Incontro III Cremona 27 marzo 2017

E se il rombo fosse incernierato alla guida in modo diverso … Rimini, 6 Aprile 2011

Cosa potrebbe fare questa macchina? Produzione di ipotesi prima di avere manipolato la macchina e aver visto cosa fa Cosa potrebbe fare questa macchina? 27 marzo 2017

Analogie e differenze nella struttura con il pantografo per la simmetria assiale 27 marzo 2017

Esplorazione del pantografo Come è fatta la macchina Cosa fa la macchina Perché lo fa 27 marzo 2017

Stiramento Equazioni: x'=-kx y'=y I triangoli FQG e MPN sono simili: QH:PH=QF:PM QH:PH=(QB+BM):PM QB=l PM=d QH:PH=(2l-d):d K=(2l-d)/d 27 marzo 2017

Zone di piano messe in corrispondenza dalla trasformazione geometrica 27 marzo 2017

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Genesi spaziale Nel modello fisico, le lastre rettangolari p (trasparente) e p’ rappresentano due piani incidenti lungo la retta u. Le figure tracciate su p’ si possono considerare come ombre solari di quelle giacenti su p. I raggi del sole (materializzati nel modello con fili tesi e supposti paralleli) determinano, in generale, una corrispondenza biunivoca (prospettività con centro improprio) tra p e p’: ad ogni punto P di p corrisponde in p’ la sua ombra P’.

Genesi spaziale Il modello permette di ruotare p attorno alla retta u. Si può osservare che: - durante la rotazione i raggi (i fili tesi) rimangono paralleli; - quando p è sovrapposto a p’, i raggi (i fili) che congiungono due punti corrispondenti qualsiasi sono perpendicolari ad u. Se p e p’ sono sovrapposti, la corrispondenza esistente fra i loro punti P e P’ diventa una trasformazione geometrica nota come stiramento (particolare omologia affine).

Genesi spaziale

Idee di percorsi didattici Progetto regionale Scienze e tecnologie Laboratorio delle macchine matematiche Idee di percorsi didattici Indicazioni metodologiche Alcune linee guida e materiali di lavoro Idee di percorsi 27 marzo 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Indicazioni metodologiche Strumenti: pantografi, fogli bianchi, riga, squadrette, compasso. Lavoro a piccoli gruppi. Verbalizzazione scritta (più o meno strutturata) Discussioni di bilancio con produzione di testi collettivi condivisi

Autori: R. Garuti e F. Martignone Quanto tempo? Almeno 3 ore per introdurre la prima macchina (esplorazione e successiva discussione) e poi, a seconda del percorso e del numero di macchine scelte, si potrà progettare di quanto allungare la sperimentazione 27 marzo 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Autori: R. Garuti e F. Martignone Quali sono gli aspetti che mettono in gioco le attività con i pantografi? Aspetti legati Alla geometria: analisi delle proprietà delle figure trasformate, dimostrazioni (geometria euclidea)… All’aritmetica: Individuazione dei rapporti tra segmenti, figure… 27 marzo 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Quali possibili obiettivi? Fornire un contesto di apprendimento di significati matematici in cui: vengano favoriti processi di argomentazione e dimostrazione siano messe in luce le connessioni della matematica con la storia, la cultura e la vita quotidiana 27 marzo 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Per questo, durante le attività laboratoriali Si vuole dare spazio a: Attività di esplorazione Manipolazioni ed osservazioni di oggetti fisici Verbalizzazione (orale e scritta) Discussioni collettive

Qual è la matematica in gioco? Le trasformazioni geometriche del piano La geometria euclidea La geometria analitica Quali processi? Produzione di congetture e sviluppo argomentazioni e costruzioni di dimostrazioni Attività di problem posing e solving

Autori: R. Garuti e F. Martignone Il diario di Bordo 27 marzo 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Possibili percorsi di sperimentazione I pantografi per la simmetria assiale e per lo stiramento Il pantografo di Scheiner: esploriamo, ricostruiamo e dimostriamo! 27 marzo 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Percorso 1: simmetria assiale e stiramento Analisi dello strumento (componente artefatto e schemi d’uso) Individuazione della trasformazione svolta dalla macchina (cosa fa la macchina) Riflessione sulle proprietà matematiche incorporate in questa (perché svolge una simmetria assiale)

Come è fatta la macchina? Produzione di testi descrittivi e argomentativi Discussioni matematiche Cosa fa? Perché lo fa?

Indicazioni metodologiche Lavoro a piccoli gruppi (max 5 studenti) Strumenti: pantografi e fogli bianchi Richiesta di verbalizzazione scritta (più o meno strutturata) dell’attività con la macchina Discussioni di bilancio con produzione di testi collettivi condivisi 27 marzo 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Linee guida per le attività degli studenti Descrizione e disegno della macchina (come è fatta la macchina?) Individuazione dei punti puntatori/tracciatori e analisi del meccanismo (come si usa?) Disegni di figure che sono trasformate dalla macchina (cosa fa la macchina?) Analisi delle caratteristiche della macchina che permettono lo svolgimento della trasformazione (le proprietà della trasformazione incorporate nella macchina)

Autori: R. Garuti e F. Martignone Cosa succederebbe se… 27 marzo 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

E ora un altro pantografo. Come è fatta la macchina. Cosa fa E ora un altro pantografo! Come è fatta la macchina? Cosa fa? Perché lo fa? 27 marzo 2017

Pantografo di Scheiner 27 marzo 2017

zone di piano messe in corrispondenza: punti interni al cerchio c1 (per P) e punti interni al cerchio c2 (per Q) 27 marzo 2017

Omotetia Nel piano cartesiano: Occorre dimostrare: OBP simile a OAQ O, Q e P allineati 27 marzo 2017

Autori: R. Garuti e F. Martignone Percorso 2: Pantografo di Scheiner: Esploriamo, ricostruiamo e dimostriamo… 27 marzo 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Pantografo di Scheiner (1631) Scuola secondaria di primo e secondo grado scuole professionali

Attività a piccoli gruppi su consegne aperte o guidati da schede: esplorazione della macchina con l’obiettivo di ricostruirla e di modificarla ; individuazione ed analisi delle caratteristiche della trasformazione svolta dalla macchina.

Pantografo di Scheiner: Dimostriamo: perché svolge una omotetia? 27 marzo 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Esempi di dimostrazioni Partendo da triangoli simili… Partendo da triangoli congruenti… 27 marzo 2017

27 marzo 2017

Da una sperimentazione in classe Alcuni protocolli dei ragazzi 27 marzo 2017

Volessimo un altro rapporto? Cosa succederebbe se…? Volessimo un altro rapporto? 27 marzo 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

27 marzo 2017

Autori: R. Garuti e F. Martignone Omotetia 27 marzo 2017 Autori: R. Garuti e F. Martignone

E se le aste non formassero triangoli isosceli, ma scaleni? 27 marzo 2017

Un esempio di attività che utilizza delle simulazioni delle macchine R. Garuti 27 marzo 2017

Grazie! 27 marzo 2017