Metodo dei trapezi

Introduzione La formula dei trapezi nasce come formula per il calcolo approssimato di aree, ed è pertanto utile anche per il calcolo dell'integrale definito di una funzione in un intervallo.

Perché usare questo procedimento In alcuni casi risulta difficile, a volte impossibile, trovare il valore esatto di un’area o comunque di un integrale definito. Ad esempio, con i mezzi a nostra disposizione non riusciamo a determinare l’integrale di 𝑒 −𝑥 2 o della distribuzione normale.

Come procedere E’ però possibile trovare il suo valore approssimato integrando una funzione che approssima quella data e di cui si sa calcolare una primitiva. Suddividiamo l’intervallo [a,b] in un certo numero di parti uguali. Cercheremo la funzione approssimante in ciascuno degli intervalli individuati. Integreremo tale funzione nel proprio intervallo Sommeremo le aree così trovate La somma ottenuta rappresenterà un valore approssimato dell’area cercata.

Come procedere Suddividiamo l’intervallo [a,b] in un certo numero di parti uguali. Cercheremo la funzione approssimante in ciascuno degli intervalli individuati. Integreremo tale funzione nel proprio intervallo Sommeremo le aree così trovate Nel nostro caso useremo come approssimazione un polinomio di primo grado, che in ciascun intervallo ha per grafico una retta e che darà luogo ad una spezzata.

Prendiamo i intervalli di egual dimensione. Procediamo Suddividiamo l’intervallo [a,b] in un certo numero di parti uguali. Cercheremo la funzione approssimante in ciascuno degli intervalli individuati. Integreremo tale funzione nel proprio intervallo Sommeremo le aree così trovate Prendiamo i intervalli di egual dimensione. i=3

Procediamo Suddividiamo l’intervallo [a,b] in un certo numero di parti uguali. Cercheremo la funzione approssimante in ciascuno degli intervalli individuati. Integreremo tale funzione nel proprio intervallo Sommeremo le aree così trovate Prendiamo quindi come funzione approssimante in ogni intervallo [Xi, Xi+1], la retta che passa per i suoi punti estremi, cioè i punti: (Xi, f(Xi)) e (Xi+1, f(Xi+1))

Procediamo Suddividiamo l’intervallo [a,b] in un certo numero di parti uguali. Cercheremo la funzione approssimante in ciascuno degli intervalli individuati. Integreremo tale funzione nel proprio intervallo Sommeremo le aree così trovate Prendiamo quindi come funzione approssimante in ogni intervallo [Xi, Xi+1], la retta che passa per i suoi punti estremi, cioè i punti: (Xi, f(Xi)) e (Xi+1, f(Xi+1)) L’approssimazione:

Procediamo Suddividiamo l’intervallo [a,b] in un certo numero di parti uguali. Cercheremo la funzione approssimante in ciascuno degli intervalli individuati. Integreremo tale funzione nel proprio intervallo Sommeremo le aree così trovate Si osserva che si vengono a formare dei trapezi, la cui area coincide con il valore del integrale definito della funzione approssimante in un dato intervallo

Procediamo Suddividiamo l’intervallo [a,b] in un certo numero di parti uguali. Cercheremo la funzione approssimante in ciascuno degli intervalli individuati. Integreremo tale funzione nel proprio intervallo Sommeremo le aree così trovate Questo equivale a considerare come valore approssimato dell’integrale S la somma delle aree dei trapezi così individuati.

Procediamo Suddividiamo l’intervallo [a,b] in un certo numero di parti uguali. Cercheremo la funzione approssimante in ciascuno degli intervalli individuati. Integreremo tale funzione nel proprio intervallo Sommeremo le aree così trovate La misura delle basi dell’i-esimo trapezio sono i valori f(Xi+1) e f(Xi), la misura dell’altezza è il passo h. B A(Xi, f(Xi)) B(Xi+1, f(Xi+1)) A f(Xi+1) f(Xi) 𝐴= 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑖𝑛+𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑔 ∗𝐴𝑙𝑡 2 𝐴= ℎ∙[𝑓 𝑥 𝑖+1 +𝑓( 𝑥 𝑖 )] 2 Xi Xi+1 h

Procediamo Suddividiamo l’intervallo [a,b] in un certo numero di parti uguali. Cercheremo la funzione approssimante in ciascuno degli intervalli individuati. Integreremo tale funzione nel proprio intervallo Sommeremo le aree così trovate Un valore approssimato dell’area sarà dato da: 𝐼= 𝑖=0 𝑛−1 ℎ∙[𝑓 𝑥 𝑖+1 +𝑓( 𝑥 𝑖 )] 2 Cioè: 𝐼= ℎ 2 ∙ 𝑖=0 𝑛−1 [𝑓 𝑥 𝑖+1 +𝑓( 𝑥 𝑖 )]

Procediamo Suddividiamo l’intervallo [a,b] in un certo numero di parti uguali. Cercheremo la funzione approssimante in ciascuno degli intervalli individuati. Integreremo tale funzione nel proprio intervallo Sommeremo le aree così trovate Se si sviluppa la formula: 𝐼= ℎ 2 ∙[𝑓( 𝑥 1 )+𝑓( 𝑥 0 )+𝑓( 𝑥 2 )+ 𝑓(𝑥 1 )+…+ 𝑓(𝑥 𝑛 )+ 𝑓(𝑥 𝑛−1 )] Raccogliendo: 𝐼= ℎ 2 ∙ 𝑓 𝑥 0 +𝑓 𝑥 𝑛 +2𝑓 𝑥 1 +2 𝑓(𝑥 2 +…+2 𝑓(𝑥 𝑛−1 )] Ed infine: 𝐼=ℎ ∙ 𝑓 𝑥 0 +𝑓 𝑥 𝑛 2 +𝑓 𝑥 1 + 𝑓(𝑥 2 )+…+ 𝑓(𝑥 𝑛−1 )

Vedi progetto GeoGebra allegato Esempio Vedi progetto GeoGebra allegato

Implementazione in Java public double f(double x) { double y=0; y=Math.pow(x,2); return y; } public double trapArea(double b1, double b2, double h) { return (b1+b2)*h/2; public double trapRule(double x0, double x1, int div) double area = 0; double h = (x1 - x0) / div; for (int i=0; i<div-1; i++) area += trapArea(f(x0), f(x0+h), h); x0 += h; area += trapArea(f(x0), f(x1), x1-x0); return area; Main: System.out.println(trapRule(1,2,5)); La funzione In questo caso: 𝑦= 𝑥 2 Calcolo area trapezio Calcolo altezza trapezi Sommatoria aree trapezi Stampa