(se a = 0 l’equazione bx + c = 0 è di primo grado) Forma dell’equazione Un’equazione di secondo grado si può sempre ricondurre alla sua forma normale con (se a = 0 l’equazione bx + c = 0 è di primo grado) Termine noto Se i coefficienti b e c sono diversi da zero l’equazione si dice completa. Se i coefficienti b o c sono nulli l’equazione si dice incompleta. Un’equazione incompleta può quindi avere la forma se b ≠ 0 e c = 0 in questo caso si dice spuria se b = 0 e c ≠ 0 in questo caso si dice pura se b = 0 e c = 0 in questo caso si dice monomia

Forma dell’equazione Per esempio: è completa l’equazione dove è a = 4, b = −3, c = 1 è incompleta spuria l’equazione dove è a = 3, b = −5, c = 0 è incompleta pura l’equazione dove è a = 1, b = 0, c = −6 è monomia l’equazione dove è a = 7, b = 0, c = 0

Risoluzione di equazioni incomplete Regole generali per la risoluzione delle equazioni di secondo grado incomplete. Equazione della forma Si raccoglie x a fattore comune: Si applica la legge di annullamento del prodotto: L’equazione spuria ammette sempre due soluzioni di cui una è zero. ESEMPIO

Risoluzione di equazioni incomplete Equazione della forma Si scompone il polinomio, se possibile, e si applica la legge di annullamento del prodotto. Primo metodo Secondo metodo Dopo aver scritto l’equazione nella forma si calcola la radice quadrata dei due membri: l’equazione è impossibile Equazione della forma monomia L’unica soluzione è x = 0.

Risoluzione di equazioni incomplete ESEMPI Primo metodo Secondo metodo Primo metodo Secondo metodo La somma di due quadrati non è scomponibile e non si annulla mai. equazione impossibile equazione impossibile

Formula risolutiva L’equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0, nell’ipotesi che sia a ≠ 0 ∧ b2 − 4ac ≥ 0, ammette come soluzioni i numeri reali dati dalle seguenti espressioni ∨ L’espressione Δ = b2 − 4ac è il discriminante dell’equazione e si verifica che: se Δ > 0 l’equazione ammette come soluzioni due numeri reali diversi (si dice che le soluzioni sono reali distinte) se Δ = 0 l’equazione ammette come soluzione due numeri reali uguali (si dice che le soluzioni sono reali coincidenti) se Δ < 0 l’equazione non ammette soluzioni reali.

Risoluzione equazioni complete ESEMPI Risolviamo l’equazione nella quale a = 2; b = 1; c = −6

Risoluzione equazioni complete ESEMPI Risolviamo l’equazione nella quale a = 1; b = 8; c = 16 Risolviamo l’equazione nella quale a = 1; b = −3; c = 8

Formula risolutiva Se il coefficiente b dell’equazione ax2 + bx + c = 0 è un numero pari, si può utilizzare la formula ridotta: ESEMPIO

Equazioni frazionarie Nel caso di equazione frazionaria seguiamo la seguente procedura: determinazione del dominio D; riduzione dell’equazione alla forma intera; applicazione della formula risolutiva se è completa o degli algoritmi specifici se è incompleta. ESEMPIO Il dominio dell’equazione è D = R − {0} Scriviamo l’equazione in forma normale Applichiamo la formula ridotta:

Equazioni letterali Quando un’equazione contiene dei parametri è necessario discutere che cosa accade all’insieme delle soluzioni al variare di tali parametri. Procedura risolutiva generale da seguire Bisogna stabilire qual è il dominio dell’equazione, cioè l’insieme dei valori che può assumere l’incognita: il dominio è in genere R se l’equazione è intera, è R esclusi i valori che rendono nulli i denominatori se l’equazione è frazionaria. Per esempio: ha dominio R poiché deve essere x ≠ 2 e x ≠ a, ha dominio R − {2, a}

Equazioni letterali Se l’equazione ha dei denominatori letterali, è necessario che questi non siano nulli. Per esempio nell’equazione si deve porre a ≠ −1 ∧ a ≠ 2 Attenzione a non confondere il dominio di un’equazione con le condizioni che devono essere imposte al parametro: l’equazione precedente è intera e quindi il suo dominio è R, le condizioni sul parametro sono poste affinché l’equazione non perda significato.

si può dividere per a solo se a ≠ 0 Equazioni letterali Si devono applicare correttamente i principi di equivalenza delle equazioni; per esempio si deve essere certi che, quando si dividono entrambi i membri di un’equazione per una stessa espressione letterale, questa non sia nulla: si può dividere per 3 si può dividere per a solo se a ≠ 0 Quando si applica la formula risolutiva, si deve essere certi che il coefficiente a di x2 non sia nullo perché, in caso contrario, la formula non si può applicare. Si può applicare la formula (ridotta) Si può applicare la formula solo se a ≠ 1

Equazioni letterali L’insieme dei ragionamenti che si fanno sul parametro per stabilire quante e quali sono le soluzioni di un’equazione rappresenta la discussione dell’equazione. Uno schema generale su come procedere è il seguente. Caso dell’equazione intera Il dominio è R, non ci sono condizioni sull’incognita; possono però esserci condizioni iniziali sul parametro. Arrivati alla forma normale: si pone il coefficiente di x2 diverso da zero (questa operazione non è necessaria se tale coefficiente è numerico o se la condizione coincide con una di quelle iniziali) e si risolve l’equazione; si verifica che cosa accade quando il parametro assume quel o quei valori che sono stati esclusi al punto precedente. Quando, per risolvere un’equazione letterale, si applica la formula, il discriminante è di solito letterale; occorre quindi che sia Δ ≥ 0. Esempio: e deve essere 1 − a > 0

Equazioni letterali ESEMPIO Riscriviamo l’equazione in forma normale: L’equazione è incompleta e per risolverla ricaviamo l’espressione di x2: se b ≠ 3 Le soluzioni sono reali se b − 3 > 0, cioè b > 3 se b = 3 l’equazione diventa: che è impossibile

Equazioni letterali Caso dell’equazione frazionaria Il dominio è R, ad esclusione dei valori dell’incognita che annullano i denominatori; possono anche esserci condizioni iniziali sul parametro. si pone il coefficiente di x2 diverso da zero (questa operazione non è necessaria se tale coefficiente è numerico o se la condizione coincide con una di quelle iniziali) e si risolve l’equazione; trovate le soluzioni si procede al confronto con le condizioni imposte dal dominio; si verifica che cosa accade quando il parametro assume quel o quei valori che sono stati esclusi al punto precedente.

Equazioni letterali ESEMPIO L’equazione è frazionaria e deve essere x ≠ 0 quindi D = R − {0} Scriviamola in forma normale: Calcoliamo il discriminante: Il coefficiente di x2 è numerico, troviamo subito le soluzioni: continua

Equazioni letterali Vediamo se le soluzioni trovate sono accettabili: la soluzione −2 appartiene sicuramente al dominio; dobbiamo invece confrontare la soluzione con 0: se Quindi se b = 0 la soluzione non è accettabile e deve essere scartata. se b ≠ 0 Riassumendo: se b = 0

S: somma delle soluzioni. S Relazioni tra coefficienti e soluzioni Fra le soluzioni x1 e x2 di un’equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0 e i suoi coefficienti a, b e c sussistono le seguenti relazioni: S: somma delle soluzioni. S P: prodotto delle soluzioni. P

x1 = −1 e x2 = 5 infatti −1 + 5 = 4 e −1  5 = −5 Relazioni tra coefficienti e soluzioni Mediante l’utilizzo di tali relazioni è possibile risolvere i seguenti problemi: Trovare le soluzioni di un’equazione senza applicare la formula risolutiva. Per trovare le soluzioni dell’equazione x2 − 4x − 5 = 0 senza utilizzare la formula risolutiva basta calcolare: Dobbiamo trovare due numeri la cui soma è 4 e il cui prodotto è −5: x1 = −1 e x2 = 5 infatti −1 + 5 = 4 e −1  5 = −5

Relazioni tra coefficienti e soluzioni Individuare due numeri conoscendo la loro somma e il loro prodotto. Per determinare due numeri di cui si conoscono somma s e prodotto p basta risolvere l’equazione x2 − sx + p = 0 Le sue soluzioni sono i numeri richiesti. Se e I due numeri sono e

Scrivere l’equazione che ha per soluzioni due numeri assegnati. Relazioni tra coefficienti e soluzioni Scrivere l’equazione che ha per soluzioni due numeri assegnati. Indichiamo con x1 e x2 i due numeri; se s è la loro somma e p è il loro prodotto, essi sono soluzione dell’equazione e se calcoliamo oppure L’equazione ha quindi la forma

Scomposizione del trinomio di secondo grado Relazioni tra coefficienti e soluzioni Scomposizione del trinomio di secondo grado Se ax2 + bx + c è un trinomio di secondo grado con a ≠ 0 e se x1 e x2 sono le eventuali radici (cioè le soluzioni reali dell’equazione associata ax2 + bx + c = 0), si ha che: se Δ > 0 ax2 − bx + c = a (x − x1)(x − x2) se Δ = 0 ax2 − bx + c = a (x − x1)2 se Δ < 0 ax2 − bx + c è irriducibile ESEMPIO Risolviamo l’equazione associata: Scomponiamo: Si ha quindi che:

Interpretazione grafica: zeri di funzione Le soluzioni di un’equazione di secondo grado ax2 − bx + c = 0 si possono interpretare come le ascisse dei punti di intersezione della parabola y = ax2 + bx + c con l’asse x (y = 0); esse rappresentano gli zeri della parabola. ESEMPI La parabola ha due zeri di valore Infatti l’equazione ha soluzioni

non ha zeri perché il delta dell’equazione è negativo. Interpretazione grafica: zeri di funzione La parabola non ha zeri perché il delta dell’equazione è negativo. La parabola ha due zeri coincidenti perché l’equazione ad essa associata ha un discriminante uguale a zero.