Jean Baptiste Fourier iniziò a chiedersi se, con un’adeguata scelta delle ampiezze, delle frequenze e delle fasi, fosse stato possibile scomporre tutti i segnali periodici come “mattoncini”(armoniche) in modo da poter scomporre, analizzare e in seguito ricostruire e sintetizzare il segnale. Lo studio matematico del problema portò alla conclusione che una funzione periodica può essere ottenuta eseguendo la seguente operazione detta Serie di Fourier: ∞ 1.f(t) = C 0 + ∑ C k sen(k  t +  k ) k=1 in cui:  è la pulsazione dell’armonica fondamentale; CK è l’ampiezza della k-esima armonica;  k è la fase della k-esima armonica; C0 è una componente continua e non dipende dal tempo.

Si noti come la sommatoria è estesa tra 0 e ∞ e quindi diventa la somma di infinite funzioni sinusoidali che comunque devono portare ad una funzione di ampiezza finita. Quindi per ottenere un’ampiezza limitata è necessario che le ampiezze delle varie armoniche diminuiscano col crescere della frequenza. Non è necessario che la decrescita sia uniforme. Se la decrescita non avvenisse si arriverebbe ad un risultato infinito e quindi non si potrebbe rappresentare una funzione periodica di ampiezza limitata.

La serie di Fourier è una serie di funzioni che si distingue dalle serie numeriche. In questo modo si chiarisce anche il concetto di periodicità, inteso come la ripetizione continua dell’evento periodico tra -∞ e +∞. La serie di Fourier così presentata è detta forma polare, ma può essere espressa anche in altri modi. Prendiamo ora i considerazione la forma cartesiana.

Si prenda dalla forma polare l’espressione del generico termine armonico, Ck sen(k  t +  k), e si applichi il teorema del seno della somma di angoli, sen (α+β) = sen α * cos β + cos α * sen β, si ottiene: 2.C k sen(k  t +  k ) =C k (sen k  t * cos  k + cos k  t * sen  k ) = = C k * sen k  t * cos  k + C k * cos k  t * sen  k

Si definiscano degli opportuni coefficienti: A k = C k cos  k ; B k = C k sen  k ; Si proceda alle sostituzioni: con l’introduzione dei nuovi coefficienti la formula numero 2 diviene: 3.C k sen(k  t +  k ) = A k * sen k  t + B k * cos k  t andando a sostituire i valori trovati con la 3 nella 1 otteniamo la forma cartesiana: ∞ 4.f(t) = C0 + ∑ (A k sen k  t + B k cos k  t) k=1

La serie di Fourier è ora espressa dalla somma di due serie che sembra portare una maggiore complicazione invece la forma cartesiana consente una più agevole determinazione dei coefficienti delle armoniche. E’ possibile passare da una forma all’altra utilizzando le seguenti relazioni: Ricordando che sen 2 α + cos 2 α = 1 troviamo: 5.[(A k ) 2 +( B k ) 2 ]= (C k ) 2 cos 2  k + (C k ) 2 sen 2  k = = (C k ) 2 (cos 2  k + sen 2  k ) = (C k ) 2 sen α Ricordando che tgα = ______ cos α troviamo: B k C k senφ k 6. ___ = ____________ = tg φ A k C k cosφ k

Dalla formula numero 5 e dalla formula numero 6 possiamo ricavare : Se non si riesce ad individuare i coefficienti della serie non è possibile lo sviluppo in serie trigonometrica quindi lo sviluppo in serie di Fourier è individuato solo quando sono noti tutti i coefficienti che compaiono in una delle due forme. Tornando alla forma polare questa consente una notevole interpretazione dei coefficienti C k.

Prendiamo un piano cartesiano dove rappresenteremo il valore dei coefficienti in funzione della pulsazione. Si otterrà una distribuzione, non si può parlare di funzione perché manca la continuità, che rappresenta il legame tra le ampiezze delle varie armoniche del segnale periodico. Questo grafico è detto spettro delle ampiezze. Lo spettro delle ampiezze fornisce solo l’informazione legata all’ampiezza della singola armonica, per ricostruire il segnale secondo la serie di Fourier è necessario individuare anche lo spettro delle fasi.

I COEFFICIENTI DELLA SERIE DI FOURIER. Il principale merito della serie di Fourier consiste nella notevole capacità di trattamento di segnali periodici e nell’interpretazione dei risultati ottenuti. I vari “mattoni” che permettono di ricostruire il segnale periodico sono facilmente identificabili come singoli segnali armonici. Un fatto molto importante legato alla serie è che essa consente di valutare una certa funzione mediante approssimazioni successive: più termini della serie riprendono in considerazione e più l’approssimazione si riduce. Per la completa determinazione della serie bisogna trovare un metodo per calcolare i suoi coefficienti. Qui di seguito si forniscono i risultati utili per il calcolo dei coefficienti omettendo la dimostrazione, non agevole:

forma cartesiana: forma polare:

Le funzioni periodiche possono essere sia di tipo pari sia di tipo dispari. In una funzione pari si ha f(-t) = f(t), mentre in una dispari si ha f(-t) = -f(t).

In altre parole la funzione pari è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate, mentre la funzione dispari è simmetrica rispetto all’origine. A questo punto possiamo fare alcune osservazioni: La somma di due o più funzioni pari è ancora una funzione pari. La somma di due o più funzioni dispari è ancora una funzione dispari. La somma di una costante a una funzione dispari fa perdere alla funzione la sua caratteristica. Il seno è una funzione dispari, il coseno è una funzione pari. Il prodotto di due funzioni pari oppure dispari da come risultato una funzione pari, il prodotto di una funzione pari con una dispari da una funzione dispari. Se una funzione è pari sono nulli i coefficienti A k. Se una funzione è dispari sono nulli i coefficienti B k. Nel caso di funzioni dispari il coefficiente C 0 risulta sempre nullo.