LA LOGICA MATEMATICA Ing. Francesco Scarcella

La logica è semplicemente la scienza del ragionamento. Cos’è la logica? La logica è semplicemente la scienza del ragionamento. LOGICA Scienza del ragionamento LOGICA MATEMATICA Scienza del ragionamento matematico

Scienza e ragionamento Ragionamento significa studiare come l’uomo ragiona. Scienza significa adottare un metodo scientifico: «metodo matematico».

Come si arriva a studiare la logica?

La Dialettica È stata iniziata in Occidente dalla Scuola greca dei Sofisti (Protagora e Gorgia). I Sofisti erano interessati all’arte della parola, all’arte del discorso; pertanto, iniziarono a studiare le regole che soggiacevano al discorso per cercare di usarle ai propri fini.

La Via dei Paradossi Cos’è un paradosso? In termini filosofici, un paradosso consiste in una vera e propria contraddizione logica. In termini matematici, un paradosso consiste in una proposizione eventualmente dimostrata e logicamente coerente, ma lontana dall’intuizione.

Paradossi della storia Il mentitore Achille e la tartaruga

Quale è il paradosso del mentitore? Il paradosso del mentitore è il paradosso di qualcuno che dice: "Io sto mentendo" Come mai è paradossale? Se si suppone che chi dice: "Io sto mentendo" dica il vero, allora si deduce che ha detto il falso; se, invece, si suppone che chi dice :"Io sto mentendo" dica il falso, allora si deduce che ha detto il vero. Quindi si tratta di una contraddizione, di un paradosso.

Paradosso di Achille e la tartaruga Gara tra Achille e la tartaruga Achille : simbolo della velocità Tartaruga : simbolo della lentezza

Achille corre dieci volte più veloce della tartaruga e le concede 10 m di vantaggio. Achille percorre quei 10 m e la tartaruga avanza di un 1 m; Achille percorre quel metro e la tartaruga avanza di un 1 dm; Achille percorre quel decimetro e la tartaruga avanza di 1 cm; Achille percorre quel centimetro e la tartaruga avanza di 1 mm, e così via all’infinito. Dunque, Achille non potrà mai raggiungere la tartaruga.

Dove sta l’errore? Qual’ è il problema? Sappiamo tutti che correndo dietro una tartaruga, prima o poi si riesce a raggiungerla. Dove sta l’errore? Qual’ è il problema? L’assunzione implicita che sta fisicamente dietro questo paradosso è che lo spazio sia divisibile all’infinito, cioè che sia possibile dire che tra questi due punti ce ne stanno una infinità. Da un punto di vista matematico, questo è vero; da un punto di vista fisico questo non è assolutamente detto che sia vero; da punto di vista logico, il problema è il regresso all’infinito, ossia tutti questi paradossi si basano sul "e così via", sulla possibilità di ripetere lo stesso argomento decine e decine di volte, anzi una infinità di volte.

Soluzioni del paradosso Rifiuto dell’infinito fisico , cioè lo spazio non si può dividere all’infinito. Rifiuto dell’infinito logico , cioè non è possibile fare regressi all’infinito.

La terza Via : la Via delle Dimostrazioni Agli inizi la matematica è nata senza dimostrazioni. Prima del 600 a.C Dal 600 a.C I risultati venivano trascritti in maniera intuitiva, senza alcuna dimostrazione. I greci capirono che i risultati della matematica necessitavano di dimostrazioni, anche perché non c’era modo di sapere se un risultato fosse giusto o meno. Come si fa a decidere di fronte ad un’intuizione se questa è effettivamente vera o meno? BISOGNA DIMOSTRARLA!

2. L’irrazionalità della diagonale del quadrato I Greci furono stimolati allo studio delle dimostrazioni da due famosi risultati, collegati fra loro ed associati a Pitagora. 1. Il Teorema di Pitagora 2. L’irrazionalità della diagonale del quadrato

Teorema di Pitagora «In ogni triangolo rettangolo, l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti» Definizione: Il triangolo rettangolo è un triangolo in cui l’angolo formato dai due lati, detti cateti, è retto, ovvero di 90° . Il lato opposto all’angolo retto è detto ipotenusa.

𝐴𝐵 = 4 cm, 𝐴𝐶 = 3 cm , 𝐵𝐶 = 5 cm. u=1 cm. Costruendo un quadrato su ogni lato del triangolo rettangolo si constata che:

L’area del quadrato costruito sul cateto maggiore, ossia il cateto 𝐴𝐵 , misura 16 cm2, corrisponde cioè al quadrato della misura del lato. [42 = 16 cm2 ] L’area del quadrato costruito sul cateto minore, ossia il cateto 𝐴𝐶 , misura 9 cm2, corrisponde cioè al quadrato della misura del lato. [32 = 9 cm2 ] L’area del quadrato costruito sull’ipotenusa, ossia 𝐵𝐶 , misura 25 cm2, corrisponde cioè al quadrato della misura del lato. [52 = 25 cm2 ] 16+9 = 25 Somma aree quadrati costruiti sui cateti Area quadrato costruito sull’ipotenusa

Quale è l’utilità di questo teorema? È quella di poter conoscere la misura di ogni lato di un triangolo rettangolo, essendo note le misure degli altri due lati i2= C2 + c2  i= 𝐶 2 + 𝑐 2   C2= i2 – c2  C = 𝑖 2 − 𝑐 2   c2= i2 – C2  c = 𝑖 2 − 𝐶 2

Esempio i= 𝐶 2 + 𝑐 2 = 12 2 + 5 2 = 144+25 = 169 = 13 cm  

Irrazionalità della diagonale del quadrato La scoperta veramente geniale e traumatica dei pitagorici , fu che la diagonale del quadrato è un numero irrazionale. Se il lato del quadrato ha lunghezza pari ad 1, la diagonale risulta pari a 2 . Oggi noi diremo che la radice di 2 è irrazionale.

Dimostriamo che la 𝟐 è un numero irrazionale La 𝟐 è un numero irrazionale, ossia un numero che non si può esprimere in forma di frazione m/n con n ed m numeri interi. Questa proposizione può essere dimostrata utilizzando il metodo della dimostrazione per assurdo: Si presuppone vera l’affermazione contraria, ossia la 𝟐 può essere espressa da una frazione e si dimostra che questa porta ad una contraddizione. Per comprendere meglio alcuni passaggi di questa dimostrazione occorre tenere presente che in logica matematica se una proposizione è vera, la sua negazione è falsa e viceversa.

Consideriamo la proposizione: "La 2  non può essere espressa da una frazione" (P1) e la sua negazione: "La  2  può essere espressa da una frazione"(P2). Si inizia la dimostrazione affermando che la proposizione "La  2  può essere espressa da una frazione" (P2) sia vera ( dimostrazione per assurdo). Se la 2 si può esprimere come frazione allora si può scrivere: 2 = 𝑚 𝑛 (1) con m ed n due numeri naturali. Possiamo scegliere m ed n in maniera tale che siano primi fra loro. In particolare allora m ed n non sono entrambi pari.

Poiché il quadrato della 2 è 2, si ha: 2 = 𝑚 2 𝑛 2 (2), cioè m2 è il doppio di n2 . Si può anche scrivere 2n2 = m2 (3) Allora m2 è divisibile per 2, cioè è un numero pari. Ma allora anche m deve essere pari (perché il quadrato di un numero pari è pari, e il quadrato di un numero dispari è dispari). m è pari e quindi può essere scritto come m = 2k (4) dove k è un numero naturale Segue che m2 = 4k2 (5) Inserendo questa espressione nella (3) si ottiene 2n2 = 4k2 (6)

Dunque la 2 è irrazionale. Dividendo primo e secondo membro per 2 si ottiene n2 = 2k2 (7) Ciò dimostra che anche n è pari. Dunque , si è dimostrato che sia n che m sono numeri pari. Si era però affermato che m e n erano primi fra loro , per cui non possono essere entrambi pari: si ha una contraddizione con l’ipotesi di partenza, per cui la proposizione "la 2 può essere espressa da una frazione " è falsa. In logica se una proposizione è falsa la sua negazione è vera, quindi la proposizione "la 2 non può essere espressa da una frazione " è vera. Dunque la 2 è irrazionale.

GRAZIE PER L’ATTENZIONE