Realizzazione dei Filtri di Butterworth -20 log |T|dB |T(w)|dB = 0 dB -3 dB 1 n = 1 T(w)= Bn(s) -20×n db/decade s = jw/w0 2 4 6 Bn(s) polinomio di Butterworth di ordine n log w0 log w

|T(w0)|dB = -3 dB

Filtro Passa-basso di Butterworth del I ordine + A V+ Vo R Vin + C 1 jwC G = R2 R1 1 + 1 1 + jwRC Vo = V+ G V+ = Vin = 1 jwC + R

R2 R1 1 + 1 1 + jwRC T(jw) = R2 R1 1 + 1 w0 = 1/RC = w w0 1 + j R2 R1 1 + 1 w w0 s = j = 1 + s

Filtro Passa-basso di Butterworth del II ordine Va V+ + Vo + Vin R R C C 1 jwC Va = V+ (1 + jwRC) 1 1 + jwRC V+ = Va = Va = Vo/G (1 + jwRC) 1 jwC + R G = R2 R1 1 +

= jwC (Vo/G + jwRC Vo/G - Vo) Va - Vo ia = R1 1 jwC A ic Va V+ + Vo ib + Vin R ia R = jwC(Va - Vo) C C = jwC (Vo/G + jwRC Vo/G - Vo) V+ ib = = jwCV+ = jwC Vo/G 1 jwC Vin - Va ic = ia + ib = - w2C2R Vo/G + jwC (2Vo/G - Vo) = R

= Vin/R - Vo/GR (1 + jwRC) = R Vin - Va = Vin/R - Vo/GR (1 + jwRC) = R = - w2C2R Vo/G + jwC (2Vo/G - Vo) Vo G T(jw) = = Vin - w2C2R2 + jwCR (3 - G) + 1 w w0 G w0 = 1/RC s = j = s2 + s (3 - G) + 1  3 - G = 1,414 B2(s) = s2 + 1,414 s + 1 G = 1,586 Polinomio di Butterworth del II ordine

Filtro Passa-basso di Butterworth di ordine qualsiasi Si realizzano utilizzando in cascata più filtri del I e II ordine Ordine n pari A B C n = 2 n = 2 n = 2 Esempio: filtro del 4° ordine B4(s) = (s2 + 0,77 s + 1)(s2 + 1,85 s + 1) w0 = 1/RC per tutti i filtri 3 - G = 0,77 3 - G = 1,85 G = 2,23 G = 1,15

Esempio: filtro del 5° ordine Ordine n dispari A B A n = 1 n = 2 n = 2 Esempio: filtro del 5° ordine B5(s) = (s + 1)(s2 + 0,618 s + 1)(s2 + 1,618 s + 1) w0 = 1/RC 3 - G = 0,77 3 - G = 1,85 per tutti i filtri G = 2,382 G = 1,382

Filtri Passa-alto di Butterworth Si ottengono dalle configurazioni Passa-basso viste sostituendo C con R e viceversa Passa-alto del I ordine R2 R1 + A Vo Vin C + R

Passa-alto del II ordine Va + Vo + Vin C C R R

Filtri Passa-banda Passa-basso Passa-alto Passa-basso Passa-alto 1 Passa-basso fH f 1 Passa-alto fL f Sono trasmesse solo le frequenze lasciate passare da entrambi i filtri 1 Passa-banda fL fH f

Sono trasmesse le frequenze lasciate passare da ogni filtro Filtri Arresta-banda 1 Passa-basso + fL f 1 Passa-alto fH f 1 Sono trasmesse le frequenze lasciate passare da ogni filtro fL fH f