Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura

Modello matematico di un sistema di misura SITEMA DI MISURA IN OUT qi(t) qo(t) qi(t) e qo(t) sono rispettivamente segnale di ingresso e di uscita per lo strumento (sistema di misura) in esame: si tratta di grandezze tempovarianti (ovvero funzioni del tempo). Se il sistema considerato è lineare e stazionario allora esso è descrivibile da un sistema di equazioni differenziali lineari ordinarie a coefficienti costanti non omogenee; la soluzione di tale sistema è ottenibile come soluzione di un’unica equazione differenziale ordinaria a coefficienti costanti in una sola funzione incognita di ordine n (=somma di tutti gli ordini delle equazioni componenti il sistema). Caratteristiche dinamiche

Tale equazione differenziale lineare ordinaria a coefficienti costanti non omogenea di ordine n è un modello matematico del sistema di misura e descrive la relazione esistente tra ingressi e uscite (qi e qo). Nota la funzione qi(t), è possibile, risolvendo l’equazione, ricavare la funzione del tempo che descrive il segnale in uscita qo(t). Devono essere noti i parametri caratteristici del sistema, ovvero i coefficienti ai. La soluzione è del tipo - qog  integrale generale: descrive l’evoluzione libera del sistema - qop  integrale particolare: descrive l’evoluzione del sistema dovuta alla presenza di un dato ingresso (evoluzione forzata) Caratteristiche dinamiche

Integrale generale: Si ottiene dalla soluzione dell’equazione algebrica omogenea associata… Si possono presentare 4 differenti casi, in base alla tipologia delle radici i dell’equazione. 1 - Radici reali distinte Per ogni radice i che assume valore i si considera un termine 2 - Radici reali con molteplicità r Per ogni radice reale i che assume valore i con molteplicità r si considera una serie di termini del tipo: Caratteristiche dinamiche

3 - Radici complesse coniugate Per ogni radice i che assume valore i ± ji si considera un termine del tipo: che equivale a: 4 - Radici complesse coniugate con molteplicità r Per ogni radice i che assume valore i ± ji con molteplicità r si considera un termine del tipo: Caratteristiche dinamiche

Integrale particolare: Si può ottenere mediante il metodo dei coefficienti indeterminati. Si ipotizza una funzione in cui compaiono un numero adeguato di coefficienti incogniti. Sostituendo tale funzione in qo nell’equazione differenziale di partenza si ricavano i valori da attribuire a tali coefficienti. In particolare, se al secondo membro dell’equazione differenziale di partenza, vi è una funzione F(t), - se F(t) è una funzione polinomiale di grado n di t, qp(t) è un polinomio di grado n+r, dove r è la molteplicità della soluzione =0 nell’omogenea associata. - se F(t) è una funzione armonica del tipo : qp(t) è del tipo se ±ik non è soluz. dell’omogenea associata qp(t) è del tipo se ±ik è soluz. di molteplicità r dell’omogenea associata Caratteristiche dinamiche

Nota: il metodo dei coefficienti indeterminati si può impiegare per la soluzione dell’integrale particolare se sono rispettate due condizioni: - F(t) è una funzione tale che, dopo un certo ordine di derivazione, tutte le derivate successive sono nulle; (es. polinomi) - F(t) è una funzione tale che, dopo un certo ordine di derivazione, le derivate successive producono sempre le stesse forme funzionali; (es. seno e coseno)    I coefficienti Ci che compaiono nell’espressione di qo(t) ricavata come somma di integrale generale ed integrale particolare (che provengono dall’individuazione dell’integrale generale) vengono determinati imponendo le condizioni iniziali. Caratteristiche dinamiche

Funzione di trasferimento L’equazione differenziale di partenza (descrittiva delle proprietà dinamiche del sistema di misura) può essere trasformata in un’equazione algebrica, se ogni termine di derivazione viene sostituito con l’operatore D. Caratteristiche dinamiche

Dalla definizione di H(D) consegue H() è la funzione di trasferimento del sistema di misura e dipende dall’operatore D!!! Può essere ottenuta analogamente applicando la trasformata di Laplace all’equazione differenziale di partenza: in tal caso l’operatore D è sostituito dalla variabile s. I due modi di operare sono del tutto equivalenti. Dalla definizione di H(D) consegue Se un sistema di misura è costituito da un insieme di elementi interconnessi a formare uno schema a blocchi; la funzione di trasferimento complessiva può essere ottenuta come prodotto delle singole funzioni di trasferimento (se l’effetto di carico dei blocchi successivi sui precedenti può essere trascurato). H1(D) H2(D) H3(D) qi(D) qo(D) H(D)= H1(D) ·H2(D) ·H3(D) qi(D) qo(D) Caratteristiche dinamiche

Funzione di trasferimento armonica: risposta in frequenza In molte applicazioni è importante conoscere la risposta a regime di un sistema (di misura) ad un ingresso di tipo sinusoidale. Se il sistema è lineare e stazionario, a regime, l’uscita qo(t) del sistema è ancora un segnale sinusoidale avente la stessa frequenza  del segnale in ingresso qi(t). In generale l’ampiezza dell’output differisce da quella dell’input; inoltre i due segnali hanno fasi differenti. Il rapporto in termini di ampiezze fra i segnali (amplificazione dinamica) e lo sfasamento variano al variare della frequenza  del segnale di ingresso. La risposta in frequenza di un sistema (di misura) consiste nell’indicazione di come l’amplificazione e lo sfasamento variano al variare di . Caratteristiche dinamiche

Esempio qualitativo  Frequenza:  K: amplificazione in ampiezza : sfasamento Caratteristiche dinamiche

La risposta in frequenza può essere ottenuta, ad ogni frequenza considerata , attraverso l’applicazione del metodo dei coefficienti indeterminati per il calcolo dell’integrale particolare dell’equazione differenziale caratteristica del sistema. Tuttavia si può più rapidamente procedere attraverso la determinazione della funzione di trasferimento armonica (o sinusoidale), che coincide con la risposta in frequenza. Si ottiene dalla funzione di trasferimento sostituendo a D il termine complesso iw. i è l’unità immaginaria w è la frequenza espressa in rad/s Caratteristiche dinamiche

Avendo considerato le seguenti espressioni per i segnali: La funzione di trasferimento armonica in corrispondenza di ogni frequenza è data da un numero complesso il cui modulo coincide con il rapporto di amplificazione in ampiezza e la cui fase coincide con lo sfasamento con cui il segnale qo è in anticipo sul segnale qi. Avendo considerato le seguenti espressioni per i segnali: Quanto sopra è facilmente dimostrabile mediante l’uso dei fasori, ovvero di una tecnica rappresentativa dei segnali armonici basata sull’impiego dei numeri complessi. Caratteristiche dinamiche

Fasori: Si tratta di vettori rotanti nel piano complesso. Data una funzione sinusoidale del tipo: questa è rappresentata dal fasore: Nel piano complesso i fasori sono vettori aventi modulo pari all’ampiezza della sinusoide di riferimento A, punto di applicazione nell’origine degli assi, e rotanti con velocità angolare  a partire da un angolo iniziale formato con l’asse dei reali Re pari a . Re Im A wt j Caratteristiche dinamiche

Dimostrazione: Si considerino i seguenti segnali rispettivamente di ingresso ed uscita per lo strumento (o sistema) di misura considerato: essi sono rappresentabili da due fasori: Si può procedere alla sostituzione di qi(t) e qo(t) nell’equazione caratteristica del sistema di misura rispettivamente con Qi e Qo. L’operazione di derivazione rispetto al tempo comporta una moltiplicazione del fasore per (i). Caratteristiche dinamiche

Raccogliendo... da cui si ottiene: espressione che coincide con la definizione data di funzione di trasferimento armonica. Tale espressione coincide con il rapporto qo/qi(i), che si può calcolare dall’equazione differenziale caratteristica. Si tratta di un numero complesso H(i) tale che: C.v.d. Caratteristiche dinamiche

Prontezza Scopo di uno strumento di misura è consentire di effettuare una misurazione; nel caso di segnali tempovarianti, ciò equivale a dire che lo strumento deve fornire in uscita una ricostruzione fedele del segnale misurato. Infatti se il segnale in uscita è distorto è possibile che non si riesca a risalire al misurando e quindi non si possa assegnare una misura. La caratteristica degli strumenti che sono in grado di fornire un’indicazione fedele relativa a segnali tempovarianti oggetto della misurazione è detta prontezza (banda passante). Di seguito verranno mostrati alcuni casi particolari di strumenti e di segnali possibili di input e si discuterà relativamente a quali valori devono assumere i parametri descrittivi del comportamento dinamico degli strumenti affinché essi siano pronti. Caratteristiche dinamiche

Strumento di ordine zero Per strumento di ordine zero si intende uno strumento che dal punto di vista dinamico possa essere descritto dalla seguente equazione (algebrica!). Dove K è un parametro caratteristico del sistema, detto sensibilità statica (si determina dalla prova di taratura statica!). Lo strumento di ordine zero è teoricamente perfetto, in quanto il segnale di uscita, a meno di una costante moltiplicativa riproduce fedelmente il segnale in ingresso. (es. potenziometro resistivo) Caratteristiche dinamiche

Strumento del primo ordine Per strumento del primo ordine si intende uno strumento che dal punto di vista dinamico possa essere descritto dalla seguente equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del primo ordine. Dividendo entrambi i membri per a0... Dove: sensibilità statica costante di tempo Caratteristiche dinamiche

Per quanto visto la funzione di trasferimento del sistema è data da: La costante di tempo ha la dimensione di un tempo, mentre la sensibilità statica ha la dimensione data dal rapporto delle dimensioni di output e input. Per quanto visto la funzione di trasferimento del sistema è data da: (es. termometro ad espansione di liquido) Caratteristiche dinamiche

Strumento del primo ordine: risposta al gradino Il gradino è una particolare funzione del tempo, data dalla seguente espressione in termini di segnale d’ingresso in un sistema di misura qi(t): t qi qis t0 Consideriamo gradini per cui t0= 0. Per calcolare la risposta di un sistema del primo ordine si deve risolvere la seguente equazione differenziale (qi= qis). Caratteristiche dinamiche

A tale equazione differenziale è associata la condizione iniziale qo(0) = 0, dovuta al particolare ingresso. L’integrale generale è dato dall’espressione: L’integrale particolare è dato da: Quindi: C va determinata imponendo la condizione iniziale in t = 0: quindi dunque la risposta risulta: e può essere scritta in maniera adimensionalizzata come: Risposta al gradino di uno strumento del 1° ordine Caratteristiche dinamiche

Si può definire l’errore di misura (scostamento tra la quantità in uscita e quella effettiva all’ingresso nell’istante t): Caratteristiche dinamiche

Si definisce settling time il tempo necessario al sistema di misura affinché il segnale qo raggiunga, entro una certa banda di tolleranza il valore di regime (qis). Assunta una tolleranza del 5% tale valore di tempo è pari a 3 volte la costante di tempo . Per quanto visto è chiaro che quanto più la costante di tempo  è piccola, tanto più la risposta dello strumento sarà rapida, ovvero l’errore di misura tenderà a zero tanto più rapidamente. Affinché lo strumento sia pronto dunque  deve essere piccolo. (es. termometro ad espansione di liquido) Caratteristiche dinamiche

Strumento del primo ordine: risposta in frequenza L’espressione della funzione di trasferimento per lo strumento del primo ordine può essere impiegata per ricavare l’espressione della risposta in frequenza dello stesso. Si tratta di un numero complesso funzione della frequenza , dipendente dai parametri del sistema di misura: K e . Modulo e fase sono dati dalle seguenti espressioni. Caratteristiche dinamiche

La risposta in frequenza può essere diagrammata in forma adimensionalizzata (per quanto concerne il modulo). Caratteristiche dinamiche

La fase ha il seguente andamento... Caratteristiche dinamiche

Considerando le espressioni dei segnali rispettivamente di ingresso ed uscita qi(t) e qo(t), come si ha: Affinché lo strumento sia pronto, il suo comportamento deve essere il più possibile prossimo a quello di uno strumento di ordine zero e dunque si dovrebbe avere: Caratteristiche dinamiche

Si osserva che tali condizioni si verificano per Infatti in tale condizione per qualunque valore di frequenza  le condizioni considerate tenderebbero ad essere verificate! È dunque verificato, anche per la risposta in frequenza, quanto osservato nel caso della risposta al gradino (si può verificare anche per la risposta alla rampa): strumenti del primo ordine sono pronti per  piccoli. Quanto detto non ha valore se si considera un input costituito da una sinusoide semplice, in quanto in tal caso è sufficiente ricavare mediante calcolo lo sfasamento e l’amplificazione per correggere il segnale in uscita ottenendo una misura adeguata. Il problema nasce se il segnale contiene più armoniche. Si veda il seguente esempio… Caratteristiche dinamiche

Si consideri il caso Il segnale è formato da due armoniche, una a 20 rad/s ed una a 200 rad/s. Supponendo il sistema lineare e stazionario, si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti: la risposta al segnale completo è la somma delle risposte alle singole armoniche. Si consideri un sistema di misura avente K = 1 e si valuti il segnale in uscita per due differenti valori di :  = 0.02 e  = 0.002. Eseguendo dei calcoli relativi alla risposta in frequenza nei due casi si ottiene quanto esposto nella tabella sotto riportata. Caratteristiche dinamiche

Si osserva che il segnale ottenuto in uscita nel caso di  = 0 Si osserva che il segnale ottenuto in uscita nel caso di  = 0.02 non è riconducibile al segnale di ingresso; il segnale ottenuto nel caso nel caso  = 0.002 è molto prossimo al segnale di ingresso misurato. Riducendo ulteriormente il  il segnale in uscita tende ad approssimare ancor meglio quello misurato. Caratteristiche dinamiche

Strumento del primo ordine: risposta all’impulso Si definisce funzione impulso di durata finita di ampiezza A la seguente funzione del tempo: t p A/T T Si definisce funzione impulso di ampiezza A: Nel caso di A = 1, con il passaggio al limite, si ricava l’impulso unitario (t). Caratteristiche dinamiche

La funzione impulso unitario ha durata infinitesima e ampiezza infinita. Per ricavare la risposta dello strumento ad una funzione impulso di ampiezza A del tipo A (t), si procede ricavando la risposta per una funzione impulso di durata T e poi si attua il passaggio al limite per T0. Tra 0 e T il sistema di misura è sottoposto ad un ingresso a gradino; da T in poi sarà soggetto ad evoluzione libera (la funzione di ingresso va a zero) a partire dalle condizioni raggiunte in T. Dunque la soluzione è ottenuta in due passaggi. 1 - Si deve valutare la risposta al gradino secondo l’equazione differenziale: Caratteristiche dinamiche

si ricava la seguente risposta: tale risposta è da considerarsi tra t = 0 e t = T, istante in cui l’ingresso va a zero. Da t = T in poi il sistema subirà un’evoluzione libera a partire dalla condizione raggiunta in T, che è determinabile attraverso l’espressione di qo ora ricavata, dunque: 2 - L’evoluzione libera del sistema a partire da t = T si determina calcolando l’integrale generale con la condizione iniziale appena determinata. L’integrale generale assume la seguente espressione: dunque: Caratteristiche dinamiche

si ricava: dunque: Che, unitamente all’espressione ricavata per l’intervallo [0,T], costituisce l’espressione della risposta all’impulso finito di ampiezza A. Caratteristiche dinamiche

La risposta all’impulso A(t) si ottiene dal passaggio al limite dell’espressione ricavata per T  0. ma Teorema di L’Hopital Dunque si ricava: Caratteristiche dinamiche

La funzione impulso considerata è tale per cui, in corrispondenza di t = 0, si verifica un trasferimento di energia infinito: infatti, il segnale passa da valore nullo ad un valore infinito per poi ritornare a valore nullo; ciò accade in un intervallo di tempo infinitesimo. È chiaro che tale segnale non può esistere in natura e, dunque, che la risposta trovata è relativa ad un impulso ideale. Tuttavia se T è sensibilmente inferiore a  (di solito si considera almeno un ordine di grandezza) quella trovata è una buona approssimazione della risposta al segnale reale di durata piccola ma finita. La risposta all’impulso non dipende dalla particolare “forma” dell’impulso considerato, ma solo dalla sua ampiezza A (sempre nell’ipotesi che la durata T sia breve). La risposta all’impulso coincide con l’evoluzione libera del sistema a partire da una condizione perturbata per cui qo= KA/ in t= 0+. Caratteristiche dinamiche

Strumento del secondo ordine Per strumento di secondo ordine si intende uno strumento che dal punto di vista dinamico possa essere descritto dalla seguente equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del secondo ordine. Dividendo entrambi i membri per a0... Si definiscono termini: Frequenza naturale (propria) Sensibilità statica Fattore di smorzamento Caratteristiche dinamiche

In base alle definizioni date si ricava: (es. dinamometro a molla) Caratteristiche dinamiche

Strumento del secondo ordine: risposta al gradino Dato un gradino di ampiezza qis, al fine di ricavare la risposta dello strumento del secondo ordine a tale input, si procede alla risoluzione della seguente equazione: con le seguenti condizioni iniziali L’integrale particolare è qop=Kqis. L’integrale generale dipende dal valore assunto da : si hanno tre diverse soluzioni: sistema sovrasmorzato (>1), sistema con smorzamento critico (=1), sistema sottosmorzato (<1). Caratteristiche dinamiche

Risposta ad un gradino unitario; qo tende a 1 all’aumentare di t. Osservazioni: All’aumentare di n la risposta dello strumento risulta essere più rapida. All’aumentare di  si riduce il comportamento oscillante ma viene ritardato l’istante di tempo nel quale la risposta interseca la retta orizzontale indicativa del valore finale che essa raggiungerà. Caratteristiche dinamiche

Per valutare il settling time, scegliendo una tolleranza del 10% si osserva che il valore di ottimo relativamente alla rapidità di risposta dello strumento si ha per  = 0.6. Scegliendo il 5% si ottiene che il valore ottimale è  = 0.7. Tuttavia nella trattazione è stato considerato un gradino ideale (in zero c’è un trasferimento infinito di energia  discontinuità) e dunque la risposta prevista per via teorica non è esattamente quella ottenibile nella realtà. Tenendo conto di questo aspetto si osserva che buoni valori di compresso per  sono 0.60.7. Caratteristiche dinamiche

Strumento del secondo ordine: risposta in frequenza L’espressione della funzione di trasferimento per lo strumento del secondo ordine può essere impiegata per ricavare l’espressione della risposta in frequenza dello stesso. Si tratta di un numero complesso avente i seguenti modulo e fase: Caratteristiche dinamiche

La risposta in frequenza può essere diagrammata in forma adimensionalizzata (per quanto concerne il modulo). Caratteristiche dinamiche

La fase ha il seguente andamento... Caratteristiche dinamiche

Affinché lo strumento del secondo ordine sia pronto è necessario che le frequenze del segnale d’ingresso cadano nella zona /n <<1. In tale zona infatti il fattore di amplificazione è costante e pari ad 1 e la fase tende ad essere nulla. Di conseguenza è necessario che n sia elevata in modo tale che questa zona sia la più dilatata possibile. Anche in queste condizioni tuttavia permangono problemi connessi ai valori assunti dalla fase. In generale è consuetudine scegliere  = 0.60.7, in modo tale che la fase vari quasi linearmente con la frequenza. In queste condizioni non si ha una distorsione del segnale in uscita rispetto a quello in ingresso, ma semplicemente un ritardo temporale, che, generalmente, può essere tollerato. Caratteristiche dinamiche

Esempio: Si consideri un segnale d’ingresso costituito da due armoniche, avente la seguente espressione: Si consideri uno strumento del secondo ordine con sensibilità statica K=1, e frequenza propria n= 65 Hz = 408.407 rad/s. Vengono considerati due casi (a e b) per il fattore di smorzamento : a= 2 e b= 0.65. Attraverso l’espressione della risposta in frequenza si possono ricavare i valori di amplificazione e sfasamento introdotti dal sistema nei due casi (a e b) sulle due armoniche del segnale (1 e 2). Caratteristiche dinamiche

Si osserva che il segnale qo ottenuto come output nel caso a è distorto rispetto al segnale di ingresso. Nel caso b, invece tale segnale sembra essere solo ritardato temporalmente rispetto al segnale in ingresso; ciò è dovuto al fatto che nel caso b è stato scelto b= 0.65, ciò che conduce ad ottenere uno sfasamento proporzionale alla frequenza del segnale in ingresso (proporzionale all’ordine dell’armonica considerata in ingresso). Tale situazione conduce sempre ad un ritardo temporale di qo rispetto a qi e non alla distorsione del segnale... Caratteristiche dinamiche

Si può dimostrare che se lo sfasamento introdotto dal sistema è proporzionale all’ordine dell’armonica del segnale in ingresso, allora l’uscita qo risulta semplicemente ritardata rispetto all’ingresso qi… Si consideri un segnale armonico in ingresso; sviluppato in serie di Fourier esso assume l’espressione seguente. Si avrà un’uscita corrispondente La serie potrebbe essere scritta in termini complessi, in tal caso possiamo calcolare, per il principio di sovrapposizione degli effetti, per ogni armonica Nell’ipotesi che lo sfasamento dia proporzionale all’ordine dell’armonica si ha: Caratteristiche dinamiche

Si può scrivere: Il segnale di uscita può essere scritto come segue: Ovvero, il segnale in uscita è ritardato di un tempo D rispetto all’ingresso, in quanto su ogni armonica si ottiene tale ritardo. Nota: Esistono alcune eccezioni a quanto detto relativamente ai sistemi del secondo ordine… ad esempio gli accelerometri piezoelettrici. Questi elementi presentano ampie bande passanti pur avendo bassissimi valori per . Ciò dipende dal fatto che in compenso n è molto elevata (risposta alla rampa terminata e risposta in frequenza: anche con  = 0 si ricava un errore di misura nullo). Ritardo! Caratteristiche dinamiche

In conclusione, uno strumento del secondo ordine è pronto quando: - la sua frequenza naturale è elevata (n) - lo sfasamento introdotto è nullo (n) o proporzionale all’ordine delle armoniche del segnale ricevuto in ingresso ( = 0.60.7). In tali condizioni il sistema di misura riproduce fedelmente il segnale in ingresso a meno di un fattore di amplificazione prossimo alla sensibilità statica K ed eventualmente con un ritardo temporale. Caratteristiche dinamiche

Elementi di tempo morto È un elemento che introduce un ritardo temporale. A meno di un fattore moltiplicativo pari alla sensibilità statica l’uscita qo riproduce fedelmente l’ingresso qi con un ritardo temporale D. Caratteristiche dinamiche

Strumento generico Uno strumento generico può essere considerato come dato dalla successione di tanti sistemi di misura semplici quali quelli fino ad ora considerati (ordine zero, primo ordine, secondo ordine, tempo morto). La funzione di trasferimento armonica può essere dunque scritta come segue. Tale funzione di trasferimento può essere facilmente tracciata su opportuni diagrammi logaritmici (Diagrammi di Bode). Caratteristiche dinamiche

Strumento generico: risposta ad un ingresso periodico qi(t) Segnale d’ingresso Funzione di trasferimento armonica H(i) Segnale d’uscita qo(t) Qi(i) Qo(i) Trasformata Fourier Antitrasformata Fourier Caratteristiche dinamiche

In corrispondenza di ogni armonica, la singola componente spettrale del segnale in uscita è numero complesso tale che: il proprio modulo è dato dal prodotto fra il modulo della corrispondente linea spettrale nel segnale d’ingresso e il modulo della funzione di trasferimento armonica in corrispondenza della singola frequenza considerata; la propria fase è la somma della fase della corrispondente linea spettrale nel segnale d’ingresso e la fase della funzione di trasferimento armonica in corrispondenza della singola frequenza considerata. Immagina tratta da: Doebelin, Measurement Systems - application and design, Mc-Graw Hill Caratteristiche dinamiche

Bibliografia E.O. Doebelin, Measurement Systems - application and design (p. 94-194) Consultazione: F. Angrilli, Corso di misure meccaniche, termiche e collaudi (p. 179-245) Caratteristiche dinamiche