Introduzione alla relatività ristretta Preparato da Luigi Lombardo Milano 21 gennaio 2013

Galileo e il libro della natura Forse il Sarsi pensa che la filosofia è un libro e un fantasma d’uomo, come l’Iliade e l’Orlando Furioso? Sig. Sarsi, la cosa non istà così. La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico l’universo) ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscere i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto. (Galileo, Il Saggiatore)

I concetti base della “teoria meccanica” Lo Spazio: un contenitore vuoto in cui si trovano e si svolgono gli eventi naturali Il Tempo: scorre uniformemente per qualunque osservatore in qualunque riferimento La Massa: la “quantità di materia” contenuta in un corpo La Forza: un’azione in grado di mutare lo stato di moto, o di opporsi al moto di un oggetto Il Meccanicismo: la Natura consiste solamente di particelle di materia in movimento sotto l’azione delle reciproche forze.

I Principi Generali della teoria meccanica Il Principio d’Inerzia La Legge di Gravitazione Universale Il Principio di Relatività dei moti

Il Principio d’Inerzia (secondo Newton) Un corpo non soggetto a forze è in quiete o in moto rettilineo uniforme Da questo Principio discende la Legge Fondamentale della dinamica: Un corpo sottoposto a una forza subisce un’accelerazione proporzionale alla forza impressa. Cioè, in breve: La massa, cioè la quantità di materia ha in sé una specie di “forza” con cui si oppone al moto (massa inerziale). Possiamo esprimere la stessa relazione in maniera diversa? Certamente: Non c’è modo di misurare la massa in sé. La massa è un concetto derivato

La Legge di Gravitazione Universale (secondo Newton) Ogni corpo ne attira ogni altro con una forza proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza reciproca. Cioè, in breve: Ma questo fenomeno non ha nulla a che fare col precedente! Chi ci autorizza a pensare che la m di questa formula sia “la stessa” della formula F = ma? Infatti non ne siamo autorizzati. Questa m la chiamiamo “massa gravitazionale” e per puro caso risulta uguale alla “massa inerziale”.

Il Principio di Relatività dei moti (secondo Galileo) Dati due Sistemi Inerziali (nei quali cioè vale il Principio d’Inerzia) in moto relativo tra loro, è impossibile (o meglio, “non ha senso”) dire quale si muove e quale sta fermo. I due sistemi sono perfettamente simmetrici ed equivalenti. Da questo principio deriva che: i due sistemi sono indistinguibili le leggi meccaniche sono le stesse nei due riferimenti (simmetria) si può passare da un sistema all’altro con semplici formule, dette la trasformazione classica se esiste un Sistema Inerziale ne devono esistere infiniti

La prima vera difficoltà: la spira e l’ago Disponiamo un circuito a forma di spira con un ago magnetico al centro. L’ago sia disposto nel piano della spira. Colleghiamo ora la spira a una batteria. L’ago si disporrà in direzione “perpendicolare” alla spira. L’ago non segue la teoria meccanica, ma si dispone parallelamente alle linee di forza di un campo. Una carica in moto genera un campo magnetico e un magnete in moto genera un campo elettrico. Insieme formano il campo elettromagnetico

Le equazioni di Maxwell Il comportamento anomalo dell’ago consiste in questo: non rispetta l’azione lungo una congiungente (si dispone in senso perpendicolare) la forza non dipende solo dalla distanza, ma anche dalla velocità della carica Il problema viene completamente risolto dalle equazioni di Maxwell che però non descrivono il comportamento degli oggetti, ma la struttura del campo. Esse descrivono quindi una proprietà dello spazio, non della materia. Le equazioni di Maxwell inoltre hanno carattere locale, valgono solo “nei dintorni” della sorgente del campo, anche se possono essere estese all’intero spazio. In questa ottica anche una massa genera un campo gravitazionale, anch’essa una proprietà dello spazio (meditate, gente, meditate…)

Che “faccia” hanno le equazioni di Maxwell? Hanno una brutta faccia, ma sono fondamentali. Una diffusa T-shirt dice: E Dio disse: …e la luce fu. Per fortuna non le dovete imparare a memoria (per ora)…

La realtà del campo Il campo elettromagnetico ha un’altra proprietà. Esso trasporta energia. Immaginiamo di avere una carica che oscilla. Essa produce un campo elettrico variabile ed è questa variabilità che genera un campo magnetico. Il risultante campo elettromagnetico sarà anch’esso oscillante e quindi produrrà un’onda elettro-magnetica. Questa onda vive indipendentemente dalla carica (se fermiamo la carica il campo elettromagnetico sparisce, ma non l’onda). Essa continua a propagarsi in tutte le direzioni con velocità uguale a quella della luce. Il campo è quindi un’entità reale, come la materia e l’energia. E’ prodotto dalla materia e trasporta energia.

Il problema dell’etere, similitudine con il suono L’onda sonora vista da un osservatore in quiete con la sorgente del suono L’onda sonora vista da un osservatore in moto rispetto alla sorgente del suono Questo fenomeno è noto come Effetto Doppler

Il problema dell’etere, Michelson e Morley La Terra si muove o è in quiete rispetto all’etere? A.A. Michelson e E.W. Morley tentarono un “experimentum crucis” tra il 1881 e il 1887. Nell’esperimento di Michelson e Morley un raggio luminoso emesso dalla sorgente S viene separato in due da uno specchietto semiargentato p. I due raggi vengono quindi riflessi dagli specchi a e b e tornano in p. Una parte dei due raggi viene trasmessa allo schermo. Se il cammino della luce nelle due direzioni è uguale si devono vedere frange d’interferenza. E si videro. Quindi la Terra è in quiete rispetto all’etere.

Il problema dell’etere, l’aberrazione astronomica La Terra si muove o è in quiete rispetto all’etere? * F * F’ A O O’ A’ Quando si vuole puntare una stella F bisogna tener conto che nel tempo che la luce impiega a passare dentro il telescopio, da A a O, la Terra si è mossa da O a O’. La stella quindi invece di essere vista nella direzione O’F è vista nella direzione O’F’. L’angolo F’O’F è l’angolo di aberrazione. Quindi la Terra non è in quiete rispetto all’etere.

Esiste un sistema di riferimento privilegiato? (1) Se la Terra si muove nell’etere la luce dovrebbe comportarsi come le onde sonore. Ma l’esperimento di Michelson e Morley dimostra chiaramente che La velocità della luce è uguale in tutte le direzioni e non dipende dal moto della sorgente. Se ammettiamo che la luce si muova nell’etere dobbiamo ammettere che l’etere è un sistema di riferimento “speciale”. Questo è in contrasto con il Principio di Relatività di Galileo, per il quale non esistono sistemi privilegiati: dobbiamo fare a meno dell’etere. Ma anche così non stiamo ancora tranquilli. Esaminiamo infatti la situazione.

Esiste un sistema di riferimento privilegiato? (2) Tutta la fisica (e quindi tutta la scienza) al volgere del XIX secolo si basa su tre assunti principali: La velocità della luce è identica in tutte le direzioni, indipendentemente dalla velocità delle sorgenti o dei rivelatori. La velocità della luce, cioè, è una costante universale identica in qualunque sistema di riferimento. Tutte le leggi di natura sono identiche in due sistemi inerziali di riferimento in moto uniforme e non esiste nessun metodo per decidere quale sistema sia in moto e quale fermo; anzi, la questione non ha senso perché non esiste il moto assoluto. Le posizioni e le velocità dei corpi materiali che descrivono un evento in un sistema inerziale si trasformano passando ad un altro sistema inerziale secondo le leggi della trasformazione classica.

Esiste un sistema di riferimento privilegiato? (3) Poiché i tre enunciati sono assolutamente incompatibili tra loro, almeno uno dei tre deve essere abbandonato. E’ merito di Albert Einstein aver avuto il coraggio di rinunciare alla cosa che sembrava più ovvia, cioè alla “trasformazione classica”. La storia delle sue ricerche, che vedremo la prossima volta, consiste nello sforzo di individuare delle leggi di trasformazione che salvassero i dati sperimentali, risolvessero l’anomalia dell’elettromagnetismo e conducessero ad una nuova e superiore unificazione delle leggi di natura.

Gli assiomi della relatività ristretta Le leggi e i principi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali 2. La velocità della luce è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali

PROBLEMA: IL VALORE DEL TEMPO DIPENDE DAL SISTEMA DI RIFERIMENTO. Origine del problema : critica al concetto di simultaneità. Orologi sincronizzati per l’osservatore in Oxy non lo sono per l’osservatore in O’x’y’

Se la velocità della luce deve essere la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali, ne segue che lo spazio ed il tempo devono essere relativi.

Se la velocità della luce deve essere la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali, ne segue che lo spazio ed il tempo devono essere relativi. Quale sarà il tempo misurato da questo orologio in moto?

1. La dilatazione dei tempi h L d

Einstein dice che gli orologi in moto ritardano 2. La dilatazione dei tempi Einstein dice che gli orologi in moto ritardano

Le trasformazioni di Lorentz Fin qui un approccio intuitivo. L’approccio esatto richiede l’uso di un modello matematico, più ostico per gli allievi.

Le trasformazioni di Lorentz - 2 Sia il sistema A quello fermo ed il sistema B in moto uniforme rispetto ad A con velocità v. Per la relatività, il moto uniforme deve apparire tale a tutti gli altri osservatori inerziali, dunque le leggi di trasformazione sono lineari.

Le trasformazioni di Lorentz - 3 Pertanto: E per simmetria: Per la costanza della velocità della luce: Sostituendo:

Le trasformazioni di Lorentz - 4 Vale a dire: Moltiplicando tra loro le due equazioni, ricaviamo k: Notiamo che è lo stesso coefficiente di dilatazione γ che abbiamo trovato prima

Le trasformazioni di Lorentz - 5 In definitiva: E per lo spazio: Queste sono le trasformazioni di Lorentz

Contrazione delle lunghezze Ora possiamo usare le trasformazioni di Lorentz per valutare la contrazione delle lunghezze Determiniamo la lunghezza L0, misurata in B, vista dal sistema A, cioè determiniamo la posizione dei suoi estremi in A al tempo tA.

Contrazione delle lunghezze - 2 Quando Facendo la differenza

Lo spazio-tempo Lo spazio-tempo non è semplicemente uno spazio a 4 dimensioni ottenuto aggiungendo il tempo allo spazio. Invece è uno spazio dove si misurano le lunghezze, per cui al posto del tempo c’è ct, e nel calcolo delle distanze si sottrae il quadrato dei tempi, come se fossero immaginari. In formule: L2=x2 + y2 + z2 - (ct)2

Minkowski Hermann Minkowski (Aleksotas, 22 giugno 1864 – Gottinga, 12 gennaio 1909) è stato un matematico tedesco. Egli sviluppò la teoria geometrica dei numeri ed utilizzò metodi geometrici per risolvere impegnativi problemi della teoria dei numeri, della fisica matematica e della teoria della relatività.

Minkowski - 2 Nel 1907 Minkowski giunse al convincimento che la teoria della relatività ristretta, introdotta da Einstein nel 1905, potesse essere meglio compresa nell'ambito di uno spazio non euclideo, da allora noto come spazio di Minkowski, in cui il tempo e lo spazio non sono entità separate ma connesse fra loro in uno spazio-tempo quadridimensionale, e nel quale la geometria di Lorentz della relatività ristretta può essere opportunamente rappresentata. Tale rappresentazione risultò utile e senz’altro aiutò le indagini di Einstein in merito alla relatività generale.

Dinamica relativistica Perché la quantità di moto di un sistema isolato si conservi, si dimostra che si deve definire nel seguente modo: Si noti che taluni considerano la massa non invariante

Dinamica relativistica - 2 Lo stesso vale per l’energia. Affinché rimanga costante deve essere definita così: Quando v = 0, segue la celeberrima formula della equivalenza massa energia:

La relatività generale Successivamente Einstein estende la relatività ai sistemi accelerati. Lo spazio di Minkowski e le geometrie non euclidee gli forniscono gli strumenti matematici. Giunge così a pubblicare nel 1916 la relatività generale.

Il V postulato di Euclide e la nascita delle geometrie non euclidee Il quinto postulato: indipendenza dai precedenti nella formulazione euclidea e punto di partenza per la costruzione di geometrie non euclidee.

Per due punti passa una ed una sola retta Gli “Elementi” di Euclide (300 a.C.) fondano la geometria del piano su cinque postulati che possiamo così riassumere: Per due punti passa una ed una sola retta Ogni retta può essere prolungata indefinitamente Si può descrivere un cerchio con qualunque centro ed ogni distanza Tutti gli angoli retti sono uguali Dato un punto P esterno ad una retta, per esso passa una ed una sola parallela alla retta data

L’indipendenza del V postulato Euclide “è costretto” ad introdurre il V postulato (che è alla base di alcuni teoremi fondamentali), che, pur coerente col senso comune, non presenta quel carattere costruttivo ed evidente dei primi quattro; la sua proposizione inversa è dimostrata a partire dagli altri assiomi. Tale assioma nel corso dello sviluppo successivo del pensiero matematico, non sembra evidente in se stesso, e molti matematici nel corso degli anni furono portati a tentare di dimostrare che dipendesse dai primi quattro. Dopo Euclide, sorsero allora spontanee le domande sulla dipendenza o meno dagli altri postulati del V. Fu solo nel XIX secolo (anni tra 1830-1860) a partire dai lavori di Bolyai, Gauss, Lobačeviskij che il problema trovò una soluzione definitiva.

Geometrie non euclidee Il postulato delle parallele (V postulato) afferma sia l’esistenza che l’unicità della parallela ad una retta data passante per un punto esterno. Nella geometria di Lobačeviskij (geometria iperbolica) si mostra che si possono costruire geometrie in cui non vale l’unicità: “per un punto P non appartenente ad una retta r si può condurre più di una parallela alla retta data” (modello di Klein); Nella costruzione geometrica proposta da Riemann (geometria ellittica) non vale l’esistenza: “per un punto P non appartenente ad una retta r non si può condurre alcuna parallela alla retta data”.

Modello di Klein Sia C un cerchio privato della circonferenza, i “punti” sono i punti di tale cerchio, mentre le “rette” siano le corde della stesso cerchio. Considerando la retta AB, un punto M fuori da essa, esistono infinite rette passanti per M che non intersecano AB, che sono rappresentate da tutte le corde per M e per C dell’arco AP e BQ. B Q A C M P

Modello di Riemann Nel modello di Riemann come enti primitivi consideriamo il piano  costituito da tutti i “punti” P di una qualunque superficie sferica; P, il “punto” costituito da una coppia di punti simmetrici della sfera rispetto al centro appartenenti alla superficie sferica, la “retta” R che è la circonferenza di raggio massimo. In queste condizioni data la retta R ed un punto P esterno ad essa non si può trovare nessuna retta R’ passante per P e parallela ad R.

Una sistemazione definitiva all’argomento viene data da Felix Klein (1849 – 1925), il quale classificò le geometrie in tre classi fondamentali: Geometria euclidea, è la geometria delle superfici a curvatura nulla, in essa vale l’assioma dell’esistenza e dell’unicità della parallela; la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale ad un angolo piatto; Geometria ellittica, è la geometria delle superfici a curvatura positiva (Riemann), in essa non esistono rette parallele, la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di un angolo piatto; Geometria iperbolica, è la geometria delle superfici a curvatura negativa (Lobacevskij), per un punto esterno ad una retta vi sono più parallele; la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto.

Perché lo spazio è non euclideo Se l’osservatore si muove di moto rettilineo, il suo spazio è euclideo. Se ci troviamo su una giostra, lo spazio non è più euclideo. Infatti, quando un cerchio ruota intorno al proprio centro, la circonferenza subisce una contrazione relativistica, ma il diametro, che si muove trasversalmente, no, per cui il rapporto tra circonferenza e diametro è < .

Gravitazione e inerzia sono analoghi L’analogia si intuisce con il classico esperimento pensabile dell’ascensore che cade.

Principio di equivalenza Relatività Generale Una cabina accelerata in assenza di gravità si comporta come una cabina che risente della sola gravità Una persona in caduta libera non sente la gravità Principio di equivalenza Effetti della gravità in sistema inerziale ~ sistema non inerziale

Relatività Generale - 2 Descrizione geometrica della gravità: le distorsioni dello spazio-tempo sono la gravità stessa La materia dice allo spazio-tempo come curvarsi La curvatura dello spazio-tempo dice alla materia come muoversi

Prima evidenza sperimentale Relatività Generale - 3 Anche il cammino della luce è influenzato dai corpi che distorcono lo spazio-tempo Prima evidenza sperimentale 1919 Eclisse

(singolarità  la teoria non è completa?) Relatività Generale - 4 La curvatura dello spazio-tempo cambia a seconda della massa dell'oggetto Se un oggetto è abbastanza massivo (almeno 3 volte la massa del Sole) può collassare fino a un punto (singolarità  la teoria non è completa?) Stadio finale della vita di una stella

Relatività Generale - 5 Immagine artistica I buchi neri sono previsti dalla Relatività Generale: regioni in cui la curvatura è così forte da intrappolare anche la luce Nulla che vi si avvicini troppo (orizzonte degli eventi – linea invisibile) ne può fuggire Osservatori esterni non possono vedere aldilà di questa linea

Singolarità e inconsistenza con la Meccanica Quantistica Conclusioni Stato del lavoro Modello altamente efficace per descrivere la gravitazione e la cosmologia Singolarità e inconsistenza con la Meccanica Quantistica Necessari nuovi test