Università degli Studi di Padova SCIENZE MM.FF.NN. Laurea in Matematica Laboratorio di Rilevamento e Geomatica ANALISI CON FUNZIONI SPLINE DI ACQUISIZIONI LINEARI CON LASER A SCANSIONE Laureanda: TINA BABETTO Relatori: Prof. Giuseppe Salemi Prof. Francesco Fassò A. A. 2004 / 2005

Settore di interesse Settore ARCHITETTONICO:  Rilievi effettuati con moderne apparecchiature laser scanning : I dati vengono acquisiti con uno scanner laser, capace di determinare velocemente e con un alto grado di precisione la geometria dell’oggetto. L’acquisizione avviene su una griglia di campionamento, per definizione discreta

Esempi di acquisizione

Problema Una volta acquisiti i dati vengono elaborati mediante software  attualmente il mercato offre strumenti in grado di effettuare elaborazione globale dei dati Punto debole  Non è possibile effettuare un’analisi del singolo dettaglio SOLUZIONE: analisi con interpolazione del rilievo linea per linea , punto per punto

Strumento scanner Cyrax 2500 Software Cyclone LASER A SCANSIONE Dimensione: 35,6 x 30,48 x 58,42 cm Angolo di ripresa: 40° x 40° Range di utilizzo medio: 1,5 – 50 m Range di utilizzo massimo: 80 –100 m Velocità di acquisizione: 1000 punti/secondo

Acquisizione: Linea iniziale dell’acquisizione  rappresenta un possibile profilo di una struttura architettonica

Acquisizione: In realtà:

Funzioni di interpolazione polinomiali SPLINE Strumenti matematici utilizzati: Cubica SPLINE Bézier Composite Bézier Ambiente di lavoro: Mathematica 4.1

Funzioni di interpolazione SPLINE Definizione: Sia a = x0< x1<…. < xn = b una suddivisione dell’intervallo [a,b] e sia m N. Una funzione sm: [a,b]  R è chiamata SPLINE di grado m rispetto a questa suddivisione se s Cm-1[a,b] e se la restrizione di s ad ogni sottointervallo [xi,xi+1] è un polinomio di grado al più m. Utilizzo: Nella grafica 3D sono utilizzate per l’approssimazione di curve.  SPLINE CUBICA (m=3) s3= a0i + a1ix + a2i x2 + a3ix3

Funzioni di interpolazione SPLINE Definizione: i coefficienti b0,b1…..,bn  R 2 nella rappresentazione di un polinomio p  Pk nella base di Bernstein x  [a,b], sono chiamati punti di controllo , o punti di BÉZIER, di p. COMPOSITE BÉZIER: serie di curve di Bézier di classe C1 che interpola alternativamente nodi e punti di controllo

Acquisizione

Acquisizione

I modelli campionati sono 5: I morfotipi I modelli campionati sono 5: Punti allineati Box Triangolo Picco Box Curva

Per ogni tipologia di spline si è eseguita l’interpolazione : Applicazione Per ogni tipologia di spline si è eseguita l’interpolazione : su ogni singolo morfotipo su composizioni di morfotipi diversi su composizioni di morfotipi diversi a passi di campionatura diversi su ripetizioni dello stesso morfotipo su sequenze con morfotipi distanziati (“effetto rilassamento”)

Codice in Mathematica 4.1

Singolo morfotipo Interpolazione CompositeBézier a confronto: Box con 2 passi di campionamento diversi

Esempi di interpolazioni su 2 sequenze di morfotipi BÉZIER : Triangolo + 2*Box COMPOSITE BÉZIER : Curva + Linea + Box + Picco + Triangolo

Interpolazione con passo di campionamento diverso per ogni morfotipo Campionatura diversa Interpolazione con passo di campionamento diverso per ogni morfotipo

Sequenza “rilassata”

Dall’ultima sequenza, ripetendo la funzione n volte… Costruzione 3D Dall’ultima sequenza, ripetendo la funzione n volte…

Costruzione 3D … si ottiene una parete

Conclusioni La sperimentazione ha indicato alcune “linee” guida per l’analisi di singoli morfotipi derivanti da acquisizioni con laser a scansione. Inoltre, è stata studiata la sequenza di morfotipi elementari, variandone la composizione, la ripetizione e la complessità strutturale. E’ stato approntato un metodo alternativo di analisi delle linee di acquisizione applicabile a situazioni diverse. I risultati ottenuti in ambito architettonico-strutturale sono facilmente esportabili in altri ambiti (ad es. biostereometria).

Perturbazioni errore umano morfotipo affetto da errore errore di macchina

Perturbazioni  gli effetti dell’interpolazione cambiano In caso di perturbazioni l’interpolazione non approssima esattamente l’andamento cercato  è necessario effettuare una depurazione dall’ errore (se possibile)