Liceo Scientifico Tecnologico “Grigoletti” Precorsi Trigonometria Prof. Marzullo P.

FUNZIONI CIRCOLARI E LORO INVERSE FORMULE DI ADDIZIONE, DUPLICAZIONE, BISEZIONE FORMULE DI PROSTAFERESI TRIGONOMETRIA

La goniometria si occupa della misura degli angoli e delle relative funzioni. La trigonometria studia i procedimenti di calcolo che permettono di determinare la misura degli elementi di un triangolo, noti alcuni di essi. L’angolo è la parte di piano individuata da due semirette a e b che hanno la stessa origine.

V (Vertice) angolo concavo a b (Lato) (Lato) L’angolo è la parte di piano individuata da due semirette a e b che hanno la stessa origine. V (Vertice) angolo concavo a b (Lato) (Lato) angolo convesso

LA MISURA DEGLI ANGOLI Nel sistema sessagesimale, l’unità di misura degli angoli è il grado sessagesimale, definito come la 360a parte dell’angolo giro. Il sistema di misura degli angoli con gradi, primi, secondi è il più antico, ma presenta il problema di non utilizzare un sistema decimale e di avere quindi procedimenti di calcolo complicati Esempio: 30° 20’ 54” + 2° 45’ 24” = 32° 65’ 78” = 33° 6’ 18”

Per semplificare i calcoli si usa il sistema che ha per unità di misura il radiante: Data una circonferenza, si chiama radiante l’angolo al centro che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio. Quindi la misura in radianti di un angolo al centro non è altro che il rapporto tra la misura dell’arco sotteso dall’angolo e la misura del raggio

Misura degli angoli in radianti angolo giro angolo piatto angolo retto 2 π r / r = 2 π π π / 2 Relazione tra gradi e radianti α° = (360° · αrad ) / 2 π α° : αrad = 360° : 2 π αrad = (α° · 2 π ) / 360°

Angoli orientati Un angolo si dice orientato quando è stato scelto uno dei due lati come lato origine e un senso di rotazione. Un angolo orientato si dice positivo quando è descritto mediante una rotazione in senso antiorario; si dice negativo quando la rotazione è in senso orario. angolo positivo lato origine angolo negativo

LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA La circonferenza goniometrica è una circonferenza che viene rappresentata in un piano cartesiano con il centro nell’origine degli assi e il raggio di lunghezza uguale a 1 x2 + y2 = 1 Il punto A ( 1, 0 ) si dice origine degli archi

FUNZIONI GONIOMETRICHE SENO E COSENO DEFINIZIONE B (cos α, sen α) VARIAZIONE GRAFICI

Consideriamo la circonferenza goniometrica e un angolo orientato . Definiamo coseno e seno dell’angolo  le funzioni che ad  associano rispettivamente il valore dell’ascissa e dell’ordinata del punto di intersezione tra il raggio vettore e la circonferenza stessa

Variazione delle funzioni Entrambe le funzioni assumono tutti i valori compresi fra -1 e 1

Y = SEN X

y = cos x

IL PERIODO DELLE FUNZIONI SENO E COSENO sen ( α + 2 k π ) = sen α cos ( α + 2 k π ) = cos α con k Є Z

LA PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE cos2 α + sen2 α = 1

Definizione di tangente Consideriamo una circonferenza goniometrica, un angolo orientato , la tangente geometrica alla circonferenza nel punto di coordinate (1,0). Definiamo tangente dell’angolo  la funzione che ad  associa l’ordinata del punto d’intersezione tra il prolungamento del raggio vettore e la tangente considerata

Variazione della tangente La funzione tangente assume tutti i valori compresi tra -∞ e + ∞

Tangentoide Y = tg x

Periodo della tangente La funzione tangente ha periodo π

Significato goniometrico del coefficiente angolare tg α α 1 m = y/x = tg α / 1 = tg α

La seconda relazione fondamentale sen α tg α = cos α

Definizione di cotangente Consideriamo una circonferenza goniometrica, un angolo orientato , la tangente geometrica alla circonferenza nel punto di coordinate (0,1). Definiamo cotangente dell’angolo  la funzione che ad  associa l’ascissa del punto d’intersezione tra il prolungamento del raggio vettore e la tangente considerata

Variazione della cotangente La funzione cotangente assume tutti i valori compresi fra -∞ e + ∞

COTANGENTOIDE y = ctg x

Periodo della cotangente La funzione tangente ha periodo π

Inoltre si ha che 1 cos() ctg  = = tg() sen()

Le funzioni secante e cosecante Consideriamo la circonferenza goniometrica,un angolo  e la tangente geometrica nel punto di intersezione del raggio vettore con la circonferenza stessa. Definiamo secante e cosecante dell’angolo  le funzioni che ad  associano rispettivamente l’ordinata del punto d’intersezione tra la tangente considerata e l’asse y, e l’ascissa del punto d’intersezione tra la tangente e l’asse x

Variazione della secante e della cosecante Le funzioni assumono tutti i valori appartenenti a (-∞,-1]U[1,+ ∞)

Grafico della funzione y=cosec(x)

Grafico della funzione y=sec(x)

ANGOLI PARTICOLARI π/6 π/4 π/3 π/2 π 3/2π 2π senα 1/2 √2/2 √3/2 1 -1 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3/2π 2π senα 1/2 √2/2 √3/2 1 -1 cos α tg α √3/3 √3 + ∞ - ∞

LE FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE Una funzione è invertibile, ossia ammette la funzione inversa solo se è biiettiva. y = sen x D = [ - π/2, π/2 ] C = [-1, 1] y = arcsen x D = [-1, 1] C = [ - π/2, π/2 ] Il grafico della funzione y = arcsen x è simmetrico rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante della funzione y = sen x

y = arcsen x

y = cos x D = [ 0, π ] C = [-1, 1] y = arccos x D = [-1, 1] C = [ 0, π ] Il grafico della funzione y = arccos x è simmetrico rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante della funzione y = cos x

y = arccos x

y = tg x D = ] - π /2, π /2 [ C = R y = arctg x D = R C = ] - π /2, π /2 [

y = arctg x

Angoli associati Si consideri un punto B appartenente ad una circonferenza goniometrica situato nel primo quadrante; il punto B mi individua un angolo  . Da esso, conducendo le parallele agli assi , si costruisca un rettangolo, in tal modo si individuano altri tre angoli: β=180° -  δ=180°+  λ=360°-  Che si chiamano angoli associati.

Funzioni degli angoli associati sen(180°- )=sen  cos(180°- )=-cos() sen(180°+)=-sen  cos(180°+ )=-cos() sen(360°- )=-sen  cos(360°- )=cos()

Funzioni degli angoli complementari sen(90°- )=cos  cos(90°- )=sen() Riduzione al primo quadrante Ridurre un angolo al primo quadrante significa trovare l’angolo positivo, compreso fra 0° e 90°, le cui funzioni sono uguali, in valore assoluto, a quelle dell’angolo dato

sen 1830°= sen(5∙360°+30°)=sen30° cos 210°=cos(180°+30°)=-cos 30° 13 1 π sen π= sen(4 π+ π)= sen 3 3 3

Provate a calcolare

FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE cos (α ± β) = cos α cos β + sen α sen β sen (α ± β ) = sen α cos β ± cos α sen β tg α ± tg β tg (α ± β ) = 1 + tg α tg β

FORMULE DI DUPLICAZIONE sen 2α = 2 sen α cos α cos 2α = cos2 α - sen2 α = 1 - 2sen2 = 2cos2 – 1 2 tg α tg 2 α = 1 - tg2 α

FORMULE DI BISEZIONE sen α /2 = ± 1 – cos α √ 2 Queste formule di ricavano da quella di duplicazione del coseno sostituendo α /2 ad α sen α /2 = ± 1 – cos α √ 2 cos α /2 = ± 1 + cos α √ 2 sen α 1 – cos α tg α /2 = = 1 + cos α sen α

Formule parametriche Le formule parametriche permettono di esprimere il seno e il coseno di un angolo α in funzione della tangente di α/2

Formule di prostaferesi p + q p - q sen p + sen q = 2 sen cos 2 2 p + q p - q sen p - sen q = 2 cos sen 2 2 p + q p - q cos p + cos q = 2 cos cos 2 2 p + q p - q cos p - cos q = - 2 sen sen 2 2

Esercizi

Risolvi

trigonometria Per risolvere un triangolo rettangolo bisogna determinare le misure dei lati e degli angoli che lo compongono. Studiamo, quindi le relazioni che intercorrono tra le misure lineari e circolari di un triangolo rettangolo

Risoluzione dei triangoli rettangoli Utilizzando la similitudine dei triangoli riusciamo a risolvere facilmente i triangoli retttangoli

Primo teorema In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell’ipotenusa moltiplicata per il seno dell’angolo opposto al cateto o per il coseno dell’angolo adiacente al cateto a = c sen α = c cos β b = c sen β = c cos α

Secondo teorema In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell’altro cateto moltiplicata per la tangente dell’angolo opposto al cateto o per la cotangente dell’angolo adiacente al cateto a = b tg α = b cotg β b = a tg β = a cotg α

Risolvi a = 36 β = 45° L’area di un triangolo rettangolo è 54m2 e la tangente di uno degli angoli acuti misura ¾. Calcola, per via trigonometrica, il perimetro del triangolo

Applicazioni A = ½ b∙c sen α Consideriamo un triangolo qualunque, di cui conosciamo due lati e l’angolo compreso tra essi. Vogliamo calcolare l’area di tale triangolo conoscendo due lati e l’angolo fra essi compreso. Applicando il primo teorema ad uno dei due triangoli in cui l’altezza lo divide si ottiene A = ½ b∙c sen α

Teorema della corda In una circonferenza la misura di una corda è uguale al prodotto di quella del diametro per il seno di uno qualunque degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda.

Dimostrazione Consideriamo una qualunque corda Costruiamo il triangolo rettangolo che ha a come cateto. Il teorema è vero per il primo teorema di risoluzione dei triangoli rettangoli. Se facciamo variare il punto C sull’arco AB otteniamo sempre un angolo α per cui la relazione è vera. Se il punto C si trova nell’arco BA l’angolo su cui insiste la corda è 180°- α per cui la relazione è ancora vera per le formule degli angoli associati

Risolvi Raggio=10  = π/6 β = π/4

Risolvi Detrmina il perimetro del parallelogramma ABCD di base AB sapendo che

I triangoli qualunque Risolvere un triangolo qualunque significa determinare le misure dei suoi lati e dei suoi angoli conoscendo almeno un lato e altri due suoi elementi

Il teorema dei seni In un triangolo qualunque le misure dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.

Dimostrazione Consideriamo un triangolo ABC inscritto in una circonferenza di diametro 2r. Applichiamo il teorema della corda ai lati del triangolo ABC: Confrontando le relazioni precedenti troviamo la tesi.

Risolvi Del triangolo ABC si ha a = 20, b = 9, α = 120°. Determinare sen β Nel triangolo ABC la mediana AM è lunga 80 cm e forma, col lato AB, un angolo di 30°. La lunghezza del lato BC è 120 cm. Calcola l’area del triangolo.

Il teorema del coseno In un triangolo qualunque il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati, diminuita del doppio prodotto della misura di questi due lati per il coseno dell’angolo fra essi compreso.

Dimostrazione Consideriamo un triangolo ABC. Tracciamo l’altezza BH relativa al lato AC. Applicando il primo teorema dei triangoli rettangoli al triangolo ABH, otteniamo: Per differenza si ha: Determiniamo BC applicando il teorema di Pitagora al triangolo BHC: Quindi:

Risolvi Del triangolo ABC si ha a = 12, b = 6, γ = 60°. Determinare c Nel triangolo ABC i lati AB e AC sono lunghi rispettivamente 24 cm e 20 cm; il coseno dell’angolo tra essi compreso è 2/5. Determina il perimetro, l’area e la mediana BM.