I massimi, i minimi e i flessi I massimi e i minimi relativi La concavità I flessi I massimi, minimi, flessi e la derivata prima I flessi e la derivata seconda

I massimi e i minimi relativi Sia f (x) una funzione definita nell’intervallo I. Il punto x0  I si dice: ● massimo relativo se: ● minimo relativo se:

Concavità verso l’alto La concavità Concavità verso l’alto È data una funzione y = f (x) definita e derivabile nell’intervallo I con x0 punto interno a I . Sia y = t (x) l’equazione della retta tangente alla curva nel punto x0. Si dice che la curva ha in x0 la concavità verso l’alto se:

Concavità verso il basso È data la funzione y = f (x) definita e derivabile nell’intervallo I con x0 punto interno a I ; sia y = t (x) l’equazione della retta tangente alla curva nel punto x0. Si dice che la curva ha in x0 la concavità verso il basso se:

I flessi Data la funzione y = f (x) definita e continua nell’intervallo I , si dice che presenta in x0, interno a I, un punto di flesso se in tale punto il grafico di f (x) cambia concavità. Flesso ascendente Flesso discendente

I massimi, minimi, flessi e la derivata prima Data una funzione y = f (x) derivabile nell’intervallo I = ]a; b[ , se f (x) ha un massimo o un minimo relativo in x0, interno a I, allora Condizione necessaria per massimi e minimi relativi

Condizione sufficiente per massimi e minimi relativi È data una funzione y = f (x) continua in un intorno del punto x0 e derivabile in per x ≠ x0 . Se per ogni x ≠ x0 dell’intorno si ha: ● f ' (x) > 0 per x < x0 e f ' (x) < 0 per x > x0 allora x0 è un punto di massimo relativo; ● f ' (x) < 0 per x < x0 e f ' (x) > 0 per x > x0 allora x0 è un punto di minimo relativo.

Condizione sufficiente per i flessi orizzontali Data la funzione y = f (x) continua in un intorno del punto x0 e derivabile nello stesso intorno, se: ● f ' (x0) = 0, ● il segno della derivata prima è lo stesso per ogni x ≠ x0 dell’intorno allora x0 è un punto di flesso orizzontale.

I flessi e la derivata seconda Condizione necessaria per i flessi È data una funzione y = f (x), definita nell’intervallo I = [a; b] e in tale intervallo esistono le sue derivate prima e seconda. Se f (x) ha un flesso in x0, interno a I, allora:

Condizione sufficiente per i flessi Sia data la funzione y = f (x) continua in un intorno del punto x0 e tale che esistono in le derivate prima e seconda per x ≠ x0. Se per ogni x ≠ x0 dell’intorno si ha: ● f ''(x) > 0 per x < x0 e f '‘ (x) < 0 per x > x0 allora x0 è un punto di flesso (discendente); ● f ''(x) < 0 per x < x0 e f ''(x) > 0 per x > x0 allora x0 è un punto di flesso (ascendente).