Scalari e vettori In fisica si lavora con due tipi di grandezze: le grandezze scalari e le grandezze vettoriali. Le grandezze scalari sono quelle grandezze che sono individuate in modo completo da un numero, il quale esprime la misura della grandezza rispetto all’unità prefissata. Esempi: Il tempo (si misura in secondi con i suoi multipli) La massa (si misura in chilogrammi con i suoi multipli e sottomultipli) L’angolo (si misura in gradi oppure in radianti) Le operazioni tra grandezze scalari si svolgono come le operazioni tra numeri.

Scalari e vettori Altre grandezze fisiche, per poter essere descritte, necessitano di maggiori informazioni. Esempio: se dobbiamo indicare uno spostamento, non basta dire “Mi sono spostato di tre metri”, dobbiamo anche indicare in quale direzione e verso ci siamo mossi. Queste grandezze si definiscono vettoriali. Le grandezze vettoriali sono quelle grandezze che sono individuate da tre caratteristiche: una direzione, che indica la retta lungo cui agisce la grandezza un verso, determinato dal senso di percorrenza della retta che rappresenta la direzione un’intensità o modulo , che è il valore numerico che esprime la misura della grandezza rispetto a una certa unità.

Rappresentazione Per rappresentare una grandezza vettoriale si usa un vettore. Un vettore si rappresenta mediante un segmento orientato e si indica di solito con una lettera maiuscola cui viene sovrapposta una freccia. Il modulo di un vettore si indica con la stessa lettera senza la freccia:

Rappresentazione Vettore nullo: vettore in cui il segmento orientato ha gli estremi coincidenti. Il vettore nullo si indica con il simbolo: Vettori opposti: vettori con la stessa direzione, stesso modulo ma versi opposti.

Operazioni L’addizione Dati due vettori a e b, si definisce loro somma il vettore c che si ottiene che la seguente regola: si dispongono i due vettori in modo che b sia consecutivo ad a si considera il vettore c che ha come origine l’origine di a e come secondo estremo il secondo estremo di b Di c si dice che è il vettore risultante dalla somma di a + b.

Operazioni La sottrazione Dati due vettori a e b, si definisce loro differenza il vettore c che si ottiene sommando a con l’opposto di b.

Operazioni Le definizioni date di somma e differenza di due vettori a e b, che costituiscono anche un procedimento per determinarle, equivalgono a quella che solitamente viene indicata come “regola del parallelogramma”. Disegnati due vettori in modo che le loro origini coincidano in un punto O, si costruisce il parallelogramma che ha per lati i due vettori: la loro somma è la diagonale uscente da O, la loro differenza è l’altra diagonale (orientata dal secondo verso il primo termine della sottrazione).

Operazioni La moltiplicazione per uno scalare Consideriamo un vettore a e un numero reale k non nullo (uno scalare); si dice prodotto di a per k, e si indica con k  a, il vettore che ha la stessa direzione di a lo stesso verso di a se è k > 0, verso opposto ad a se è k < 0 modulo che si ottiene moltiplicando il modulo di a per il valore assoluto di k. Se è k = 0 il prodotto k  a è il vettore nullo. ESEMPI

r e s sono le componenti del vettore v lungo le direzioni prescelte. Scomposizione Problema: scomporre il vettore v lungo le direzioni r e s Ogni vettore può essere visto come la risultante di altri due vettori di cui sono note le direzioni. tracciamo dal secondo estremo del vettore v le parallele alle direzioni r ed s Applichiamo in senso inverso la regola del parallelogramma: individuati gli altri due vertici del parallelogramma, tracciamo i vettori r e s uscenti da O r e s sono le componenti del vettore v lungo le direzioni prescelte.

Scomposizione Possiamo sempre rappresentare un vettore v nel piano cartesiano con un segmento che abbia origine nell’origine O degli assi cartesiani. In questo modo v può essere scomposto nei due vettori e che hanno come direzioni gli assi coordinati: Inoltre: (per i teoremi sui triangoli rettangoli) e (per il teorema di Pitagora)

Scomposizione ESEMPIO Se il vettore v ha modulo 10 e forma un angolo di 60° con la direzione positiva dell’asse x, le sue componenti sono:

Scomposizione Se un vettore AB è dato mediante le coordinate dei suoi estremi A(xA, yA) e B(xB, yB) le sue componenti cartesiane sono sono date dalle relazioni:

Scomposizione ESEMPIO Troviamo le caratteristiche del vettore AB essendo A(3, 2) e B(−1, 4).

Operazioni nel piano cartesiano il vettore somma ha per somma la somma delle componenti dei vettori addendi Nel caso in cui i vettori siano dati mediante le loro componenti lungo gli assi cartesiani: il vettore differenza ha per componenti la differenza delle componenti dei due vettori dati il vettore prodotto con uno scalare ha per componenti il prodotto delle componenti del vettore per k

Applicazioni alla fisica In fisica si introducono due particolari tipi di prodotto tra vettori. Il prodotto scalare tra due vettori a e b (si indica con il simbolo a  b ) è uno scalare (quindi un numero) che, indicato con α l’angolo formato dai due vettori, si definisce in questo modo ESEMPIO Se il modulo di a è 4 e il modulo di b è 6 e i due vettori formano un angolo α di 45°, allora: In fisica il prodotto scalare viene utilizzato ad esempio per calcolare il lavoro compiuto da una forza.

Applicazioni alla fisica Dati due vettori a e b e indicato con α l’angolo da essi formato, il loro prodotto vettoriale si indica con il simbolo a x b; esso è un vettore c che ha: modulo dato dall’espressione c = ab sin α direzione perpendicolare al piano definito dai due vettori a e b verso stabilito dalla regola della mano destra. In base a questa regola il verso del vettore risultante si calcola usando le dita della mano destra: si punta il pollice nella direzione del primo vettore (il vettore a ) si puntano le altre dita nella direzione del secondo vettore (vettore b ) il verso del vettore c è uscente dal palmo della mano.

Applicazioni alla fisica ESEMPIO Vogliamo calcolare il prodotto vettoriale con a e b appartenenti al piano della slide e Direzione: perpendicolare al piano della slide Verso: entrante nella pagina (il pollice nella direzione di a, le altre dita nella direzione di b, la mano è rivolta con il palmo appoggiato al piano).