PERMUTAZIONI E ISOMETRIE
Permutazioni Permutare = cambiare l’ordine in cui gli oggetti o numeri sono disposti Le permutazioni possono essere composte; esempio L’insieme delle permutazioni di 3 elementi costituisce un gruppo
Proprietà di gruppo L’operazione è associativa (3*2)*5=3*(2*5) Esiste un particolare elemento, l’identità, che composto con gli altri sia a destra che a sinistra li lascia invariati Ogni elemento ha un inverso, ossia un elemento che composto con esso sia a destra che a sinistra dà come risultato l’identità Non gode della proprietà commutativa
Isometrie Nel piano o nello spazio, un’isometria è un’applicazione s che conserva le distanze tra due punti. Esempi di isometrie sono: riflessioni, rotazioni, traslazioni, glissoriflessioni.
Permutazioni-isometrie Come le permutazioni costituiscono un gruppo, è così anche per le isometrie Le isometrie dei poligoni (rettangolo, quadrato, triangolo equilatero) possono essere viste come permutazioni dei loro vertici
Isometrie dello spazio Riflessioni (rispetto a un piano) Rotazioni (rispetto a un asse) Traslazioni Glissoriflessioni (le composizioni di una riflessione con una traslazione in direzione parallela al piano di simmetria della riflessione) Glissorotazioni (le composizioni di una rotazione con una traslazione parallela all’asse di rotazione) Riflessioni rotatorie (le composizioni di una rotazione con la riflessione rispetto a un piano perpendicolare all’asse di rotazione) I gruppi associati alle simmetrie dello spazio sono 230.
I reticoli Reticolo nel piano Reticolo nello spazio
I gruppi possibili sono 7. Fregi I fregi sono un gruppo di isometrie che contiene solo una traslazione, rotazioni e riflessioni. I gruppi possibili sono 7.
L’esempio più significativo sono quelle di Penrose. Tassellazioni I gruppi associati agli insiemi delle simmetrie delle tassellazioni del piano sono 17. L’esempio più significativo sono quelle di Penrose.
Il Pesce-Uccello Città con Scacchi