Problema dell’assegnazione Assegnare le “persone” ad un lavoro in modo che ogni lavoro sia eseguito “esattamente” da una persona e ciascuna persona possa fare al “massimo” un lavoro; poichè ad ogni persona e’ attribuito un “costo” per ogni lavoro, il problema e’ quello di effettuare l’assegnazione minimizzando i costi: dati: nnumero di persone m numero di lavori c ij costo della persona j che fa il lavoro i x ij 1: j e’ assegnata al lavoro i ; 0: j non e’ assegnata al lavoro i modello matematico:  min z =  i  j c ij x ij  j x ij = 1i = 1,...,m (il lavoro i deve essere eseguito)  i x ij < 1j = 1,...,n (j puo’ non lavorare ) x ij =  0,1  i = 1,...,m ; j = 1,...,n

Un palestrato ha deciso di seguire una dieta alimentare caratterizzata dalla presenza delle due sostanze, ANAB e MUSC, note per la loro capacita' energetiche se assunte in misura non inferiore ad una certa quantita'. Per prepararsi la dieta, predispone una tabella contenente le informazioni su 6 alimenti che contengono ANAB e MUSC : 1.gatorade 2.hamburger 3.corn flakes 4.latte 5.cioccolato 6.banane indicando, per ciascun alimento, la quantita' contenuta di ciascuna sostanza (al Kg), costo unitario dell'alimento (ultima riga), e la quantita' minima richiesta delle 2 sostanze quant. minima ANAB MUSC costo unit Il palestrato vuole seguire la dieta spendendo il meno possibile.

Un suo amico, studente di TD/RO, gli costruisce il seguente modello di ottimizzazione che gli indichi le quantita' x j di alimento j da acquistare per raggiungere lo scopo: min z = 35 x x x x x x 6 x 1 + 2x 3 + 2x 4 + x 5 + 2x 6 > 9 x 2 + 3x 3 + x 4 + 3x 5 + 2x 6 > 19 x j > 0 ; j = 1,…,6

Un altro suo amico, studente anch'esso di TD/RO, che ha il padre farmacista, gli propone, invece, di acquistare pillole di ANAB e MUSC in modo da raggiungere lo stesso scopo. Il palestrato acquistera' le pillole solo se i loro prezzi saranno competitivi con quelli degli alimenti, ovvero, se il loro costo totale risultera' non superiore al costo totale degli alimenti. Il figlio del farmacista decide quindi di determinare i prezzi delle pillole con un modello di ottimizzazione che massimizzi il ricavo del padre rispettando i vincoli posti dal palestrato (prezzi competitivi). Nella tabella dei dati, l'elemento a ij, rappresenta il numero di unita' di sostanza i contenuta in 1 Kg di alimento j.

Indicando, quindi, con w 1 il prezzo di una unita' di ANAB w 2 il prezzo di una unita' di MUSC la quantita' a 1j w 1 sara' il costo della sostanza 1 (ANAB) in un Kg di alimento j. la quantità a 2j w 2 sara' il costo della sostanza 2 (MUSC) in un Kg di alimento j. Pertanto a 1j w 1 + a 2j w 2 sara' il costo di 1 Kg di alimento j espresso in termini di pillole. Per ciascun alimento il costo unitario e' invece c j. Il figlio del farmacista si rende conto che il palestrato acquisterà le pillole solo se a 1j w 1 + a 2j w 2 < c j. Sa inoltre che, se il palestrato deciderà di optare per le pillole, acquisterà lo stretto indispensabile per cui il ricavo del padre, da massimizzare, sara' espresso da y = 9 w w 2.

Il modello matematico del figlio del farmacista sara' dunque: max y = 9 w w 2. w 1 + < 35 w 2 < 30 2 w w 2 < 60 2 w 1 + w 2 < 50 w w 2 < 27 2 w w 2 < 22 w 1, w 2 > 0 La soluzione di questo problema fornira' al figlio del farmacista il "prezzo giusto" a cui vendere le pillole per massimizzare il profitto (mercato ideale).

nnumero di ingredienti m numero di sostanze nutritive c j costo unitario dell’ingrediente j (j = 1,...,n) a ij quantita’ di sostanza nutritiva i presente nell’unita’ di cibo j b i quantita’ minima richiesta della sostanza nutritiva i x j quantita’ dell’ingrediente j che deve essere utilizzata modello matematico: min z =  j c j x j  j a ij x j > b i i = 1,...,n x j > 0j = 1,...,n min z = c x A x > b x > 0 PROBLEMA DELLA DIETA (pasto ottimale, feed mix, menu planning,miscele,...) Preparare un “pasto” miscelando diversi ingredienti, in modo che siano mantenuti gli equilibri tra le diverse sostanze nutritive contenute negli ingredienti e spendendo il meno possibile.

In una citta divisa in 6 quartieri si vogliono aprire al pubblico nuovi centri automatici di prenotazione per assistenza sanitaria. Sono stati individuati 6 possibili siti (1 per quartiere). I tempi di trasferimento (in minuti) fra un quartiere e l'altro sono stati così stimati Il tempo necessario a ciascun utente per raggiungere il centro più vicino non deve superare i 15 minuti. Si vuole minimizzare il n. di centri attivati

xi = 1 se si attiva il sito nel q. i 0 se non si attiva min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 x1 + x2 > 1 x1 + x2 + x6 > 1 x3 + x4 > 1 x3 + x4 + x5 > 1 x4 + x5 + x6 > 1 x2 + x5 + x6 > 1 La soluzione ottima e: x2 = x4 = 1