EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

DEFINIZIONE Si dice equazione di secondo grado o quadratica, ogni equazione nell’incognita x che ha la forma normale: ax²+bx+c=0 con a, b, c Є R e a ≠ 0 E’ necessario che il coefficiente a sia diverso da zero altrimenti l’equazione diventa di primo grado Un’equazione di secondo grado si chiama completa quando anche b e c sono diversi da zero.

Un’ equazione di secondo grado si dice incompleta quando il coefficiente b o il coefficiente c o entrambi sono uguali a 0. b = 0 equazione pura ax²+c=0 c = 0 equazione spuria ax²+bx=0 b = c = 0 equazione monomia ax²= 0

Risoluzione delle equazioni complete Data un’equazione completa di secondo grado ridotta in forma normale per risolverla : Si calcola il discriminante indicato con il simbolo delta Δ Δ = b²-4ac Se Δ > 0 l’equazione ha due soluzioni reali e distinte Se Δ<0 l’equazione non ha soluzioni reali Se Δ=0 l’equazione ha due soluzioni reali e coincidenti Le sue soluzioni si calcolano: x=

Risoluzione delle equazioni incomplete Equazione pura ax²+c=0 Ogni equazione pura ha due soluzioni reali e opposte (Δ>0) quando a e c sono discordi Ogni equazione pura non ha soluzioni reali (Δ<0) quando a e c sono concordi X=

Equazione spuria ax²+bx=0 Ha sempre due soluzioni reali e distinte (Δ>0) di cui una è sempre uguale a zero X₁= 0 X₂= Equazione monomia ax²=0 Ha sempre due soluzioni reali e coincidenti (Δ=0), entrambe uguali a zero x₁=x₂ =0

EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO

EQUAZIONI CHE SI ABBASSANO DI GRADO MEDIANTE SCOMPOSIZIONE Si scompone il polinomio in x nel prodotto di due o più fattori di 1⁰ e 2⁰ grado : a(x)* b(x)* c(x) = 0 Applicando la legge di annullamento del prodotto l’equazione si scinde nelle equazioni a(x) =0 b(x)=0 c(x)=0 che sono di primo e di secondo grado e quindi facilmente risolvibili

EQUAZIONI BINOMIE Un’equazione si dice binomia se la sua forma normale è axⁿ+b=0 con a, b Є R₀ ed n Є N₀ Le soluzioni si ottengono isolando l’incognita al primo membro e quindi estraendo la radice n-esima : xⁿ=- x= L’esistenza di soluzioni reali e il loro numero dipendono dall’indice della radice e dai valori di a,b

x=± x= Se l’indice è pari abbiamo due possibilità Se l’indice è dispari ,l’equazione ha sempre un’unica soluzione x= Se l’indice è pari abbiamo due possibilità Se - non esiste la radice di indice pari di un numero negativo,quindi l’equazione non ha soluzioni reali Se - l’equazione ha come soluzioni la radice di indice n di - preceduta da + e - x=±

EQUAZIONI TRINOMIE Un’equazione si dice trinomia se la sua forma normale è : ax²ⁿ+bxⁿ+c=0 con a,b,c Є R₀ , n Є N₀ Le soluzioni si ottengono con la sostituzione xⁿ=t Con la quale l’equazione si trasforma nell’equazione di secondo grado at²+bt+c=0 Nel caso particolare in cui n=2,le equazioni trinomie assumono la forma ax⁴+bx²+c=0 e si chiamano Equazioni Biquadratiche