Logica della vaghezza

Carattere “vero-funzionale” dei connettivi classici. “non”: “¬” p ¬p 1

Tavola di verità del connettivo “e”: “&” p q p&q 1

“Se p allora q”: “p q” p q p q 1

PARADOSSO DEL SORITE

Esempio di ‘sorite’ [da ‘σορος’ = ‘mucchio’] 1) Un chicco di grano non è un mucchio; 2) Se un chicco di grano non è un mucchio, allora due chicchi di grano non sono un mucchio; n) Se n-1 chicchi di grano non sono un mucchio, allora n chicchi di grano non sono un mucchio  n chicchi di grano non sono un mucchio.

1) Fa1 1) Fa1 2) Fa1  Fa2 2) Fa1  Fa2 . . n) Fan-1  Fan Fa100.000

1) Fx1 2) Per ogni i, Fxi  Fxi+1 3) Fxn

Argomento Verità Validità

Concetto di validità. Un argomento è valido quando non si dà mai il caso che, essendo vere le premesse, sia falsa la sua conclusione. Si può paragonare un argomento valido a una macchina, nella quale si inseriscono come input enunciati veri per ottenere come output enunciati veri. La validità è una proprietà della struttura di un argomento; mentre la verità concerne il rapporto di un enunciato con le ‘cose’ cui l’enunciato stesso si riferisce. Un argomento valido può essere formato da enunciati veri, nel qual caso è anche corretto. Se invece almeno una delle premesse è falsa, è scorretto.

Valido: proprietà della struttura Vero: proprietà dei singoli ‘pezzi’ che compongono l’argomento (proposizioni, enunciati)

Esempio di argomento valido, ma falso (non corretto) Se oggi è il 25 dicembre, allora oggi è Natale Oggi è il 25 dicembre Dunque oggi è Natale.

Alcune ipotesi riguardo al sorite: 1) Si tratta di un argomento invalido 2) L’argomento è valido, ma le premesse sono false (almeno una lo è) 2a) E’ falsa la prima premessa 2b) Sono false le premesse a partire da un numero k compreso tra 2 e n (2≤k≤n) 3) L’argomento è valido, ma proprio ciò mette in luce la non trattabilità delle nozioni vaghe

E’ un argomento invalido? Consta di una premessa categorica (la prima) e di n premesse condizionali. Possiamo vederlo come l’applicazione reiterata della regola:  β β nota come modus (ponendo) ponens o ‘regola di separazione’;

A,AB/B B,BC/C C,CD/D A/C 1) Fa1 2) Fa1  Fa2 Fa2 [….] Fa100.000

Non sembra plausibile sostenere che è un argomento invalido Quindi rimane l’ipotesi che sia valido. Si ha perciò o il caso 2) o il caso 3). Caso 2): è valido, ma con premesse false. 2a) E’ falsa la prima premessa 2b) Sono false le premesse a partire da un numero k compreso tra 2 e n (2≤k≤n). Caso 3) E’ valido e ciò getta discredito sui predicati vaghi.

Caso 2a): è falsa la prima premessa. Non possiamo concludere nulla circa la verità o falsità della conclusione (da premesse false può seguire una conclusione vera). E’ questo il caso meno interessante Possiamo tuttavia assumere che è falso asserire “un chicco di grano non è un mucchio”, in quanto non esistono mucchi.

A questo esito, noto in letteratura come ‘nichilista’, porta anche l’ammissione che l’argomento soritico è valido e corretto, vale a dire tale che è valido e ha premesse vere.

Esito ‘nichilista’: i mucchi non esistono. Gli ‘oggetti’, le ‘cose’ cui facciamo riferimento nella vita ordinaria si dividono in ‘reali’ e ‘convenzionali’. ‘Mucchio’ è nome di un ‘oggetto costruito’ o convenzionale: non è nome di un oggetto reale.

Caso 2b): è falsa almeno una premessa successiva alla prima. Ciò implica che almeno uno dei condizionali della forma: Fak  Fak+1 è falso! Quindi l’antecedente di tale condizionale è vero e il conseguente falso.

Ovvero: Esiste un insieme k di grani che NON è un mucchio, mentre l’insieme k+1 è un mucchio. Esiste un confine preciso tra non esser mucchio e esser mucchio In termini generali: esiste un confine preciso tra il predicato F e il predicato non-F.

Digressione sulla logica classica

Logica classica A) I connettivi logici (‘e’, ‘o’, ‘non’, ‘se…allora…’), sono vero-funzionali B) Vale il principio di bivalenza: ogni enunciato assume uno e uno solo dei due valori vero (‘1’) e falso (‘0’) C) Tra le leggi logiche principali, figurano i princìpi di: non-contraddizione; terzo escluso.

Principio di non-contraddizione: Non( e non-): ~( & ~) Principio del terzo escluso: ( o non-): (  ~) [‘’ è un enunciato qualunque]

Semantica dei predicati. Interpretazione delle espressioni che fungono da predicati nel linguaggio L di riferimento. Simboli per predicati: P, Q…

Un linguaggio L viene interpretato su un dominio D di ‘oggetti’

Nella logica classica, l’interpretazione di un predicato P sul dominio D è un sottoinsieme di D perfettamente definito. P

Nel caso di predicati vaghi, tuttavia, l’estensione del predicato ‘P’ non ha confini ben definiti

3 possibili soluzioni al problema del sorite (escludendo il nichilismo): A) Soluzione epistemica; B) Supervalutazioni; C) Logica a infiniti valori.

A) Soluzione epistemica: la vaghezza riguarda ‘noi’, non la ‘realtà’. Mantiene la logica classica. Perciò, accetta che ai termini vaghi corrispondano effettivamente proprietà perfettamente definite. Ammette che vi siano punti di confine (aspetto contro-intuitivo).

B) Supervalutazioni Mantiene molta parte della logica classica; Fa ricorso alla procedura dei raffinamenti; Non è classica a livello metalogico: viola il principio di bivalenza.

Mucchio Mucchio* Non-mucchio Non-mucchio* Penombra Mucchio Mucchio*

Enunciati superveri: veri sotto tutti i raffinamenti Enunciati superfalsi: falsi sotto tutti i raffinamenti Enunciati veri sotto certi raffinamenti e falsi sotto altri.

Girino Rana 1, 2, 3, 4, 5…….k Penombra (k+1) (k+2) (k+3) [….] (k+m)………n.

Girino Girino Rana Rana 1, 2, 3, 4, 5…….k , (k +1) 1, 2, 3, 4, 5…….k , (k +1), (k+2) Rana (k+3) [….] (k+m)………n. Rana (k+2) (k+3) [….] (k+m)………n.

Rimane valido il principio del terzo escluso: ~ k è un girino oppure k non è un girino; “k è un girino” non è né (super-)vero né (super-)falso, se k si trova nella penombra. Quindi:

Viene meno il principio di bivalenza Ci sono enunciati che non sono né veri né falsi. Inoltre: l’asserzione: “esiste un punto in cui k è una rana” è vera, senza però che sia possibile specificare quale sia tale punto (varia infatti con ciascun raffinamento). Di conseguenza:

Un enunciato esistenziale, del tipo: x(Px) sarà super-vero, senza che ‘Pa’, ‘Pb’, ecc. lo siano. Se infatti a, b, c … appartengono alla ‘penombra’, le asserzioni “Pa”, “Pb”, “Pc” saranno ora vere ora false, a seconda dei raffinamenti, ma mai vere in tutti i raffinamenti.

Il predicato ‘P’ ha così un’estensione classica, perfettamente definita, in ciascun raffinamento, ma non in tutti, presi collettivamente (se così si può dire).

Se prendiamo i due enunciati ‘penumbrali’ ‘’ e ‘~’, e formiamo la loro congiunzione: “ &~” otteniamo un enunciato ‘superfalso’ – propriamente una contraddizione.

Tuttavia: Ciascuno dei due enunciati non è né vero né falso. Dualità con “ ~” che è invece sempre vero (supervero).

C) Logica a infiniti valori Nella logica classica sono coinvolti i due soli valori: vero (0) e falso (1). Nelle supervalutazioni ci sono enunciati superveri; enunciati superfalsi ed enunciati talvolta veri e talvolta falsi. (Gli enunciati della ‘penombra’ possono essere considerati privi di un valore di verità definito). Nella logica a infiniti valori, i valori di ciascun enunciato variano nell’intervallo chiuso [0,1].

1) Fa1 2) Fa1  Fa2 . 100.000) Fa99.999 Fa100.000 Fa100.000

Nel passaggio dalla prima premessa alle successive, la verità di ciascun enunciato diminuisce impercettibilmente, fino a trasformarsi in modo progressivo in una falsità. E’ come se ciascun premessa, approssimandosi alla conclusione, erodesse un pezzetto di verità, fino a rendere palesemente falsa la conclusione.

Problema della vaghezza affrontato da B. Russell (1922-23). Supervalutazioni: B. C. van Fraassen (1969); K. Fine (1975). Logiche a più valori: Łukasiewicz (1920).

Problemi filosofici: A) Quali sono le opzioni ontologiche legate a ciascuna delle soluzioni considerate? B) Ci sono motivi per preferire la logica classica? C) Il ‘pluralismo’ in logica non apre la strada al relativismo? D) Le soluzioni del sorite che abbiamo considerato sono le sole possibili o ve ne sono altre a disposizione?

Esempio: Supponiamo che ‘Fa’ e ‘~Fa’ abbiano il medesimo grado di verità. “Fa & Fa” ha il medesimo grado di verità di “Fa & ~Fa”. [Confrontare con l’approccio delle superval.]

Letteratura di riferimento: Rosanna Keefe & Peter Smith, Vagueness: A Reader, Cambridge, The MIT Press, 1999 [Paperback; 1997] Timothy Williamson, Vagueness, London-New York, Routledge, 1994.