3 anche se la funzione non è definita in x=3 . Lo possiamo verificare con la tabella: x 2,00 2,50 2,55 2,80 2,85 2,90 2,93 2,95 2,98 3,00 3,05 Y 0,00 0.50 0.55 0.80 0.85 0.90 0,93 0,95 0.98 0:0 1,05

Altre volte la funzione si comporta in maniera “asintotica”nelle vicinanze di qualche punto, come si può nell’ esempio successivo. Per descrivere il comportamento di una funzione nelle vicinanze di un punto si utilizza il concetto di Limite. Grafico 3

Questa operazione la si rappresenta con il simbolo Si legge : limite per x che tende a x0 di f(x). Ad esempio, abbiamo visto che

La prima considerazione che dobbiamo fare è che se descrivere il comportamento della funzione nelle vicinanze di un punto significa calcolare i valore che questa assume in punti via via più vicini al punto x0 considerato allora necessariamente x0 deve essere punto di accumulazione per il dominio. A volte si studia il comportamento della funzione avvicinandoci a x0 solo da destra x0

In questo caso si calcola un limite destro A volte si studia il comportamento della funzione avvicinandoci a x0 solo da sinistra In questo caso si calcola un limite sinistro x0

Si possono classificare i limiti in base ai diversi comportamenti delle funzioni: Limite finito per x che tende ad un valore finito Sia f una funzione reale di variabile reale, f:A→R, e sia x0 un punto di DA . Dire che

mano a mano che ci avviciniamo a x0 la funzione tende a l Significa dire che: mano a mano che ci avviciniamo a x0 la funzione tende a l Grafico 4 cioè che comunque io scelga un intorno “piccolo a piacere” di l, in corrispondenza di tale intorno esiste un intorno di x0 tale che, per ogni x del dominio che appartiene a

tale intorno la corrispondente f(x) cade nell’intorno di l Cioè Oppure A volte ci si avvicina ad x0 solo per valori minori di x0 (da sinistra) o solo per valori maggiori di x0

In questi casi si parla di limite sinistro o limite destro: oppure Le definizioni diventano rispettivamente

Limite infinito per x che tende ad un valore finito Sia f una funzione reale di variabile reale, f: A → R e sia x0 un punto di accumulazione per A. Dire che Grafico 5

Mano a mano che ci avviciniamo a x0 la funzione tende a +∞ , cioè significa dire che comunque io scelga un “intorno di +∞”, in corrispondenza di tale intorno esiste un intorno di x0 tale che, per ogni x del dominio che appartiene a tale intorno la corrispondente f(x) cade nell’intorno di +∞ O meglio che comunque io scelga un K positivo, “grande a piacere”, in corrispondenza di tale K esiste un intorno di x0 tale che, per ogni x del dominio che appartiene a

Oppure Possiamo avere anche tale intorno la corrispondente f(x) è maggiore di K Oppure (1) Possiamo avere anche Grafico 6

In questo caso diremo che mano a mano che ci avviciniamo a x0 la funzione tende a -∞ Significa dire che comunque io scelga un “intorno di -∞”, in corrispondenza di tale intorno esiste un intorno di x0 tale che, per ogni x del dominio che appartiene a tale intorno la corrispondente f(x) cade nell’intorno di -∞ O meglio che

comunque io scelga un K positivo, “grande a piacere”, in corrispondenza di tale K esiste un intorno di x0 tale che, per ogni x del dominio che appartiene a tale intorno f(x) è minore di -K Cioè (2) Le definizioni (1) e (2) possono essere riunite in un’unica espressione

Anche in questo caso possiamo avere limiti destri o limiti sinistri cioè o Oppure Le definizioni diventano

Limite finto per x che tende ad un valore infinito Sia f una funzione reale di variabile reale, f: A → R con A illimitato superiormente. Dire che Significa dire che al tendere di x a +∞ f(x) tende a l Vediamolo graficamente

Grafico 7

Come si può vedere, comunque io scelga un intorno di l, in corrispondenza di tale intorno esiste un intorno di +∞, tale che, per ogni x del dominio che appartiene a tale intorno la corrispondente f(x) cade nell’intorno di l O meglio Sia f una funzione reale di variabile reale, f: A → R con A illimitato inferiormente. Dire che

Significa dire che al tendere di x a -∞ f(x) tende a l Vediamolo graficamente Grafico 8

Come si può vedere, comunque io scelga un intorno di l, in corrispondenza di tale intorno esiste un intorno di -∞, tale che, per ogni x del dominio che appartiene a tale intorno la corrispondente f(x) cade nell’intorno di l O meglio

Significa dire che al tendere di x a +∞ anche f(x) tende a +∞. Limite infinito per x che tende ad un valore infinito Sia f una funzione reale di variabile reale, f: A → R con A illimitato superiormente. Dire che Significa dire che al tendere di x a +∞ anche f(x) tende a +∞. Vediamolo graficamente

Grafico 9

Come si può vedere, comunque io scelga un intorno di +∞, in corrispondenza di tale intorno esiste un secondo intorno di +∞, tale che, per ogni x del dominio che appartiene a tale intorno la corrispondente f(x) cade nel primo intorno di +∞ , o meglio Oppure

Analogamente, se f è una funzione reale di variabile reale, f: A → R con A illimitato inferiormente o semplicemente illimitato possiamo avere oppure Oppure Significa dire che al tendere di x a -∞ f(x) tende a +∞ o viceversa oppure che al tendere di x a -∞ anche f(x) tende a -∞. .

Si può dire che, comunque io scelga un intorno di +∞ o - ∞, in corrispondenza di tale intorno esiste un secondo intorno di - ∞ o +∞, tale che, per ogni x del dominio che appartiene a tale intorno la corrispondente f(x) cade nel primo intorno di +∞ o - ∞, o meglio Oppure

Le definizioni di limite possono essere sintetizzate in unica definizione in ( R ampliato) . Per si intende . Sia f una funzione reale di variabile reale, f: A → R con e sia x0 un punto di accumulazione per A . Se Allora vuol dire che