Magnetostatica 2 15 ottobre 2012 Legge di Biot-Savart Prima formula di Laplace Campo B di una carica in moto Forza magnetica tra due cariche in moto Forza tra due correnti, definizione di ampere Circuitazione di B Legge di Ampère

Legge di Biot-Savart Il campo B generato da un filo rettilineo molto lungo Ha solo componente azimutale k è anche espressa mediante la permeabilità magnetica del vuoto

Forza tra due correnti Scoperta da Ampère subito dopo l’esperienza di Oersted Limitiamoci al caso di fili paralleli Filo 1 indefinito, genera un campo Filo 2 risente di una forza (attrattiva o repulsiva a seconda del verso relativo delle correnti) Il modulo questa forza vale Formula che sta alla base della definizione di ampere: e` la corrente costante che produce una forza di 2 × 10–7 newton per metro di lunghezza tra due fili rettilinei paralleli a distanza di un metro 2 1

Prima formula di Laplace Dalla legge di Biot-Savart, Laplace propose una formula valida per un circuito di forma arbitraria Esercizi sulla formula di Laplace. Calcolo di B Attorno ad un filo indefinito Sull’asse di una spira circolare Sull’asse di un solenoide

Campo B generato da una carica in moto Partiamo dalla 1° f. di Laplace, applicata ad un elemento infinitesimo di un circuito qualunque Riscriviamo il prodotto tra corrente ed elemento di lunghezza Dividiamo l’elemento di campo induzione magnetica per il numero di elettroni, troviamo cosi’ il vettore b generato da un singolo elettrone:

Campo B generato da una carica in moto Carica puntiforme q in moto con velocità v Il modulo di B è proporzionale alla carica q, alla velocità v, al seno dell’angolo tra v e r È inversamente proporzionale al quadrato della distanza r La direzione di B è perpendicolare sia a v che a r Il verso è dato dalla regola della mano destra v r B

Forza magnetica tra due cariche in moto Si trova usando l’espressione precedente per B e la forza di Lorentz Analogamente per la forza sulla carica 2 dovuta alla carica 1 v1 v2 B1 B2 F1(2) F2(1) r12

Circuitazione del campo B Esaminiamola nel caso particolare del campo generato da un filo indefinito Usiamo coordinate cilindriche Se C è una circonferenza e il filo è perpendicolare al piano del cerchio e passa per il suo centro Consideriamo positiva la corrente se ha lo stesso verso del versore normale al cerchio che appoggia su C In tal caso B ha lo stesso verso di dl e la circuitazione e` positiva C n i

Circuitazione del campo B Se si cambia il verso della corrente il 2° membro cambia segno Anche il primo membro cambia segno perché B assume verso opposto Quindi la formula trovata e` valida qualunque sia il verso della corrente, Se si percorre il circuito in verso opposto a quello associato al versore normale, la circuitazione cambia segno n i

Circuitazione del campo B Sia l’integrando che l’integrale non dipendono da r Se ora C è una curva arbitraria (concatenata al filo) E di nuovo otteniamo C

Circuitazione del campo B Se la curva C fa n giri attorno al filo la circuitazione è Se la curva è concatenata a più fili la circuitazione totale è la somma delle circuitazioni dei campi B relativi a ciascun filo C

Circuitazione del campo B Sia ora C una curva arbitraria non concatenata al filo, percorsa in senso orario Scegliamo due punti P e Q sulla curva, suddividendola in due curve C1 e C2 Tracciamo una curva D da P a Q di modo che (percorsa in senso orario) e (percorsa in senso antiorario) siano concatenate con il filo Le due circuitazioni nel membro di destra sono uguali in modulo e di segno opposto, quindi la circuitazione lungo C è nulla P D C1 C2 Q

Legge di Ampère Questi risultati possono essere estesi a campi magnetici arbitrari e vari conduttori Proprietà generale del campo induzione magnetica: legge di Ampère Per curve avvolte n volte l’integrale è n volte maggiore Per curve non concatenate la circuitazione è nulla È la 4° equazione dell’em, è stata in seguito completata da Maxwell

Forma differenziale della legge di Ampère Applichiamo il teorema di Stokes alla circuitazione del campo B e riscriviamo la corrente come il flusso della densita` di corrente: Data l’arbitrarieta` della superficie S, ne segue che