Gli elettroni nei cristalli esempio in una dimensione: V(x)=V(x+a) funzione d’onda elettronica: deve risolvere l’equazione di Schrödinger in presenza di un potenziale periodico come si risolve il problema per il singolo elettrone:  funzione d’onda che “rispecchia” la periodicità del potenziale  bande di energia permesse e bande di energia proibite come si tratta il problema nel caso di molti elettroni:  antisimmetrizzazione della funzione d’onda  meccanica statistica quantistica  statistica di Fermi Dirac

gli elettroni nei cristalli esempio in una dimensione: V(x)=V(x+a) E1 E2 E1g E1u E2g E2u E1min E2max E1max E2min atomo singolo  livelli energetici singoli due atomi  livelli energetici sdoppiati molti atomi  multipletti di livelli energetici

Due atomi: funzione d’onda della molecola ione-idrogeno 1sg(r): la funzione è grande nella zona fra i due nuclei dove l’elettrone ha effetti “leganti” 1s(rA) z x R rA A B r rB 1s(rB) due soluzioni, g e u due livelli energetici 1s(rA) potenziale di attrazione elettrone-nuclei in funzione di z per un valore fissato di x e y 1su(r): la funzione è nulla proprio nella zona fra i due nuclei dove l’elettrone avrebbe effetti “leganti”, mentre è grande nelle zone dove ha effetti “antileganti” 1s(rB)

funzione d’onda elettronica 7 “nodi” 3 “nodi” 1 “nodo” nessun “nodo”

livelli energetici elettronici gli elettroni occupano i livelli energetici a partire dal più basso, rispettando il principio di Pauli E1min E1max E1atomico il solido si forma a una distanza di equilibrio tale da minimizzare l’energia complessiva degli elettroni che occupano i livelli distanza di equilibrio

bande di energia E4max E4max E4max  E4atomico E4min E4min E4min E3max molti elettroni per atomo:  riempimento fino al livello 4  distanza di equilibrio = a E4max E4max E4max  E4atomico E4min E4min E4min E3max E3max E3max E3atomico E3min E3min E3min E2max E2max E2atomico E2min E2min E1atomico

bande di energia  E4atomico pochi elettroni:  si riempiono solo i primi livelli  distanza di equilibrio = a’ E’2max E’2min E3atomico E’2max E2atomico E’2min E1atomico E’1

moto di un elettrone in un potenziale periodico: soluzione formale esempio in una dimensione: V(x)=V(x+a) Hamiltoniana: l’hamiltoniana è invariante per traslazioni di passo a (periodica): H(x)=H(x+a) funzione d’onda: H(x) (x) = E (x) anche  (x) deve essere invariante per traslazioni ? Non necessariamente, ma | (x)|2 deve esserlo | (x)|2 = | (x+a)|2

(x) è chiamata “onda di Bloch” il teorema di Bloch per soddisfare la condizione |(x)|2 = |(x+a)|2 la funzione d’onda deve poter essere scritta come (x)= eikxu(x) con u(x) invariante per traslazioni : u(x) = u(x+a) (x) è chiamata “onda di Bloch” verifica del teorema di Bloch: come conseguenza dell’invarianza traslazionale, (x) può differire da (x+a) al più per una fase: (x+a) = ei (x) infatti: (x+a) = eik(x+a)u(x+a) = eika eikxu(x) = eika (x) = ei (x) con  = ka, u(x+a) = u(x)

funzione d’onda di Bloch significato fisico dell’onda di Bloch: è il prodotto di - un’onda piana eikx  elettrone libero - una funzione u(x) identica sotto traslazioni di un passo reticolare a u(x)  funzione d’onda “in vicinanza” del singolo atomo px  costante del moto  k buon numero quantico potenziale modulatore periodico V(x) piccolo:  si parte dall’onda di elettrone libero e si corregge per l’effetto di V(x)  elettroni di conduzione nei metalli;  “quantum corral” potenziale modulatore periodico V(x) grande:  si parte dalla funzione d’onda periodica e si include l’effetto della fase eikx  approssimazione di legame forte

approssimazione di legame forte funzione d’onda: approssimazione di legame forte x  (x+a) equivale a cambiare n  (n-1) potenziale periodico: n-1 n n+1 Ep,n-1 Ep,n Ep,n+1 n-1 n n+1 n-1 n n+1

approssimazione di legame forte  (x-na) è soluzione dell’equazione di Schrödinger per l’elettrone nell’atomo isolato Sostituendo nell’equazione di Schrödinger per l’elettrone nel reticolo: modifica dovuta alle altre buche di potenziale del reticolo livello di energia atomica

approssimazione di legame forte Energia media: dove C = < (x)|(x)> m-1 m m+1 m-1 m m+1 m attrazione da parte delle buche vicine n=m-1 j=m+1 m termine di sovrapposizione (o di risonanza) j=m

approssimazione di legame forte limitandosi ai “primi vicini” (n=m1): approssimazione di legame forte dove:

Ep(x-ma) <0 (potenziale attrattivo) termini di overlap Ep(x-ma) <0 (potenziale attrattivo)  overlap positivo:  (x-ma) e  (x-(m-1)a) hanno lo stesso segno  contributo negativo all’energia di overlap k=kmin k=2 kmin k=4 kmin k=8 kmin  overlap negativo  (x-ma) e  (x-(m-1)a) hanno segno opposto  contributo negativo all’energia di overlap

approssimazione di legame forte a partire da ciascun livello atomico E k /a -/a Eat Ecoul Eoverlap prima “zona di Brouillin” -G/2 G/2

bande E1atomico E3atomico E4atomico E2atomico E4min E3max E3min E2max

bande di energia permesse e bande proibite

bande di energia permesse e bande proibite

Passaggio da una banda all’altra eccitazione radiativa da una banda alla banda superiore (se permessa dal principio di Pauli) E = E3min- E2max E3min E2max E2min E1max E = E2min- E1max sol3-18

Il problema del trasporto Hamiltoniana di una particella libera: Il problema del trasporto funzione d’onda: H(x) (x) = E (x) k v px  costante del moto  k buon numero quantico relazione di dispersione parabolica velocità di gruppo:

velocità di fase e velocità di gruppo due onde k1= 1 Å-1 k2= 1,05 Å-1 4 onde k1= 1 Å-1 ; k2= 1,05 Å-1 k3= 1,1 Å-1 ; k4= 1,15 Å-1 x xk 2

moto dell’elettrone libero in presenza di una forza esterna Vel schermo catodo in presenza di una forza esterna, dovuta ad es. a un campo elettrico, il “pacchetto” che all’istante t aveva un certo numero d’onda ko e velocità vo, all’istante (t+dt) ha numero d’onda (ko+dk) e velocità (vo+dv) con: v k dk ; per l’elettrone libero, d2E/dk2=costante, quindi m=costante

moto di un elettrone nel cristallo in presenza di una forza esterna V in presenza di una forza esterna, dovuta ad es. a un campo elettrico, il “pacchetto” di onde di Bloch che all’istante t aveva un certo numero d’onda ko e velocità vo, all’istante (t+dt) ha numero d’onda (ko+dk) e velocità (vo+dv) con: per l’elettrone nel cristallo, d2E/dk2 non è costante, quindi m non è costante  “massa efficace” zone di massa efficace negativa l’elettrone si comporta come se avesse carica elettrica positiva  “buca”

Riflessione al bordo di zona

La massa efficace a piccoli k Evoluzione temporale della funzione d’onda:  (x,t) = ei(kx-ωt) dove per l’elettrone libero, d2E/dk2=costante, quindi m=costante E k -/a /a per l’elettrone nel cristallo: d2E/dk2 = - Eoverlap a2 cos(ka) a piccoli k: d2E/dk2 = - Eoverlap a2 (1-(ka)2/2)

bande con gap diretta e con gap indiretta nel Si a = 0,543 nm

bande con gap diretta e con gap indiretta nel Ge a = 0,565 nm

Risonanza ciclotronica e misura della massa efficace Moto (classico) di un elettrone in un campo magnetico: B r v Se l’elettrone entra nella zona del campo magnetico B con una velocità v perpendicolare a B descrive un’orbita circolare con raggio r e pulsazione ω = v/r dati da: B microonda direzione della corrente tipico esperimento campione forza di Lorentz forza “centrifuga” due modi di condurre la misura: B fisso e scan in ω della microonda ω fisso e scan in B

Effetto Hall e misura del segno della carica elettrica La forza di Lorentz devia le cariche elettriche che viaggiano con componente vx della velocità sono deviate nella direzione dell’asse y creando un campo elettrico Ey che compensa la forza di Lorentz: h tipico esperimento B I campione a y x z VH jx è la densità di corrente jx= nev n è la densità elettronica RH è la “resistenza di Hall; permette di conoscere il segno della carica elettrica determinare la densità elettronica n