PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.

Argomenti della lezione Il teorema del “differenziale totale” . Regole di derivazione e differenziazione. Derivate successive.

“DIFFERENZIALE TOTALE” . IL TEOREMA DEL “DIFFERENZIALE TOTALE” .

ha derivate parziali continue in A, allora è differenziabile Teorema Se f : A  Rn  R, A aperto, ha derivate parziali continue in A, allora è differenziabile in ogni punto x0  A.

Calcoli a parte…

REGOLE DI DERIVAZIONE E DI DIFFERENZIAZIONE.

Vista la definizione di derivata parziale e il suo legame con la nozione di differenziale messa in evidenza precedentemente, possiamo concludere che le regole di derivazione già note continuano a valere per le derivate parziali, direzionali e per il differenziale. Dunque:

Dk(f + g) = Dkf + Dkg d(f + g) = df + dg Dk(fg) = (Dkf)g + f(Dkg) d(fg) = (df)g + f(dg) Dk(f/g) = ((Dkf)g - f(Dkg))/(g2) d(f/g) = ((df)g - f(dg))/(g2)

DERIVAZIONE DI FUNZIONE COMPOSTA

Teorema g(t)=(x1(t),…, xn(t))T derivabile Sia f : A  Rn  R, A aperto, differenziabile in x0  A, e sia g(t)=(x1(t),…, xn(t))T derivabile in t0: g’(t0)=( x1’(t0) ,…, xn’(t0))T, g(t0) = x0 , allora è derivabile in t0 F(t) =f(g(t)) , e vale

F ’(t0) = D1f(x0)x1’(t0) +…+ + Dnf(x0)xn’(t0) con g(t): I  Rn .

Calcoli a parte ...

DERIVATE SUCCESSIVE.

quali ci si può chiedere se sono derivabili rispetto a x o a y. Sia f : A  R2  R, A aperto, dotata di derivate parziali rispetto a x e a y in tutto A o in una sua parte aperta A1 . Allora D1f: A1  R e D2f: A1  R , sono funzioni delle quali ci si può chiedere se sono derivabili rispetto a x o a y.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Si potranno considerare ∂ ∂x ∂f ∂ ∂y ∂f ∂x , , ∂ Si indicherà ∂ ∂x ∂f ( ) (x0,y0) ___ ∂2f ∂x2 (x0,y0) =

( ) ( ) ( ) ∂2f ∂x∂y ____ (x0,y0) ∂ ∂x ∂f ∂y (x0,y0) = ∂ ∂y ∂f ∂x Più in generale ∂ ∂xi ∂f ∂xk ( ) (x10,…, xn0) ∂2f ∂xi∂xk ____ (x10,…,xn0) =

Ci chiediamo: quale relazione c’è tra ∂2f ∂x∂y ____ (x0,y0) ∂2f ∂y∂x ____ (x0,y0) e ? O tra ∂2f ∂xk∂xi ____ (x10,…,xn0) e ∂2f ∂xi∂xk ____ (x10,…,xn0) , (i≠k) ?

Altre notazioni per indicare le derivate successive: ∂2f ∂x∂y ____ (x0,y0) = fxy (x0,y0) = = D2xyf(x0,y0) = D212f(x0,y0) = = ∂2xyf(x0,y0) = ∂212f(x0,y0) E notazioni analoghe per ∂2f ∂xi∂xk ____ (x10,…,xn0)

Teorema (Sull’inversione dell’ordine delle derivate (di K.H.A. Schwarz) ) Siano fxy e fyx definite su un aperto A, e siano continue in (x0,y0) A. Allora fxy (x0,y0)= fyx (x0,y0) .

In generale, per il teorema di Schwarz, ammesso che siano continue in un aperto A  Rn , due derivate, calcolate nello stesso punto, che differiscono solo per l’ordine di derivazione sono uguali.