Il laboratorio di matematica: luogo di intuizione e rigore Andrea Maffia Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

Il laboratorio di matematica è il luogo in cui strumenti, sapere e interazioni sociali si incontrano fra loro (Paola, 2003) Strumenti Sapere Interazioni

INDIVIDUOGRUPPO

Ognuno ha un proprio stile di apprendimento: preferenza rispetto alle modalità di accesso all’informazione e/o alle modalità di elaborazione dell’informazione oggetto dell’apprendimento stesso. INDIVIDUO

Ognuno ha un proprio stile di apprendimento: preferenza rispetto alle modalità di accesso all’informazione e/o alle modalità di elaborazione dell’informazione oggetto dell’apprendimento stesso. INDIVIDUO ESPERIENZE CONCRETE o CONCETTUALIZZAZIONE ASTRATTA RIFLESSIONI OSSERVATIVE o SPERIMENTAZIONE ATTIVA SENSI COIVOLTI: PERCEZIONE VISIVA, UDITIVA, TATTILE (CINESTETICA) La progettazione di una attività di classe che sia “adatta” a tutti deve permettere diverse modalità di accesso alle informazioni e deve prevedere vari approcci risolutivi.

Realizzare una consegna che soddisfi tutti i requisiti non è banale Se si vogliono implementare stimoli per la congettura e l’argomentazione diventa ancora più difficile Stylianides e colleghi (2013) notano come le difficoltà maggiormente riscontrate dagli insegnanti relativamente alle attività di congettura e argomentazione stiano nel reperimento di consegne di livello adatto e nella gestione dell’attività degli studenti

Gueudet e Trouche (2009) RISORSE SCHEMI D’USO DOCUMENTO

EVOLUZIONE Gueudet e Trouche (2009) RISORSE SCHEMI D’USO EVOLUZIONE GENESI DOCUMENTARIA

Un esempio RISORSA COMPONENTE VISIVA E COMPONENTE VERBALE DIVERSE STRATEGIE RISOLUTIVE PER IL PROBLEMA ESPLORAZIONE E INTUIZIONE ARGOMENTAZIONE CHE RICHIEDE CONOSCENZE TEORICHE

COMPONENTE INTUITIVA - Andrà e Santi (2013) L’intuizione può essere vista come il lato dell’attività intellettuale-emozionale più legato ai sensi, quando l’attività è mediata soprattutto attraverso oggetti, artefatti, gesti, movimenti corporei, uso deittico e generativo del linguaggio naturale. Le intuizioni sono una relazione fra il soggetto e un contenuto di conoscenza che permette sensibilità nel notare, pensare, diventare prossimi e sincroni con la generalità. Le intuizioni sono un modo di essere e divenire della conoscenza nel suo moto verso la generalità della conoscenza matematica, con la sensazione di essere vicini a ri-creare ciò che culturalmente ci trascende. L’intuizione può essere il “colpo di genio” di un singolo, ma è altrettanto vero che può essere condivisa in modo comunitario, anche in termini affettivi

Primo tentativo: -Studenti di anni -Tutti ragazzi con difficoltà -Contesto: centro estivo -Scopo: provare esperienze matematiche positive -Attività a gruppi di 3 studenti -Consegna: smascherare l’illusione -Strumenti: righello e squadre SCHEMI D’USO

Risultati: -Attività coinvolgente -Ciascuno studente è stato coinvolto nella soluzione -L’attività ha generato così tanto interesse che poi i ragazzi hanno voluto cercare nuove illusioni ottiche -Argomentazione carente -L’uso degli strumenti geometrici non è sempre stato appropriato -Le giustificazioni fornite per le strategie risolutive non erano sempre corrette -Non vi è stato un momento di formalizzazione degli aspetti matematici coinvolti nell’attività. Secondo gli operatori, la mancanza di un momento di sintesi e istituzionalizzazione dei contenuti concettuali emersi sarebbe risultata in una breve permanenza in memoria delle conoscenze acquisite in quel contesto

Dall’intuizione al rigore… L’attività che quotidianamente viene svolta in classe è anche finalizzata alla formalizzazione delle conoscenze degli studenti Ogni attività esplorativa richiede un successivo momento di istituzionalizzazione Al fine di favorire questo processo si è deciso di modificare l’originale proposta di PQM GENESI DOCUMENTARIA

Contesto: Due classi (I e II) della sec. di I grado Due lezioni, attività in gruppi di 3-4 studenti Organizzazione: - Stimolo iniziale: un matematico in classe -Una illusione comune a tutti i gruppi -Discussione orchestrata dall’insegnante -Una illusione diversa per ogni gruppo -Discussione orchestrata dall’insegnante

Modifiche della risorsa

Strumenti forniti: -Spago - Qualche compasso - Fogli di carta bianchi -Squadre e riga (non graduati)

Risultati: primo problema Due sottoproblemi 1) Misurare i segmenti senza far ricorso a una scala graduata già pronta 2) Descrivere il processo di misura usando le parole

StrumentoDescrizione della procedura (risposta alla seconda consegna) Compasso- Per misurarla abbiamo aperto il compasso per la larghezza di uno dei due segmenti e poi lo abbiamo confrontato con l’altro segmento. - Abbiamo aperto il compasso della lunghezza di A e, mantenendo la stessa apertura, l’abbiamo puntato sul B ed è risultato uguale. - Abbiamo usato il compasso aprendolo dai punti C e D della figura A. - Abbiamo aperto il compasso del segmento A e abbiamo notato che la larghezza dei 2 segmenti è uguale. - Col compasso abbiamo puntato su un vertice del primo segmento e l’abbiamo aperto fino all’altro vertice. Con la stessa ampiezza abbiamo misurato il secondo segmento. Spago- Mettendo il filo su una linea poi tenendo il punto, l’abbiamo messo sull’altra linea e poi combaciavano. Squadra- Abbiamo visto che i segmenti erano uguali facendo un segno con la matita sulla squadra. - Per usare la squadra l’abbiamo posizionato e abbiamo puntato il dito e confrontato l’altra linea e abbiamo scoperto che erano uguali. Altro- Abbiamo usato una spanna della mano e abbiamo visto che le due misure sono alla pari. - Abbiamo misurato con una cordicella, un compasso e una squadra e tutti anno usato uno strumento diverso. La precisione L: Apro le dita e riporto P: Questo è proprio poco preciso! Ins: Quale metodo è più preciso? A: noi abbiamo usato tutti e tre i metodi, la corda, il compasso e la squadra. Il metodo più preciso è la squadra o il compasso, perché con la corda puoi muovere le dita, invece il compasso sta più fermo.

Risultati: secondo problema Discussione di classe a proposito delle possibili modalità per verificare il parallelismo fra due rette. L’intervento dell’insegnante spinge la discussione verso un maggiore rigore del linguaggio: Ins: ci sono temi comuni tra le varie schede? So: La drittezza delle righe! Ins: In termini geometrici? D: Diciamo linee. L: Segmenti paralleli o curvi Si: in quasi tutte le schede c’erano delle linee curve che invece erano dritte. Ins: In termini geometrici? Si: Rette!

Ins: Rette. Come facciamo a verificare che una linea sia retta? D: Ci mettiamo sopra una riga o una squadra. C: Poi bisogna dimostrare che quelle linee rette sono parallele. E: Noi abbiamo usato il compasso per misurare la distanza. Lo studente E suggerisce che la misura della distanza può essere sufficiente per questa ‘dimostrazione ’ C mette in evidenza che il ‘mettere sopra una riga o una squadra’ suggerito da D non è sufficiente a “dimostrare”.

Intuizione comunitaria? Si potrebbe pensare la possibilità di intuizione del singolo studente viene “bruciata” nel momento in cui un compagno smaschera l’illusione ottica Si è notato che invece quando uno studente determina dove sta l’illusione allora fornisce ai compagni degli indizi Ciascuno di loro quando se ne rende conto ha una sensazione di “Aha!” che risulta in un sentimento di efficacia personale Tale sentimento positivo è testimoniato dalla richiesta di ripetere l’attività con nuove illusioni ottiche “All’inizio alcuni membri del gruppo avevano sbagliato, ma poi altri membri del gruppo si sono accorti dell’illusione ottica e l’hanno spiegato al resto del gruppo.” “L’abbiamo scoperto insieme, ognuno con le sue idee ma S. ci ha detto la soluzione.” “D. ha avuto l’idea mentre la S. e la C. hanno spiegato il perché.” “ Ci siamo messi a guardare e io e A. abbiamo capito […] Dopo C. ha preso la riga e invece l’E. ha tagliato le striscioline e dopo anche io e A. abbiamo usato la squadra per verificare e poi se ti pieghi guardando il disegno con la testa piegata li vedi dritti e questo lo ha trovato l’E.”

Conclusioni (1) Si è mostrata una genesi documentaria che, a partire da una risorsa reperita tramite il PQM, ha portato a graduali modifiche (sia della risorsa sia dei suoi schemi d’uso) dovute al cambiamento del contesto In particolare, a partire dall’assunto che l’intuizione è una attività sociale (Andrà & Santi, 2013) si è deciso di far lavorare gli studenti in piccoli gruppi Inoltre la necessità di richiedere agli allievi un linguaggio che facesse uso di termini opportuni e la volontà di spingerli ad argomentare le procedure utilizzate hanno portato a modificare le consegne originali

Conclusioni (2) L’attività è stata divisa in due momenti di lavoro, in piccoli gruppi, alternati con discussioni collettive di classe. L’andamento della discussione di classe e le risposte degli studenti forniscono buoni elementi per inferire che l’attività ha avuto un buon impatto sia dal punto di vista affettivo sia dell’applicazione delle conoscenze per descrivere e giustificare una procedura. In particolare ciascun gruppo di studenti è stato in grado di lavorare fino all’ultima consegna, anche quelli composti dagli studenti con maggiori difficoltà.

GRAZIE DELL’ATTENZIONE