Teoria generalizzata degli strumenti di misura Parte terza Scopi del corso Introduzione ai concetti fondamentali

ANALISI DEI SISTEMI DI MISURA Elementi a due porte o quadripolari Valutazione degli errori per effetto di carico Effetto di carico nel collegamento in cascata di più quadripoli Riduzione di schemi a blocchi Grandezze di disturbo e riduzione dei loro effetti

ELEMENTI A DUE PORTE O QUADRIPOLARI

T1 T4 T5 T3 T2

Il quadripolo si può considerare costituito da un insieme di bipoli passivi collegati da una rete di interconnessioni, comunque complessa, e accessibile all'esterno mediante due terminali di ingresso e due di uscita

Elementi quadripolari S u La rappresentazione più usata è quella in cui gli elementi sono caratterizzati dalla loro impedenza o dalla loro ammettenza, secondo tale formalismo la relazione tra le grandezze in ingresso e un uscita si può esprimere come segue: La rappresentazione più usata è quella in cui gli elementi sono caratterizzati dalla loro impedenza

Esprimendo le variabili di sforzo in funzione di quelle di portata si ha: S = Z P + i 11 12 u 21 22    ovvero in forma sintetica: Nei primi due casi visti sopra le matrici si chiamano rispettivamente matrice delle impedenze e matrice delle ammettenze ed i loro termini sono rispettivamente impedenze e ammettenze generalizzate, nel terzo invece si hanno ammettenze e impedenze presenti contemporaneamente.     S  Z P

    P = Y S +    P  Y S S = C + P    Esplicitando le variabili di portata: P = Y S + i 11 12 u 21 22        P  Y S Oppure quelle di uscita rispetto a quelle d’ingresso: Nei primi due casi visti sopra le matrici si chiamano rispettivamente matrice delle impedenze e matrice delle ammettenze ed i loro termini sono rispettivamente impedenze e ammettenze generalizzate, nel terzo invece si hanno ammettenze e impedenze presenti contemporaneamente. S = C + P u 11 i 12 21 22   

Il significato dei termini della matrice delle impedenze: ; 11 i Pu = 12 u Pi 21 22       

Nei sistemi lineari senza alcun generatore interno, vale il principio di reciprocità: = i u Pi Pu       e quindi: Z 12 21  La matrice delle impedenze è dunque definita da tre parametri idipendenti.

Quadripolo a T Z1 Z2 Z3 Z + 11 1 3 12 22 2     

Quadripolo a  Z + 11 1 2 3 12 22       ( ) Z3 Z1 Z2

Quadripolo meccanico: K K 1 2 K C C 1 2 C V F V F 1 2 2 1 M M 1 2

Z Z1 Z2 K K K C C C V F V F M M Quadripolo meccanico: 1 2 1 2 1 2 2 1

Schema ad impedenze Z F F Z 2 1 1 Z V V 2 2 1

K1 C2 C1 M1 C K K2 M2 F1 ,V1 F2 ,V2

Z i M C K 1 2     usando le relazioni per lo schema a si ottiene la matrice delle impedenze:

V Z F              Z   ( ) Z   ( ) Z   1 2 11 12 21 22              Z 11 1 2   ( ) Z 22 2 1   ( ) Z 12 21 2 1  

F Z V              per e ( ) , Operando con impedenze di tipo meccanico si ricava la matrice delle impedenze meccaniche, che coincide con le ammettenze generalizzate: F Z V 1 2 11 12 21 22              per e ( ) ,

K1 C1 M1 C K F1 ,V1 F2 V2 = 0

C2 C K K2 M2 F1 F2 ,V2 V1 =0

Schema per il calcolo di Z11 K1 C1 M1 C K F1 ,V1 F2 V2 = 0 Z11= -i[(K+K1)/]+C1+C+ iM1

L'impedenza Z21 si ottiene invece come forza agente all'estremo "2" nella stessa condizione: Z21=-iK/+C+iM1 K1 C1 M1 C K F1 ,V1 F2 V2 = 0 2 L'impedenza Z11 è quella vista dai capi di ingresso e pertanto è pari al parallelo di tutte le impedenze che compaiono. Ricordando che le impedenze meccaniche in parallelo si sommano e che le impedenze di massa, molla e smorzatore sono rispettivamente iM, -iK/, C L'impedenza Z21 si ottiene invece come forza agente all'estremo "2" nella stessa condizione e quindi come forza totale trasmessa dai due elementi K e C. Quando la velocità è unitaria la forza coincide con l'impedenza.

Z22= -i[(K+K2)/]+C2+C+iM2. L'impedenza Z22 si ottiene bloccando l'estremo 1, (V1=0) pertanto lo schema equivalente è : C2 C K K2 M2 F1 F2 ,V2 V1 =0 l'impedenza risulta dal parallelo delle impedenze meccaniche ed é pari a: Z22= -i[(K+K2)/]+C2+C+iM2.

In conclusione la matrice delle impedenze meccaniche è:            C  C     C                C       C          Dalle relazioni che definiscono le matrici delle impedenze meccaniche e generalizzate è immediato dedurre che per passare da una all’altra è necessaria un’operazione di inversione matriciale. La matrice delle impedenze meccaniche è l’inversa della matrice delle impedenze generalizzate.

Valutazione degli errori per effetto di carico

QUADRO RIASSUNTIVO PER IL CASO STATICO Per misure di grandezze statiche si fa riferimento all’energia e alla cedevolezza e rigidezza generalizzate = - 1 + C u g es K ep

m F k 1 2 A B A K g m F m B A F k 1 2 x Sulla massa m del sistema indicato in figura agisce una forza F, si vuole valutare l'errore di inserzione che nella misura della forza agente sulla parete A in condizioni statiche.

la rigidezza equivalente K vista dai morsetti di inserzione risulta dalla serie delle rigidezze K1 e K2  = - 1 + K u g m 2 ( ) C K2 Utilizzando per la soluzione le cedevolezze meccaniche, che permettono di mantenere il formalismo delle impedenze,

Assumendo i seguenti valori numerici : K kN m = 60 / K kN m = 4 00 1 . / K kN m = 6 00 2 . / si ottiene = -0.038 ovvero pari a -3.8% Nell’esempio il calcolo dell’effetto di carico permette la correzione a posteriori di dati di misura. Nell’esempio precedente si è visto un modo di utilizzo dell’analisi mediante impedenze, il calcolo dell’effetto di carico, questo permette la correzione a posteriori di dati di misura. Una funzione altrettanto importante può essere svolta in fase di pianificazione della misura: fissato il limite superiore all’effetto di carico al di sotto quale non si opera alcuna correzione e si scelgono gli strumenti in modo da garantire il rispetto di tale condizione, l’esempio seguente è esplicativo.

Problema inverso: fissato il limite superiore all’effetto di carico si scelgono le impedenze degli strumenti in modo che l’effetto di carico sia trascurabile. Nell’esempio precedente si è visto un modo di utilizzo dell’analisi mediante impedenze, il calcolo dell’effetto di carico, questo permette la correzione a posteriori di dati di misura. Una funzione altrettanto importante può essere svolta in fase di pianificazione della misura: fissato il limite superiore all’effetto di carico al di sotto quale non si opera alcuna correzione e si scelgono gli strumenti in modo da garantire il rispetto di tale condizione, l’esempio seguente è esplicativo.

k k k m B A C F C C dinamometro 1 C 2 k m k 1 B C A dinamometro Lo schema rappresenta un sistema dinamico in cui si vuole inserire il dinamometro di rigidezza Km, si deve determinare il valore di Km che rende l’effetto di carico, in modulo inferiore a 1%. m 1 k 2

Z2 Z1 Z i k    = - 1 + Z    01 . i  Z c K m    F i  Z c K m 1 2    Z2 C 1 C 2 k 1 C Z1 k 2 m 1 Z i k g u m   1 2  k m B A dinamometro = - 1 + Z g u    01 . Che va risolta rispetto a km

  L’effetto di inserzione dipende dalla frequenza. Per il sistema precedente, assunti K1=K2=100 N/m, C1=C2=0.1 kg/s m=0.01 kg si ottiene l’andamento per Kd=K1 e Kd=10K1: 2 0.1 1 10 100 3 4 0.5 1.5  

Effetto di carico nel collegamento in cascata di più quadripoli

Si vuole analizzare l’effetto di carico in una rete qualsiasi

collegamento in cascata P3 P 1 P2 P4 P Zu1 Zi2 4 S S S S 1 2 3 4 La rappresentazione più usata è quella in cui gli elementi sono caratterizzati dalla loro impedenza o dalla loro ammettenza, secondo tale formalismo la relazione tra le grandezze in ingresso e un uscita si può esprimere come segue: Perchè il quadripolo a valle non induca effetto di carico deve essere Pu2 = 0, ovvero Zu1<< Zi2 se il segnale è una variabile di sforzo.

L’accoppiamento di più trasduttori in generale porta alla scrittura di un sistema di equazioni:     S 1 2       Z P u i Il trasduttore elementare può essere rappresentato come quadripolo tramite la matrice delle impedenze L’accoppiamento di più trasduttori in generale porta alla scrittura di un sistema di equazioni:

La relazione ingresso-ucita è una caratteristica del solo quadripolo Perchè sia accettabile l’ipotesi di effetto di carico nullo, nel caso di variabili di sforzo, deve essere: S Z P i u      11 12 n   1

La relazione ingresso-uscita globale per una rete di quadripoli si ottiene in modo relativamente semplice, in questo caso, con l’algebra degli schemi a blocchi

Riduzione di schemi a blocchi

Strumento = complesso di trasduttori elementari Analisi funzionale: Strumento = complesso di trasduttori elementari Analisi del flusso di energia: determinazione della relazione ingresso-uscita per i trasduttori. Si è visto come dallo strumento si ricavano tramite l'analisi funzionale, lo schema equivalente, composto di trasduttori elementari simboleggiati con blocchi variamente connessi a rappresentare il flusso di segnali/energia.

Tramite l’algebra degli schemi a blocchi, si ricava la caratteristica globale dello strumento come risultante del contributo di ciascun componente. Si è visto come dallo strumento si ricavano tramite l'analisi funzionale, lo schema equivalente, composto di trasduttori elementari simboleggiati con blocchi variamente connessi a rappresentare il flusso di segnali/energia.

Gli elementi fondamentali degli schemi a blocchi sono: K Gi Gu=KGi + G1 G2 G1 + G2 Blocco di elaborazione Giunzione sommante Derivazione

K K K K K K K K K K Blocchi in serie Blocchi in parallelo 1 2 1 2 1 + g i u g g K K i u 1 2 Blocchi in serie K g u g 1 + g g i u i K K + 1 2 K 2 Blocchi in parallelo K g g u K g i u i g K u Blocchi spostamento di un punto di prelievo segnale

K K 1/K K K + + Spostamento di una giunzione somma a monte. + + Spostamento di una giunzione somma a valle.

Eliminazione di un anello di retroazione: retroazione positiva retroazione negativa K g i u 2 + K /(1-KK 2 ) g i u K g i u 2 + - K /(1+K K 2 ) g i u

riduzione blocchi in serie Schema originario (1+0.1i )  + 1+5 i  -10 i  10 + 1+5 i  -10 i  10(1+0.1i )  riduzione blocchi in serie

  100 1 10 5 i  ( . ) )( riduzione della retroazione forma finale.  1- ( 10  i ) 1 5  . forma finale.   100 1 10 5 i  ( . ) )(

Grandezze di disturbo e riduzione dei loro effetti

Ingressi di disturbo Il trasduttore elementare può essere sensibile a ingressi non desiderati. L’uscita dipende da altre grandezze oltre che da quella da misurare: SENSORE g i u gd

le grandezze di disturbo vengono suddivise in due categorie interferenti e modificanti: a) grandezze di disturbo interferenti, con carattere additivosull’uscita. g K d i u + Kg  

b) grandezze di disturbo modificanti, con carattere moltiplicativoper la sensibilità. K d u i 1 K(1+K ) g  g K ( 1  K g ) u i d d

Effetti interferenti: -Filtraggio -Compensazione Criteri per la riduzione degli errori dovuti ad ingressi di disturbo, in generale: -buona progettazione, -correzione degli effetti indesiderati a posteriori Effetti interferenti: -Filtraggio -Compensazione Effetti modificanti: -Schermatura -Retroazione ad alto guadagno. -Filtraggio, se le caratteristiche dei segnali di disturbo sono differenti da quelle dei segnali desiderati

Filtraggio in frequenza: Modulo Filtro Passa Basso f t f Modulo Modulo disturbo segnale segnale filtrato f f

Compensazione - g K g + g + K K g d K d g i + g + u K - Compensazione, inconveniente la difficoltà di ottenere esattamente -Kd esempi con gli estensimetri: compensazione sfruttando il ponte, autocompensazione. esempio presa di pressione statica del tubo di pitot, K d g d

Compensazione, ponte di Wheatstone Estensimetro attivo F F R T V Estensimetro di comprensazione R T V E R e t    ( ) 

V2 = K( Pr-Ps) P Pressione alla testa Posizione dell a presa di Sovrapressione dovuta allo stelo Pressione dovuta alla testa P x Pressione di ristagno statica Posizione dell a presa di pressione statica risultante V V2 = K( Pr-Ps)

Retroazione ad alto guadagno: K 1 g i 2 d1 d2 u = K1(1+ Kd1gd1) K2(1+ Kd2gd2)

Retroazione ad alto guadagno: K r - g + g i K K K u 1 2 3 K K K d2 d3 d1 g g g d d d g K K K K K K 1 u  1 2 3  1 2 3  g 1  K K K K K K K K K i 1 2 3 r 1 2 3 r r

ANALISI DEI SISTEMI DI MISURA Elementi a due porte o quadripolari Valutazione degli errori per effetto di carico Effetto di carico nel collegamento in cascata di più quadripoli Riduzione di schemi a blocchi Grandezze di disturbo e riduzione dei loro effetti

Esempio: effetti modificanti e interferenti della temperatura su un dinamometro ad estensimetri elettrici T - T  T  + + R/R +   T sensibilità nominale Sa + + forza applicata, F Sa+t

      6 10  N C S N   2 10      2 10  C Se la variazione di temperatura è di 2°C e: S N a    2 10 7  Sensibilità del dinamometro sensibilità alla temperatura coefficiente modificante      2 10 5  C      6 10  N C La variazione di resistenza:    R S T F a    

  R T    2 10 4 S N    2 10 6 012 ,  F R S N    200 2012 Nel caso di una forza di 2000N si ottiene:   R T i     2 10 4 5 S N m     2 10 6 012 7 ,  Se non si tiene conto dell’effetto della temperatura la misura di forza sarà : F R S N m t a i    200 2012 2212