Fisica 2 1° lezione, parte a

Programma della lezione Campi scalari e vettoriali Operatori differenziali sui campi Vettore area Operazioni integrali sui campi Teoremi integrali

Campi Matematicamente sono funzioni reali (o complesse) che rappresentano grandezze fisiche Sono definiti nello spazio tridimensionale e nel tempo (o in opportuni sottoinsiemi) Se non dipendono dal tempo sono detti statici Se hanno ovunque (nell’insieme spaziale di definizione) lo stesso valore sono detti uniformi

Campi Se basta una sola funzione a definirli completamente, il campo e` detto scalare (campo della temperatura) Se occorre una funzione per ogni dimensione spaziale, il campo e` detto vettoriale (campo della velocita` di un fluido)

Operazioni differenziali sui campi Sono operazioni di derivazione delle componenti del campo. Agiscono su campi e definiscono nuovi campi. Gradiente Divergenza Rotazione (o rotore) Laplaciano Siccome le componenti sono funzioni di piu` variabili, avremo derivate parziali

Gradiente di un campo In coordinate cartesiane: Formalmente, l’operatore gradiente si scrive: Il gradiente di un campo scalare e` un campo vettoriale Puo` anche agire su una qualunque componente di un campo vettoriale:

Gradiente di un campo In coordinate cilindriche (r,f,z): In coordinate sferiche (r,q,f):

Divergenza di un campo vettoriale In coordinate cartesiane: Formalmente si puo` considerare come il prodotto scalare tra l’operatore gradiente e il campo vettoriale: E` un campo scalare

Divergenza di un campo vettoriale In coordinate cilindriche: In coordinate sferiche:

Rotazione di un campo vettoriale In coordinate cartesiane: Formalmente si puo` considerare come il prodotto vettoriale tra l’operatore gradiente e il campo vettoriale: Dalla presenza di versori, si evince che e` un campo vettoriale

Rotazione di un campo vettoriale In coordinate cilindriche: In coordinate sferiche:

Laplaciano di un campo In coordinate cartesiane: Il laplaciano di un campo scalare e` un campo scalare E` la divergenza del gradiente: Formalmente: Puo` agire anche su una qualunque componente di un campo vettoriale:

Vettore area a b Due vettori nello spazio a e b, linearmente indipendenti, definiscono un piano L’area del parallelogramma che si puo` costruire coi due vettori e`: Alla coppia a, b si puo` associare un vettore perpendicolare al piano e di modulo pari ad A, cioe` il loro prodotto esterno: Quindi: dati due vettori indipendenti l’area del parallelogramma associato e` dato dal loro prodotto vettoriale. A a b

Area dei parallelogrammi proiezione x y a b Proiettiamo i due vettori a e b sui tre piani coordinati di una terna cartesiana Per ciascun piano xixj otteniamo una coppia di vettori aij ,bij proiezioni della coppia a,b (ovvero un parallelogramma proiezione del parallelogramma associato alla coppia) Determiniamo la coppia proiettata, ad esempio, sul piano xy: Determiniamo l’area del parallelogramma associato: Che altro non e` se non la componente z del vettore area A. Quindi la proiezione di un elemento di area su un piano coordinato e` la componente nella direzione normale al piano del vettore area associato all’elemento.

Operazioni integrali sui campi Circuitazione: integrale lungo una linea (1-dim) Flusso: integrale su una superficie (2-dim) Integrale nello spazio (di volume): 3-dim C S V

Teoremi integrali Esistono due teoremi che coinvolgono integrali multipli degli operatori differenziali: Teorema della divergenza Teorema di Stokes

Teorema della divergenza Lega il flusso di un campo vettorale all’integrale di volume della divergenza del campo stesso (Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa) = (Integrale della divergenza del campo nello spazio interno alla superficie) V S

Teorema di Stokes Lega la circuitazione di un campo vettoriale al flusso della rotazione del campo stesso (Circuitazione di un campo vettoriale lungo una linea chiusa) = (Flusso della rotazione del campo attraverso una qualunque superficie che poggia su tale linea) S C