Esempi di funzioni derivata in economia Lezione del 15 ottobre 2007 Corso B Esempi di funzioni derivata in economia Funzione costo C(q) Es: C(q)=q3-10q2+50q+200 Costo marginale C’(q) C’(q)= 3q2 -20q +50 Misura il tasso di variazione del costo rispetto ad q. La funzione costo marginale stima il costo sostenuto per la produzione di una unità aggiuntiva di prodotto. Studia il comportamento “al margine” della funzione costo. Costo totale C in funzione del numero di unità prodotte Es: C(q) rappresenta il costo sostenuto per produrre lavatrici. q è espressa in migliaia di unità. Costo per la produzione di 10 lavatrici. C(10)=700. C’(10)=150 stima l’incremento di costo quando la produzione passa da 10 a 11 unità. Variazione effettiva: C(11)-C(10)=121.

Esempi di Funzioni derivate in economia Funzione ricavo R(q) Es: R(q)=800q-15q2 Ricavo marginale R’(q) R’(q)=800-30q La funzione ricavo marginale stima il ricavo ottenuto per la vendita di una unità aggiuntiva di prodotto. Studia il comportamento “al margine” della funzione ricavo. Ricavo marginale R’(x) misura la variazione del ricavo rispetto alla quantità venduta. Ricavo totale R in funzione della quantità di bene venduto Es: Ricavo ottenuto dalla vendita di 20 unità di prodotto R(20)=1000. R’(20)=200 stima l’incremento di ricavo quando la quantità venduta passa da 20 a 21 unità. Variazione effettiva: R(21)-R(20)=185.

Derivabilità di una funzione Stabilire se la seguente funzione è continua e derivabile. Studio il campo di esistenza di f(x) f(x) è definita per ogni x  1 log(2x-1) è definita per 2x-1>0 e quindi per x>1/2 Quindi: è definita per ogni

Derivabilità di una funzione Stabilisco se f è continua. Per x<1 f è continua perché prodotto di composizione, somma e prodotto di funzioni continue Per x>1 f è continua perché prodotto di composizione, somma e prodotto di funzioni continue f(x) è continua in x=1? Sì. f(x) è continua in x=1.

Derivabilità di una funzione Quindi f è continua. Resta da stabilire se f è derivabile Per x<1 f è derivabile perché prodotto di composizione, somma e prodotto di funzioni continue Per x>1 f è derivabile perché prodotto di composizione, somma e prodotto di funzioni continue Resta da stabilire se f è derivabile in x=1

Derivabilità di una funzione Osservo che: f è continua in x=1 è derivabile in x=1 è derivabile in x=1 Poiché f è derivabile in x=1

Tracciare il grafico di f e determinare i punti di massimo e minimo relativo e/o assoluto. Il grafico di 2-x è una retta di coefficiente angolare 1 passante per i punti (-4,6) e (-2,4); Il grafico di 3 è una retta parallela all'asse delle x passante per (0,3); Il grafico di -x²+6x-5 parabola di vertice (3,4), concavità verso il basso passante per i punti (2,3) e (5,0);

Analisi dei punti di massimo e minimo relativo e/o assoluto. x=3 punto di massimo relativo ed interno all’intervallo. Dal grafico noto la retta tangente al grafico nel punto (3,4) è parallela all’asse delle x e quindi il suo coefficiente angolare è zero. f’(3)=0. x=3 è detto punto critico per f.

Analisi dei punti di massimo e minimo relativo e/o assoluto. x=2 punto di minimo relativo. Dal grafico noto x=2 è un punto angoloso. Analiticamente si verifica che x=2 è un punto di non derivabilità. x=-2 punto di minimo relativo. x=-2 è un punto di discontinuità.

Analisi dei punti di massimo e minimo relativo e/o assoluto. -2<x<2 punti di minimo e massimo relativo. Nell’intervallo (-2,2) f è costante. x=-4 punto di massimo relativo e assoluto x=-4 è un punto di frontiera.

Analisi dei punti di massimo e minimo relativo e/o assoluto. x = -4, punto di massimo relativo e assoluto (punto di frontiera); x = -2, punto di minimo relativo (punto interno di discontinuità); -2<x<2, punti di massimo e minimo relativo (il grafico della funzione è una retta costante; x=2 punto di minimo relativo (punto di non derivabilità x = 3, punto di massimo relativo (punto critico interno); x=5, punti di minimo relativo e assoluto (punto di frontiera);

Analisi dei punti di massimo e minimo relativo e/o assoluto. Data una funzione definita su intervallo, nella ricerca dei punti di massimo e minimo relativo e\o assoluto dobbiamo prestare particolare attenzione a: Punti di frontiera (se compresi) Punti di discontinuità Punti di non derivabilità Punti critici interni (detti anche stazionari)

Per casa Determinare i punti di massimo e minimo relativo e/o assoluto della funzione che rappresenta l’andamento dell’indice S&P Mib dal 25/9 al 8/10

Teorema di Fermat 

Teorema di Fermat …. La condizione espressa dal Teorema di Fermat è necessaria, ma non sufficiente. Es: f(x)=x3 x=0 è punto critico, ma non è punto né di massimo né di minimo. Se un punto è di massimo o minimo relativo non è detto che sia un punto critico. Potrebbe essere : - un punto di frontiera - un punto di non derivabilità - un punto di discontinuità