Stefano Ardesi, Anis Arfaoui, Eduardo Gallina Integrali impropri Stefano Ardesi, Anis Arfaoui, Eduardo Gallina

Problemi con gli integrali di Riemann Gli integrali di Riemann sono spesso definiti e di conseguenza, una funzione f(x) continua in un intervallo [a,b] corrisponde ad un valore esistente e finito. Ma se un intervallo non fosse finito e tendesse a infinito invece di avere un estremo?L'integrale in questo caso non sarebbe definito, ma non ci sono problemi riguardo il metodo di risoluzione che dovrà essere adottato, in quanto il problema esiste nella definizione vera e propria di integrale di Riemann. Queste difficoltà hanno portato i matematici a sviluppare l'integrale di Lebesgue, che però non sarà necessario in questo caso in quanto potremo aggirare il problema utilizzando i limiti.

Integrale improprio del primo tipo La funzione f(x) è integrabile nell'intervallo [a,∞], quindi se per ogni t>a la funzione f(x) è integrabile in [a,t] e se il limite esiste, allora possiamo dire che l'integrale improprio → è definito e il suo valore è →

Esempio 1 Sia p>1 un numero reale, quindi per ogni t>1 l'integrale → esiste ed è uguale a → poiché p è più grande di 1, il limite → continua →

esiste ed è uguale a 0. Perciò → esiste ed è uguale a → L'integrale improprio quindi esiste, ed è uguale a → d'altra parte, quando p è uguale a 1 otteniamo →

Esempio 2 per t>0 l'integrale da come risultato sin(t). Quando tutti i valori della funzione sono limitati nell'intervallo chiuso il è indefinito. Quindi non è definito.

Integrale improprio del secondo tipo Vi è un ulteriore problema con l'integrale di Riemann. Si ha un intervalo chiuso [a;b], la funzione y=f(x) compresa nell'intervallo [t;b] con a<t<b e attraverso la definizione di Riemann si afferma che non è definito. Molte volte invece capita che l'integrale è definito e il limite per t che tende ad a+ si calcola come:

Lo stesso ragionamento lo si può effettuare con t che tende a b- cioè: l'integrale esiste ed è di valore

Esempio 3 si ha un che è un numero reale positivo ed è compreso tra 0 e 1 ( 0<p<1). Dato che la funzione 1/x^p è compresa nell'intervallo chiuso [0;1], l'integrale di Riemann non è definito. Mentre per ogni t compreso tra 0 e 1 (0<t<1), l'integrale di Riemann è ed è definito e si può vedere come Quando p è compreso tra 0 e 1 il limite risulta come e applicato all'integrale si ottiene in formula A questo punto l'integrale esiste e si ha la formula finale

Teorema del confronto Se in e se converge → converge Il teorema stesso vale anche nel caso in cui g(x) diverga.