1 Poligoni inscritti e circoscritti Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono punti della circonferenza; la circonferenza si dice circoscritta al poligono. Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza; si dice anche che la circonferenza è inscritta nel poligono e il raggio si chiama apotema del poligono. Condizione necessaria e sufficiente perché un poligono sia: inscrittibile in una circonferenza è che gli assi dei suoi lati si intersechino nello stesso punto che è il centro della circonferenza circoscrittibile ad una circonferenza è che le bisettrici dei suoi angoli si intersechino nello stesso punto che è il centro della circonferenza. 1

Caso dei quadrilateri Nel caso particolare dei quadrilateri oltre alle precedenti condizioni valgono le seguenti: un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza se e solo se ha due angoli opposti supplementari A+D = π E+B = π un quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due. AB + DE ≅ AE + BD 2

3 Caso dei quadrilateri Conseguenze: un parallelogramma generico non è inscrittibile in una circonferenza perché i suoi angoli opposti sono congruenti ma non supplementari e non è nemmeno circoscrittibile perché la somma di due lati opposti non è congruente alla somma degli altri due un rettangolo invece è sempre inscrittibile in una circonferenza perché i suoi angoli opposti, essendo retti, sono supplementari; non è invece circoscrittibile un rombo è sempre circoscrittibile ad una circonferenza perché, essendo i lati congruenti, la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due; non è invece inscrittibile perché gli angoli opposti non sono supplementari un quadrato è sempre sia inscrittibile che circoscrittibile ad una circonferenza perché si comporta come un rettangolo (quindi è inscrittibile) e come un rombo (quindi è circoscrittibile) 3

Poligoni regolari Un poligono che ha tutti i lati e tutti gli angoli fra loro congruenti si dice regolare. Se un poligono è regolare allora: ha tanti assi di simmetria quanti sono i suoi lati ha un centro di simmetria solo se ha un numero pari di lati è sempre inscrittibile e circoscrittibile a una circonferenza e le due circonferenze inscritta e circoscritta hanno lo stesso centro 4

5 Poligoni regolari Inoltre: i punti di una circonferenza che la dividono in n archi congruenti sono i vertici di un poligono regolare le rette tangenti ad una circonferenza condotte per i punti che la dividono in n parti congruenti, intersecandosi, formano un poligono regolare di n lati 5

6 Punti notevoli di un triangolo: Punti notevoli dei triangoli gli assi dei lati si incontrano in uno stesso punto, detto circocentro, centro della circonferenza circoscritta al triangolo le bisettrici degli angoli interni si incontrano in uno stesso punto, detto incentro, centro della circonferenza inscritta le altezze relative ai lati si incontrano in uno stesso punto, detto ortocentro 6

AO ≅ 2ON BO ≅ 2OS CO ≅ 2OM 7 Punti notevoli dei triangoli le mediane si incontrano in uno stesso punto, detto baricentro; il baricentro divide ciascuna mediana in due parti delle quali quella che contiene il vertice è doppia dell’altra AO ≅ 2ON BO ≅ 2OS CO ≅ 2OM Un triangolo è sia inscrittibile che circoscrittibile a un circonferenza; i centri delle due circonferenze coincidono solo nel caso del triangolo equilatero. 7