LA RETTA Assi cartesiani e rette ad essi parallele Retta passante per l'origine Equazione della retta in forma esplicita Equazione della retta in forma implicita Rette parallele – Rette perpendicolari Fasci di rette Retta passante per due punti

ASSI CARTESIANI Y Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa va- riabile e ordinata nulla. Quindi possiamo concludere che l'equazione del- l'asse delle ascisse è: y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . O X Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla. L'equazione dell'asse delle ordinate allora è: x = 0

Si definisce luogo geometrico del piano l'insieme di tutti e soli i punti del piano che soddisfano una determinata proprietà. L'asse delle x è, ad es., il luogo geometrico dei punti aventi tutti ordinata nulla; l'asse delle y il luogo geometrico dei punti aventi tutti ascissa nulla. Consideriamo l'asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso. Ogni punto dell'asse ha uguale distanza dagli estremi A e B del segmento. A M B Ricordiamo che l'asse di un segmento si definisce come la retta ad esso perpendicolare, passante per il suo punto medio.

RETTE PARALLELE AGLI ASSI y k O x I punti di una retta parallela all'asse x hanno ascissa variabile, ma ordinata costante. Se indichiamo con k tale costante, l'equazione di tale retta è: y = k y O x h Mentre i punti di una retta parallela al- l'asse y hanno ordinata variabile ma ascissa costante, che possiamo indi- care con h. Pertanto la sua equazione è: x = h }

RETTA PER L'ORIGINE Consideriamo una retta r passante per l'origine e distinta dagli assi cartesiani y r x O Prendiamo su r alcuni punti P, Q, R e di essi con- sideriamo le proiezioni ortogonali sull'asse x, che indichiamo con P', Q', R'. Si vengono a determi- nare i triangoli rettangoli OPP', OQQ', ORR '. Essi sono simili perché hanno gli angoli ordinata- mente uguali, e perciò possiamo scrivere: R' R = Q' Q = P' P O R' O Q' O P' R Q P P' Q' R' Ma R' R, Q' Q e P' P sono le ordinate di R, Q, P, mentre O R', O Q' e O P' le rispettive ascisse. Indicate quindi con y1 , y2 , y3 e x1 , x2 , x3 tali coordinate, possiamo scri- vere: y1 = y 2 = y3 = m. Ma, data l'arbitrarietà di punti P, Q, R scelti, si può di- x1 x2 x3 re che in generale è: y = m x Cioè, il rapporto tra le ordinate e le ascisse di tutti i punti della retta è costante.

L'equazione di una retta generica passante per l'origine degli assi e non parallela ad essi è: y = m x, relazione che esprime la diretta proporzionalità fra le grandez- ze x e y. ( Ovvero se aumenta il valore di x, aumenta anche quello di y; se diminui- sce il valore di x, diminuisce anche il valore di y secondo la costante m ) . Alla costante m si dà il nome di coefficiente angolare della retta r. E' così chia- mato perché esso dipende dall'angolo che la retta forma col semiasse positivo delle x . Vediamo infatti come varia la retta al variare di m. m=1/6 m=1/3 m=1 m=2 m=10 m=-10 m=-2 m=-1 m=-1/3 Possiamo notare che, quando m è positivo, la retta forma un angolo acuto con il semiasse positivo delle x . Mentre se m è negativo, l'angolo è ottuso.

Possiamo osservare che, quanto più grande è il valore assoluto di m, tanto maggiore è l'angolo che la retta forma con l'asse x. Quando l'angolo è di 90° la retta coincide con l'asse y. m = 2 m = 10 m =-10 m = -2 m = 1 m = -1 Sono particolarmente importanti due rette per l'origine: la bisettrice del primo e terzo quadrante che ha equazione y = x (si ottiene per m = 1) e la bisettrice del secondo e quarto quadrante avente equazione y = - x ( si ottiene per m = - 1).

se x, ossia y = 0, che si ottiene per m = 0. Dall'equazione y = m x possiamo dedurre l'equazione dell'as- se x, ossia y = 0, che si ottiene per m = 0. Invece, l'equazione dell'asse y, x = 0, non possiamo ottenerla per nessun valore di m. Infatti, m = y/x non ha senso per x = 0. Osserviamo ora che, se x = 1, y = m. Quindi, il coefficiente an- golare di una retta per l'origine è l'ordinata del punto della ret- ta che ha ascissa 1. Dalla figura possiamo notare che se l'angolo acuto tende a 90°, l'ordinata del punto A di ascissa 1, ossia il coefficiente angolare m, tende a valori sempre più grandi, positivi o ne- gativi. Cioè, come si dice, tende ad infinito. Si suole dire perciò che l'equazione dell'asse y si ottiene per m =

come si suol dire, tende a + . Osserviamo che se l'angolo acuto tende a 90° (per difetto, cioè per valori minori di 90o), il coefficiente angolare m assume valori positivi sempre più grandi, cioè, come si suol dire, tende a + . A(1;m) A(1;m) A(1;m) A(1;m) Se l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x è ottuso e tende a 90° (per eccesso, cioè per valori maggiori di 90°), il coefficiente angolare assume valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, cioè, come si dice, tende a meno infinito ( vedi figura successiva ).

Osserviamo come l'ordinata m del punto A (quindi il coefficiente angolare della retta) assume valori negativi sempre più piccoli (ma in valore assoluto sempre più grandi). A(1;m) A(1:m) A(1;m) A(1;m) Quindi l'equazione dell'asse y, x = 0 possiamo ottenerla quando la retta passante per l'origine forma un angolo di 90° con l'asse x, ossia per m =

EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA GENERICA Consideriamo una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante per l'origine. Possiamo pensare a tale retta come alla corrispondente di una retta per l'origine nella traslazione di vettore v ( 0 ; q ). Poiché le equazioni di tale traslazione sono: x ' = x y ' = y + q x = x ' y = y ' – q , l'equazione della retta generica possiamo otte- nerla sostituendo ad x x e ad y y – q nell'equazione y = m x. Si ottiene così l'equazione: cioè y q v (0 ; q ) O x y = m x + q y = m x y = m x + q

y = m x + q Pertanto si può concludere che è l'equazione esplicita di una generica retta del piano non parallela all’asse y. La retta parallela all’asse x si ottiene per m = 0, ma per nessun valore reale di m si può ottenere la retta parallela all’asse y. Vediamo qual è il si gnificato di q . Il termine noto q è detto ''ordinata all'origine'' , in quanto è l'ordinata del punto Q d'intersezione della retta con l'asse y. Se q = 0, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine. y ( 0 ; q ) Q O x q = ordinata all'origine

disegno q Significato di m quando la retta non passa per l’origine y y Già sappiamo che per una retta passante per l’origine il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un suo qualsiasi punto è costante e uguale a m, costante ed uguale a m sarà quindi anche il rapporto dei cateti del triangolo2 perché simile al triangolo1. I cateti del triangolo2 li otteniamo spostandoci oriz- zontalmente dal punto (0;q) di tante unità quante indicate dall’incremento della x e verticalmente di tante unità quante indicate dall’incremento della y. disegno y y incremento y m = = x x incremento x P P P Indicando con x2 e y2 le coordinate di P in una certa posizione e con x1 e y1 le coordinate di P in una posizione precedente, possiamo scrivere: I triangoli sono simili 2 q y2 – y1 x2 – x1 incremento y m = incremento x Cioè, il coefficiente angolare di una retta si può ottenere come rapporto fra la differenza delle ordinate e delle ascisse di due punti qualsiasi della retta. y 1 x

Se m > 0 la retta è crescente Se m < 0 la retta è decrescente Se m = 0 la retta è parallela all’asse delle ascisse

EQUAZIONE IMPLICITA DI UNA RETTA GENERICA Un'equazione lineare in due variabili x e y assume sempre la forma: a x + b y + c = 0 Se esplicitiamo tale equazione rispetto alla variabile y, supponendo b = 0, si ha: y a x c b b Tale equazione, indicando con m la costante – a / b e con q la costante – c / b, diventa del tipo: y = m x + q ( equazione di una retta generica ). Da qui si deduce che l'equazione a x + b y + c = 0 rappresenta l'equazione di una retta generica del piano espressa però in forma implicita. In tale equazione il coefficiente angolare è: m = - a / b e l’ordinata all'origine: q = - c / b

l'equazione di una retta passante per l'origine. Nell'equazione a x + b y + c = 0 se è c = 0 con a e b diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine. Se è b = 0 con a e c diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta paralle- la all'asse delle ordinate, dato che assume la forma: a x + c = 0, ossia: x = - c / a, che è del tipo x = h. Se è a = 0, con b e c diversi da zero, si ha: b y + c = 0, ossia: y = - c / b, equazio- del tipo y = k. b = 0 c = 0 a = 0 Questa equazione, in forma implicita, è anche detta generale in quanto comprende tutte le rette possibili, anche quelle parallele all’asse delle ordinate, che non sono esprimibili in forma esplicita.

Se è a = 0 e c = 0, si ottiene by = 0, ossia y = 0, cioè l’equazione dell’asse x. y O x Se è b = 0 e c = 0, si ottiene ax = 0, ossia x = 0, cioè l’equazione dell’asse y. y O x

Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare. Assegnate le rette di equazione: y = mx + q e y = m’x + q’, deve essere: m = m’ y = mx + q y = mx + q’ Esempio: y = 3x + 1 y = 3x + 2 Due rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare l’uno l’antireciproco dell’altro, cioè: m = -1/ m’ y = mx + q Esempio: y = 5x +1 y = (-1/5)x +3 y = (-1/m)x + q’

FASCI DI RETTE L’equazione del fascio di rette è: y – y0 = m( x – x0 ) e x = x0 dove P( x0;y0 ) è il centro del fascio oppure: a( x – x0 ) + b( y – y0 ) = 0

RETTA PER DUE PUNTI Note le coordinate di due punti di una retta P(x1; y1) e Q(x2;y2) con diversa ascissa, possiamo trovare il coefficiente angolare della retta (come da diapositiva 13) m = y2 – y1 x2 – x1 Scegliendo ad esempio P come punto base, il fascio di rette di centro P ha equazione y2 – y1 x2 – x1 y – y1 = (x - x1) che nel caso anche y = y1 possiamo scrivere nella forma: m y – y1 x – x1 EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI = y2 – y1 x2 – x1 Se i punti P e Q hanno stessa ascissa x1 = x2, l’equazione è: x = h, dove si è indicato con h il valore dell’ascissa comune. Se i Punti P e Q hanno stessa ordinata che indichiamo con k, l’equazione è: y = k.