. . . 1°ORDINE: risposta ad altri segnali semplici RAMPA qo=0 se t<0 qi= . qist=0 se t0 Quindi: . La soluzione è: .

. . RAMPA L’errore di misura è: em,t em,ss TRANSITORIO REGIME em,t riguarda il transitorio; sparisce in fretta se t è piccola em,ss riguarda il regime; t piccola migliora la situazione Lo strumento “legge” l’input di t secondi prima (ritardo)

em/em,ss t/t . RAMPA qi t . qi qis t qi qo/k t ritardo a regime em,ss= 1 2 3 4 5 0.2 0.4 0.6 0.8 t qi . qis t t/t qi qo/k t ritardo a regime . em,ss= t

Impulso di “intensità” Durata infinitesima picco infinitamente alto, area pari ad A. Se A=1 d=1 p(t) L’impulso si può considerare come successione di due gradini T A/T t A=costante qi qi A/T qo 2A/T qo T t T/2 t

Per 0 < t  T E’ come uno scalino Per t > T La soluzione è, per T 0 Matematicamente anche qo si porta dal valore 0 ad un valore finito in un tempo infinitesimo; questo è possibile solo con un trasferimento infinito di energia (impulso matematico). La realtà fisica è ben diversa.

Se però la durata dell’impulso è sufficientemente piccola (in relazione al tempo di risposta del sistema) il sistema risponde in maniera simile ad un vero impulso. ESEMPIO A=1 T=0.01t qo= 0  t  T T  t  

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.98 0.96 0.94 0.92 0.9 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2

OSSERVAZIONI: La risposta all’impulso è il comportamento di un sistema non forzato con condizioni iniziali non nulle Nella realtà non è possibile applicare ad un sistema fisico né il gradino perfetto, né l’impulso perfetto. La derivata di un “gradino reale” è un “impulso reale”

Strumenti del secondo ordine: Equazione

Parametri fondamentali: Sensibilità statica Pulsazione propria Frequenza propria Parametro adimensionale di smorzamento Si ricorda che questi parametri non sempre sono facilmente identificabili e comunque, pur conducendo uno studio analitico, vanno identificati per via sperimentale.

2°ORDINE: risposta ad alcuni segnali semplici GRADINO Se il gradino ha ampiezza qis si ha: Condizioni iniziali: qo=0 t=0+ dqo/dt=0 t=0 + La soluzione è diversa nei tre casi in cui lo smorzamento è maggiore, uguale o minore dello smorzamento critico.

La figura illustra, in forma adimesionalizzata, la risposta al gradino dello strumento del secondo ordine

wn è un’indicazione diretta della velocità della risposta: dato h, raddoppiare wn significa dimezzare il tempo con il quale si raggiunge un determinato punto della curva. L’effetto di h è evidente: un incremento nel valore di h riduce l’oscillazione, ma rallenta la risposta dello strumento nel senso che il primo attraversamento del valore finale è ritardato. Si dice sovraelongazione o sorpasso il rapporto tra la massima ampiezza di oscillazione attorno al valore di regime ed il valore di regime stesso.

CONSIDERAZIONI IMPORTANTI Se consideriamo a regime il sistema quando l’oscillazione si mantiene in una banda di ±10% del valore finale, il valore ottimale di h è 0.6 (settling time di 2.4 wn, dove si definisce come settling time il tempo, dopo il gradino, impiegato dallo strumento per raggiungere una fascia di tolleranza attorno al valore di regime senza più uscirne). Se però il settling time è del 5%, h tra 0.7 e 0.8 è ottimale. Il tutto è ancora complicato dal fatto che i gradini “reali” hanno grande influenza su h ottimale. 1 0.95 1.05 Definizione di settling time

2°ORDINE: risposta in frequenza La funzione di trasferimento sinusoidale è: Oppure

2°ORDINE: risposta in frequenza Si ricorda che lo strumento è pronto, ossia non distorce il segnale in ingresso qi, se il modulo della funzione di trasferimento è costante per tutte le armoniche e se la fase è 0 rad, p rad o proporzionale all’ordine dell’armonica. Questo avviene per valori di w<<wn.(non è così per il sismografo anche se è uno strumento del secondo ordine). Ovviamente, se wn cresce, lo strumento sarà pronto per w maggiori. Per misurare alte frequenze in qi, occorrono strumenti con alte wn. Nel caso del galvanometro, poiché , occorrerà un basso J e una k elevata Un limite sul valore di k viene però dalla sensibilità, penalizzata da alti k.

Anche in questo caso è possiile esprimere la funzione di trasferimento per mezzo del diagramma di Nyquist.

Provare a simulare questa situazione al calcolatore 2°ORDINE: risposta in frequenza h si può sfruttarlo per allargare la zona in cui lo strumento è pronto. Se h0.7 la curva delo modulo della funzione di trasferimentoparte con tangente orizzontale e si mantiene circa costante fino in prossimità della risonanza. La fase è proporzionale all’ordine dell’armonica. Provare a simulare questa situazione al calcolatore

Anche in questo caso esistono altri segnali semplici con cui valutare il comportamento del sistema. RAMPA

RAMPA FINO AD UN REGIME Si analizza la risposta a questo segnale perché è il più vicino al gradino reale. Infatti strumenti con alta wn e basso h (tipicamente quelli al quarzo) sembrerebbero rispondere molto male al gradino ideale, mentre invece hanno un ottimo comportamento.

Risposta al gradino di sistemi poco smorzati Rampa fino ad un regime Confronto input-output nel caso di rampa fino ad un regime

2°ORDINE: IMPULSO L’equazione è sempre: Condizioni iniziali: t=0+ Da dove viene?

2°ORDINE: IMPULSO